Examen mates 1 trimestre (2015)

Examen Español
Universidad Instituto Químico de Sarriá (IQS)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2015
Páginas 25
Fecha de subida 16/02/2015
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FUNCIONES DE UNA VARIABLE CET SARRIÀ 654 550 733 C/ Major de Sarrià, 137 ≠  MATEMÁTICAS – Curso 08/09 CONTROL DE MATEMÁTICAS Modelo A 1. [6 puntos] La gráfica siguiente representa una función y = f(x) definida en el intervalo [-1.5, 5.5]: (a) ¿En qué intervalos f(x) es positiva? ¿En qué intervalos la derivada de f(x) es positiva? ¿Por qué? (b) Completar la tabla de valores siguiente: x -1 0 4 5 y y’ (c) Dar un valor aproximado de f(-1.2), f(-0.9), f(0,01), f(3,99), f(5.2).
2. [4 puntos] Una empresa fabrica en serie un artículo. Si las funciones de ingresos y costes por la venta de x unidades de este artículo vienen dadas por la expresión: I(x) = 15 – 0.8x C(x) = 0.2·(x - 5)2 + 5 (a) Representar las dos funciones en un mismo gráfico destacando las características de ambas.
(b) Encontrar gráfica y numéricamente el intervalo de producciones x donde el beneficio es positivo.
1 MATEMÁTICAS – Curso 10/11 CONTROL DE MATEMÁTICAS Modelo A 1) Determinar la expresión analítica de las siguientes funciones, explicando con detalle los razonamientos utilizados.
1 MATEMÁTICAS – Curso 10/11 2) Representar las funciones siguientes a partir de la función generatriz de la familia a la que pertenecen, de las transformaciones aplicadas a ésta y de sus puntos de corte con los ejes de coordenadas. Mostrar todos los pasos y los cálculos realizados.
a) y 0.1 x 2 b) y 6· x 1 3· x 1 c) y 3 x 1 4 4 2 MATEMÁTICAS – Curso 08/09 PARCIAL 2 DE MATEMÁTICAS Modelo A Material permitido:  Ordenador con el programa Wiris abierto  Calculadora Material para entregar:  Respuestas al examen por escrito  Enunciado Duración:  Tres horas 1.
[6 puntos] Un fabricante de ordenadores portátiles sabe que los costes de producción de este artículo se pueden modelizar mediante la siguiente función C(x) = 0.5x2 - 50x + 1275.
que expresa coste total (en €) en función de la cantidad x de ordenadores portátiles.
(a) [0,5 puntos] Representar la función de costes destacando sus características. Calcular los puntos de corte con los ejes y dar una interpretación económica de los resultados.
(b) [1 punto] Calcular la función de costes medios de este artículo CM(x) = C(x)/x y representarla en un gráfico distinto. Determinar la producción de ordenadores portátiles que corresponde a un coste medio mínimo.
(c) [1,5 puntos] Las funciones de oferta y demanda de este artículo, que indican el precio p en función de la cantidad ofertada o demandada x, son las siguientes: Demanda: p = -0.01x2 - 0.5x + 500 Oferta: p = 55·ln(x + 20) + 25 Representar ambas funciones en un mismo gráfico y calcular el punto de equilibrio.
(e) [1 punto] Calcular el excedente del consumidor y del productor interpretando los resultados.
(e) [1 punto] Calcular los ingresos de este fabricante y representar junto a la función de costes del apartado (a), indicando los pasos que se deben seguir para conseguirlo.
(e) [1 punto] Determinar el intervalo de producciones que generan beneficio. Determinar para qué producciones se obtiene un beneficio máximo y el valor de ese beneficio máximo.
2.
[4 puntos] Los datos de la tabla siguiente muestran la evolución durante el año 2007 del precio del petróleo West Texas Intermediate (WTI), crudo estadounidense, en $/barril. El objetivo es hacer una previsión del precio del petróleo WTI para los siguientes tres meses y para conseguirlo se os propone lo siguiente: (a) (b) (c) (d) Enero 07 54,79 Febrero 07 59,24 Marzo 07 60,67 Abril 07 64,09 Mayo 07 63,66 Junio 07 67,24 Julio 07 73,69 Agosto 07 72,54 Septiembre 07 78.89 Octubre 07 85.03 Noviembre 07 94.96 Diciembre 07 91.11 [0,5 puntos] Proponer la familia de funciones que más se ajuste a los datos anteriores y explicar el porqué de la elección.
[1 punto] ¿Cuál es la mejor expresión analítica dentro de la familia propuesta? Argumentar la respuesta.
Usarla para hacer una predicción del precio del petróleo para los siguientes tres meses.
[0,5 puntos] ¿Qué relación hay entre el modelo de las variaciones mensuales de los datos y el modelo escogido en el apartado (b)? [2 puntos] Calcular para el modelo escogido en el apartado (b): (i) La variación media (TMV) del modelo entre los meses de enero del 2007 y abril del 2007. Indicar cómo se visualiza esta información en la gráfica y compararlo con los datos reales.
MATEMÁTICAS – Curso 08/09 (ii) La variación puntual (TIV) del modelo en el mes de julio del 2007.
Indicar cómo se visualiza esta información en la gráfica.
MATEMÁTICAS – Curso 12/13 1. La evolución de las ventas a través de Internet de un producto durante los últimos meses puede observarse en la tabla siguiente: Meses feb-12 mar-12 abr-12 may-12 jun-12 jul-12 ago-12 sep-12 oct-12 nov-12 Ventas 1005 1550 1750 2020 2095 2300 2350 2490 2550 2590 (a) Ajustar un modelo cuadrático a las ventas mensuales por Internet de este producto. Explicar con todo detalle cómo podemos encontrar el valor de los parámetros de este modelo para que éste se ajuste bien a la información de la tabla anterior. Calcular una medida del error del modelo encontrado.
(b) Ajustar ahora un modelo exponencial. Explicar con todo detalle cómo podemos encontrar el valor de los parámetros del modelo exponencial para que éste se ajuste bien a la información de la tabla anterior. Calcular una medida del error del modelo encontrado.
(c) Minimizar ambos errores utilizando la herramienta solver y escoger uno de los dos modelos.
Utilizar el modelo escogido para hacer una previsión de las ventas por Internet de este producto durante el próximo trimestre.
(d) Calcular la variación absoluta y relativa de las ventas y compararlas con las del modelo escogido.
¿Qué conclusiones podemos obtener de esta comparación? 2. Las ventas anuales (en cientos de unidades) de un nuevo producto se han modelizado mediante la función siguiente: y 275 80 0.37 t donde t representa los años transcurridos desde que el producto se introdujo en el mercado.
(a) Representar la función anterior, resaltando sus características principales. Buscar los puntos de corte con los ejes de coordenadas e interpretar los resultados.
(b) Calcular y representar en una nueva gráfica la derivada de la función anterior. Especificar sus principales características e interpretar los resultados en el contexto del problema.
(c) ¿Qué información nos aporta la función del apartado (b) respecto a la del apartado (a)? Explicar con detalle.
(d) ¿Cuánto tendremos que esperar para que las ventas anuales superen las 25.000 unidades? ¿Cuándo las ventas marginales superarán las 400 unidades? Interpretar el resultado.
(e) Calcular la recta tangente a la función inicial al año y medio de introducir este producto en el mercado. Esbozar esta recta tangente en el gráfico del apartado (a) y explicar qué información nos aporta en cuanto a las ventas anuales.
3. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante viene expresada por: p 20 q , donde 0 4 q 80 siendo q el número de unidades y p el precio por unidad.
(a) Representar esta función. Calcular e interpretar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
(b) Si la función de costes totales viene dada por la función q2 3q 100 4 Representarla gráficamente en una nueva gráfica.
C (q) (c) Calcular la función de costes medios y representarla en una nueva gráfica. Calcular las variaciones de esta función de costes medios y explicar qué información nos aporta respecto a la función de costes.
MATEMÁTICAS – Curso 12/13 (d) Calcular y representar la función de ingresos junto con la función del apartado (b).
Determinar las producciones que generan beneficios y la producción óptima. ¿Cuál es el valor del beneficio óptimo? (e) Calcular la TMV de la función de ingresos para producciones entre 10 y 40 unidades. Interpretar gráfica y numéricamente el resultado obtenido.
MATEMÁTICAS – CURSO 2012/13 Tema 1. Familias de funciones elementales 1) Encuentra la expresión analítica de las siguientes funciones a partir de su representación gráfica: SOLUCIÓN: 1 MATEMÁTICAS – CURSO 2012/13 2) Repite el ejercicio anterior para las cuatro representaciones gráficas siguientes: SOLUCIÓN: 2 MATEMÁTICAS – CURSO 2012/13 3) Encuentra la expresión analítica de las siguientes funciones a partir de su representación gráfica: 4) Representa gráficamente las siguientes funciones a partir de su expresión analítica: y = - 3x + 4 y = - (x - 1.5)2 + 2 y = - 2 · 0.5x + 3 y = 2.5 · ln(x+5) – 1 y = - (x – 1)3 + 2 y = - 2.5/(x - 2) 5) Representa gráficamente las siguientes funciones a partir de la función generatriz de la familia a la que pertenecen, de las transformaciones aplicadas y de los puntos de corte con los ejes de coordenadas: 3 MATEMÁTICAS – CURSO 2012/13 1) y = 2) y = 0.5 · x 10 0.25 x 1 5 3) y = 2 · ( x 4) 2 4) y = 3 1.5 · ln ( x 7) 5) y = 3 · x 5 6) y = ( x 4.5) 3 2 7) y = 4 · x 6 4 8) y = 0.5 · 2 2· x 3 9) y = ln (2 · x) 4 10) y = 2· x 3 x 4 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 Tema 2. Derivadas y cálculo de variaciones 1. Dadas las siguientes funciones de ingresos y costes, encontrar en cada caso el intervalo de producciones x donde el beneficio es positivo: (a) I(x) = 3x + 2 (b) I(x) = 3x + 2 (c) I(x) = 3x + 2 (d) I(x) = x2 + 4 (e) I(x) = (x – 1)2 + 4 (f) I(x) = -1/(x – 30) (g) I(x) = 2(x – 1)3 – 2 (h) I(x) = 3 – 1/x (i) I(x) = -x2 + 6x (j) I(x) = 0.5·(x – 5)2 – 12.5 –2 (k) I(x) = x + 5 + 4 (l) I(x) = 1 – 0.9x C(x) = 2x C(x) = 4x C(x) = (x + 1)2 + 1 C(x) = (x + 1)2 + 1 C(x) = 2(x - 2)2 – 3 C(x) = 0.5x + 5 C(x) = 15 C(x) = 0.75x C(x) = 4x2 + 8x + 2 C(x) = (x + 1)(x + 3) C(x) = 0.1x + 1 C(x) = 0.02(x + 2)3 2. Calcular la derivada y el valor de la derivada en los puntos x = -1 y x = 10 de las funciones siguientes. Utilizar estas derivadas para hallar un valor aproximado de f(-1.1), f(9.9) y f(10.01): (a) y = 3x + 1 (o) y = 1 (b) y = 4 – x (p) y =e (c) y = (x + 1)3 (q) y =10-x 2 (d) y = 4x – 3x + 1 (e) y = (f) y = x 3x+1 2 (r) y =e2x 1 3x (s) y = -1 3x2 (t) y = 5x - 3 9x + 4 (u) y = 5x - 3 x2 1 (v) y = 4x2 - 4 x+1 (w) y = -1 x4 (g) y = x3 + 7 x (h) y = x (i) y = 5x + x (j) y = 8 – 5 2x + 1 3x (k) y = 4x2 – 2 3x + 4 (l) y = x2 – 1 x (m) y = 25 x2 (n) y = 2x 1 4 x 1 – 1 x+1 (x) y = lnx (y) y = ln(1 – 2x) (z) y = ln( 1 1 x) MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 3. La gráfica siguiente representa una función y = f(x) definida en el intervalo [-10,18].
(a) ¿En qué intervalos la derivada de f(x) es positiva? ¿Por qué? (b) Visualizar en la gráfica el valor de f’(8). Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en x = 8.
(c) Completar la tabla de valores siguiente: x y y’ -10 -7 -4 -2 4 8 11 17 4. Considerar la función y = f(x) para –5 <x< 7 representada en la gráfica siguiente.
(a) Completar la tabla de valores: x y y’ -3 -1 0 2 4 6 (b) Calcular la ecuación de las rectas tangentes a la curva y = f(x) en los puntos x = -3, x = 0, x = 2, x = 4, x = 6. Dar un valor aproximado de f(-3.1), f(-0.9), f(0.01), f(1.99), f(3.95), f(6.02).
(c) Resolver les inecuaciones: f(x) f’(x) 0.
0 y 2 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 5. Dada la siguiente función y = f(x) para –2 <x< 9: (a) Completar la tabla de valores: x y y’ -1.5 0 1 2 3 4.5 8 (b) Indicar los máximos y mínimos de la función.
(c) Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva en x = -1.5, x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.5.
6. Construir las curvas representativas aproximadas de dos funciones distintas f y g definidas en el intervalo [-4,6] tales que: x y y’ -4 -2 -2 -1 1 -1 0.5 0 2.5 4/3 2 4 0 4 6 3 2.5 -0.4 7. Construir las curvas representativas aproximadas de dos funciones distintas f y g definidas en el intervalo [0,15000] tales que: x 0 1000 5000 8000 12000 14000 y -10 20 100 -300 -300 500 y’ -0.1 1 0 -0.5 0 0.4 8.
La gráfica siguiente representa una función y = f(x) definida en el intervalo [-1.5, 5.5].
(a) Dar un valor aproximado de f(-1.2), f(-0.9), f(0.01), f(3.99), f(5.2).
(b) ¿En qué intervalos f(x) es positiva? ¿En qué intervalos la derivada de f(x) es positiva? ¿Por qué? (c) Completar la tabla de valores siguiente: x y y’ -1 0 3 4 5 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 9.
Resolver las siguientes desigualdades: (a) – 3x4 + 6x3 – 3x2 + x > 0 (n) (b) – 3x4 + 6x3 – 3x2 > 0 (c) (x – 1)2 > 3ln(x + 1) (d) (x – 2)2 – 1 < 2 x 3 4x2 - 6 >6 x+1 (o) 0.1x2 – x + 3 > +1 (p) 1 – (x – 3)2 < 3 (e) (x + 1) + x + 14 > 10 (f) (g) 2 x 3 -1 x 3 + (x + 1)2 – 3 > 0 (q) 3 – (x + 1)2 < + 10 > x – 5 (r) 3 2x + 1 (h) <1–x x+2 (i) -2x + 5 < 2x – 1 x 2 (m) 2 x 3 2 x 3ln(x – 2) < 2 – e-x (t) 3x3 – 2x2 + 5x – 6 > 0 x–1–1 5 x+4 (w) x > ln x (x) x > ln x + 5 5x + 18 < -x – 2 x+4 (z) x3 – 6x2 > 17x + 4 2 3 +1 (s) 4x + 6 <x x+1 x 3 +1 > 2x + 1 (v) ln(x – 1) < 2 (l) 1 (u) ln(2 – x) < -4x2 + 6x + 7 (j) < -6 x+1 (k) 1 x 5x + 18 x+4 (y) x(x – 2)(x + 1) < 0 (aa) x3 > 0.9(x – 45)2 – 24.5 3x2 + 5x < 5 (bb) x3 + 6x2 (cc) 4 9x + 6 > 0 x – 1 > 20 – ln(x + 1) MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 10. Las funciones de ingresos y costes de una empresa por la fabricación de x unidades de producto vienen dadas, respectivamente, por las expresiones siguientes: I(x) = -15000 · 0.99x + 15000 C(x) = 0.001 · x3 – 0.225 · x2 + 16.875 · x + 4578 (a) Representar gráficamente la función de ingresos indicando sus características principales. Calcular e interpretar, cuando sea posible, sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.
(b) Representar, en la misma gráfica del apartado anterior, la función de costes indicando sus características principales. Calcular e interpretar, cuando sea posible, sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.
(c) Determinar gráfica y numéricamente el intervalo de producciones para el cual los beneficios son positivos.
(d) Calcular la TMV de la función de beneficios en el intervalo obtenido en el apartado anterior. Interpretar detalladamente el resultado en términos del contexto del problema.
(e) Calcular la recta tangente a la función de beneficios para una producción de 200 unidades e interpretar detalladamente el resultado. Utilizarla para dar un valor aproximado a los beneficios para una producción de 201 unidades y compararlo con el valor real.
5 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 Tema 3. Problemas de modelización funcional y optimización 1. La función de costes de una empresa por a la fabricación de q unidades de un producto viene dada por la expresión: C(q) = 0,1q2 + 18q + 100 (a) Representar en dos gráficos distintos la función de C(q) y la función de costes medios CM(q) = C(q)/q.
(b) Determinar la producción que corresponde a un coste medio mínimo e indicar el valor de este mínimo.
(c) Determinar gráficamente y numéricamente el intervalo de producciones que dan un coste medio CM(q) menor que 25 €.
(d) La función de ingresos de la empresa viene dada por la expresión: I(q) = -0,01q(q + 10)(q – 150) .
Dar su tabla de variaciones y representarla gráficamente, indicando el ingreso máximo.
(e) Representar gráficamente la función de beneficios. Determinar gráficamente un valor aproximado del intervalo de producción aconsejado para tener beneficios positivos así como el intervalo en el que los beneficios superan los 2000 €.
2. Una empresa prevé que el coste de producción por la fabricación de x millares de un artículo viene dado por la función: C(x) = 600 ln(x + 2) + 800, La demanda se puede aproximar por la ecuación x = 200 – p, donde p es el precio de venta de los artículos (C y p en €.).
(a) Determinar, en función de x, los ingresos I(x) previstos por la venta de x millares de artículos y representarla gráficamente.
(b) Representar en el mismo gráfico la función de costes de producción.
(c) Deducir gráficamente el intervalo aproximado de producciones que generan beneficios y dar un valor aproximado de la producción óptima.
(d) Calcular la función de beneficios marginales y = B’(x) y representarla gráficamente.
(e) Determinar aproximadamente las soluciones de B’(x) = 0 y precisar si se trata de máximos o de mínimos de la función B(x). ¿Corresponde con lo visto en el apartado (c)? 3. El coste de producción de un artículo varía con la cantidad producida x según la función de costes: C(x) = x3 – 12x2 + 60x.
(a) Calcular la funciones de costes marginales C’(x) y representarla gráficamente.
(b) Indicar las variaciones de la función de costes C(x) y representarla gráficamente.
(c) Dar la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica y = C(x) en los puntos: x = 0, x = 4 y x = 6 y representarlas en el gráfico anterior.
(d) Representar la función de ingresos que viene dada por la expresión I = 200·ln(x +1).
1 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 (e) Determinar gráficamente el intervalo en el que los beneficios son positivos y dar un valor aproximado de las producciones límite. Dar también un valor aproximado de la producción que permite obtener un beneficio máximo.
4. El coste de fabricación de un artículo por la producción de q unidades viene dado por la función: C(q) = 0,02q2 +8q + 500 (a) Dar una posible interpretación de los tres términos de la función: 500, 8q y 0,02q2.
(b) Dar la expresión general de las funciones de ingreso y beneficio si el precio de venta es de 19 € por unidad.
(c) Representar gráficamente las tres funciones: costes, ingresos y beneficios. ¿Qué cantidad mínima aconsejáis producir? ¿Qué cantidad óptima? (d) ¿Qué ocurre si el precio sube a 24 € por unidad? ¿Y si baja a 15 € por unidad? (e) Determinar el precio mínimo de venta para asegurar que haya beneficios en algún intervalo de producción.
(f) En el caso inicial de un precio de 19€, indicar la producción mínima y la producción óptima si la empresa se ve obligada a añadir un coste constante de mantenimiento de la maquinaria de 350 €.
4’. Repetir los apartados (b), (c) y (e) anteriores con la función de costes: C(q) = 0,02q2 + 20q + 40 000 y un precio unitario inicial de 110 €.
4’’. Igual que el caso anterior con la función de costes: C(x) = 0,04x2 + 60x + 10.000 y un precio unitario inicial de 300 €.
5.
En términos económicos, se habla de los costes marginales para indicar la tasa unitaria de variación de los costes, es decir, para designar la derivada de la función de costes. Sabemos que los costes marginales de una empresa por la producción de q millares de unidades de un producto son: C’(q) = 0,02(q + 45)2 – 24,5 (a) Representar gráficamente la función C’(q).
(b) ¿Cuáles son los costes marginales cuando no se produce nada? Interpretar este resultado.
(c) El departamento de finanzas de la empresa no aconseja ninguna producción con costes marginales superiores a 36. Indicar en la gráfica el intervalo de posibles producciones.
(d) A partir de la gráfica de C’(q), esbozar la función de costes C(q) sabiendo que los costes fijos son 1000 €.
(e) Repetir el problema con la función de costes: C’(q) = 0,02q3 + 2q2 + q – 150.
6. Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto, que indican el precio p en función de la cantidad ofertada o demandada x, son las siguientes: 2 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 2500 Demanda: p = x + 20 Oferta: p = 8 0x 1 0 0 (a) Representar gráficamente las dos funciones. Calcular los puntos de corte con los ejes y explicar que significan.
(b) Determinar gráficamente y numéricamente el intervalo de demandas que corresponden a precios comprendidos entre 100 € y 50 € y el intervalo de ofertas que corresponden a precios comprendidos entre 30 € y 100 €.
(c) Sabiendo que la función de ingresos viene determinada por I = precio de demanda · x, demostrar que en este caso la función de ingresos será: 50000 I = 2500 - x + 20 (d) Determinar gráficamente y numéricamente a partir de qué cantidad los ingresos superan los 1000 €.
(e) Si cada unidad de producto tiene un coste unitario de 3,2 € (los costes fijos son 0), expresar la función de Beneficios y representarla gráficamente. ¿Cuál es el intervalo de producción aconsejable? ¿Para qué valor los beneficios son máximos? 7. Se supone que la demanda producto en relación a su precio viene dada por la ecuación: 15p + 2x = 720. Una aproximación lineal del coste de producir x unidades es: C(x) = 200 + 6x. ¿Qué precio hay que fijar para que el beneficio sea máximo? Repetir el problema considerando una función de costes cuadrática: C(x) = 200 + 6x + 0,06x2.
8. La demanda mensual q de un determinado artículo viene dada por la relación: q = 1350 – p, donde p es el precio unitario del artículo en euros. Los costes de mano de obra y de material por la producción de este artículo son de 150 € por unidad y los costes fijos de 20000 € al mes.
(a) Dar la expresión general de las funciones de ingresos y costes en función del precio p. ¿Qué precio unitario hay que fiar para obtener un beneficio máximo? (b) La compra de nueva maquinaria permite reducir los costes unitarios a 90 € por artículo. ¿Qué precio unitario conviene fijar en este caso? 9. Una empresa fabrica en serie entre 1 y 600 unidades diarias de un producto. La función de demanda de este artículo es: p = 0,01q2 – 12q + 3600 (a) Representar en dos gráficos distintos la función de demanda y la función de ingresos I(q) = p·q. Dar en cada caso una interpretación económica de los puntos de corte con los ejes.
(b) Los costes de producción de este artículo vienen dados por la función: C(q) = q2 + 600q + 15.000. Representarla en el mismo gráfico que la función de ingresos y determinar gráficamente un valor aproximado del intervalo de producciones que generan beneficios.
(c) Representar en un tercer gráfico la función de costes medios CM(q) y determinar la producción para la que se obtiene un coste medio mínimo.
3 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 (d) Representar en un cuarto gráfico la función de beneficios de la empresa.
Determinar la producción que da un beneficio máximo y dar el valor de este beneficio. ¿Qué precio corresponde a esta producción? (e) Determinar gráficamente un valor aproximado del intervalo de producción aconsejado para tener beneficios mayores que 100.000.
10. Una empresa fabrica en serie un artículo. La función de ingresos (en miles de €) por la venta de q unidades de este artículo es: I(q) = 30·ln(q – 20) + 10.
(a) Representar gráficamente esta función y determinar para qué producciones los ingresos superan los 150 miles de €.
(b) En una primera etapa, los costes de la empresa por la venta de q unidades de este artículo venían dados por la función C1(q) = 50 + 0,5q. Dar una interpretación económica de esta función (qué indica el coeficiente 0,5 y el valor 50) y representarla en el gráfico anterior. Determinar gráficamente un valor aproximado del intervalo de producciones que generan beneficios.
(c) En una segunda etapa, los costes siguieron otra función: C2(q) = 0,05(q + 50)2 + 10. Representar esta función y determinar gráficamente un valor aproximado del nuevo intervalo de producciones que generan beneficios.
(d) Calcular, en el caso de la primera etapa, la función de beneficios marginales B1’(q).
(i) Representarla gráficamente y determinar los puntos de corte con los ejes.
(ii) Utilizar la gráfica de B1’(q) para deducir las variaciones de la función de beneficios B1(q).
(iii)¿Qué producción asegura un beneficio máximo? (e) Calcular, en el caso de la segunda etapa, la función de costes medios CM2(q).
(i) Estudiar las variaciones de CM2(q) y representarla gráficamente.
(ii) Determinar el valor que da un coste medio mínimo.
(iii)Calcular gráfica y numéricamente el intervalo de producciones con coste medio menor que 15.
11. Se puede considerar la producción anual de trigo sobre un terreno determinado como una variable que depende de la cantidad de trabajo proporcionado. Se dice entonces que el trigo es el bien producido y que el trabajo es el factor de producción. Supongamos que se ha modelizado la producción anual de trigo en una determinada zona mediante la siguiente función que expresa la cantidad q de trigo (en toneladas) en función de la cantidad t de horas de trabajo: 36t q(t) = t + 1000 La función q(t) es la función de producción y sólo está definida para valores de t positivos.
(a) Representar la gráfica de q(t).
(b) ¿Cuántas horas de trabajo se necesitan para una producción de 10 toneladas? ¿De 20? ¿De 50? 4 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 (c) Suponed que la hora de trabajo se paga a 9 € y que el trigo se vende a 40 € por tonelada. Expresar el beneficio del productor en función del tiempo de producción. ¿En qué casos se obtiene un beneficio positivo? (d) ¿Qué ocurriría si la hora de trabajo se siguiera pagando a 9 € pero el precio del trigo se disparara a 1000 € por tonelada? ¿Y si el precio sigue a 40 € pero aumenta el precio por hora a 15 €? 12. Repetir el problema anterior considerando la función inversa t(q) que expresa las horas de trabajo en el campo de trigo en función de la producción q obtenida.
(a) Dar la fórmula que define t(q) y representar gráficamente esta función.
(b) Suponer que la hora se paga a 9 € y que el trigo se vende a 40 € por tonelada.
Expresar el beneficio del productor en función de la cantidad producida. ¿En qué casos se obtiene un beneficio positivo? (c) Comprobar los resultados del problema anterior en los dos casos: (1) la hora de trabajo se siguiera pagando a 9 € pero el precio del trigo se disparara a 1000 € por tonelada; (2) el precio del trigo sigue a 40 € por tonelada pero aumenta el precio de la hora de trabajo a 15 €.
13. La función de costes de una empresa por a la fabricación de q unidades de un producto se puede aproximar por la función: C(q) = q3 – 3q2 + 150q (a) Estudiad las variaciones de esta función y representad C(q) gráficamente.
Indicad, a partir del estudio gráfico, cual tiene que ser el intervalo aproximado de producción si queremos que los costes no superen los 5000 €.
(b) Calculad y representad en el gráfico anterior la recta tangente a la función de costes en el punto q = 70 unidades.
(c) Representad en otro gráfico la función de costes medios CM(q) = C(q)/q.
Indicad en la gráfica cual tiene que ser el intervalo de producción si queremos que los costes medios no superen los 100€.
(d) Representad en el gráfico anterior la función de costes marginales C’(q).
Determinad e indicad en la gráfica el intervalo de producciones en el cual CM(q) > C’(q).
(e) ¿En qué punto se cortan las curvas CM(q) y C’(q)? ¿Qué particularidad tiene este punto? (f) Suponiendo que el producto se vende a un precio unitario de 100€, calculad la función de beneficios y la de beneficios marginales. Estudiad las variaciones de la función de beneficios y representadla gráficamente. ¿Para qué producción se tiene un beneficio máximo? (g) La función de costes considerada tiene un defecto: no tiene en cuenta los costes fijos. Indicad cual sería la función de costes si incluimos unos costes fijos de 1000€. Representadla en la gráfica del apartado (a).
(h) Determinad la función de costes medios que correspondería a la función de costes anterior. Haced un esbozo de su gráfica descomponiéndola como suma de funciones elementales: una parábola y una hipérbola (haced una gráfica aproximada, sin determinar los máximos o mínimos).
5 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 14. Las vendas de una empresa durante los últimos 5 años (siendo el año pasado el año 5) vienen dadas por la tabla siguiente: Año 1 2 3 4 5 Ventas (miles de unidades) 4300 3696 3182 2735 3592 (a) Haced un modelo lineal para predecir las ventas del próximo año a partir de las del año 1 y 5.
(b) Representadlo gráficamente t explicad como variaría el modelo si escogieseis los datos del año 4 y 5.
(c) Haced un modelo exponencial para predecir las ventas del próximo año a partir de las del año 1 y 5.
(d) Representadlo gráficamente y explicad como variaría el modelo si escogieseis los datos del año 4 y 5.
(e) Calculad para los modelos de los apartados (a) y (c) la variación media de las ventas entre los años 2 y 4. Indicad cómo se visualiza esta información en la gráfica y comparadlo con la realidad.
(f) Calculad para los modelos de los apartados (a) y (c) la variación puntual de las ventas el año 3 e indicad cómo se visualiza esta información en la gráfica.
Comparadlo con los resultados del apartado anterior (si da igual, más grande o más pequeño y por qué).
15. Los datos que de la tabla siguiente muestran la evolución del IPC durante el año 2008. Podemos observar como el IPC se mantuvo durante todo el 2008 por encima del 4%, pasando al entorno del 5% durante el verano. El IPC 2008 se movió claramente en tendencia alcista, y aunque se culpó de la subida del IPC a los precios del petróleo, no se observó en agosto una bajada de IPC tan clara como para establecer esa relación IPC-petróleo y olvidarse de otros factores. El objetivo es determinar cuál hubiera sido la previsión del IPC para los siguientes tres meses con la información que se muestra a continuación: Febrero 08 Marzo 08 Abril 08 Mayo 08 Junio 08 Julio 08 Agosto 08 Septiembre 08 Octubre 08 Noviembre 08 Diciembre 08 4,4% 4,5% 4,2% 4,6% 5,0% 5,3% 4,9% 4,5% 3,6% 2,4% 1,4% (a) Proponer la familia de funciones que más se ajuste a los datos anteriores y explicar el porqué de la elección.
6 MATEMÁTICAS – Curso 2012/13 (b) ¿Cuál es la mejor expresión analítica dentro de la familia propuesta? Argumentar la respuesta. Usarla para hacer una previsión del IPC para los tres meses posteriores a los de la tabla.
(c) ¿Qué relación hay entre el modelo de las variaciones mensuales de los datos y el modelo escogido en el apartado (b)? (d) Calcular para el modelo escogido en el apartado (b): (i) La variación media del modelo entre los meses de febrero del 2008 y abril del 2008. Indicar cómo se visualiza esta información en la gráfica y compararlo con los datos reales.
(ii) La variación puntual del modelo en el mes de julio del 2008. Indicar cómo se visualiza esta información en la gráfica.
16. La tabla siguiente, encontrada en la página Web del Instituto Nacional de Estadística (www.ine.es), indica el número de trabajadores en alta laboral desde el mes de mayo de 2008 hasta el mes de marzo de 2009. Estos datos han sido proporcionados por el Ministerio de Trabajo e Inmigración.
Mes Trabajadores Mayo 08 19384100 Junio 08 19184842 Julio 08 19169826 Agosto 08 19055340 Septiembre 08 18837302 Octubre 08 18706423 Noviembre 08 18659607 Diciembre 08 18305613 Enero 09 18150678 Febrero 09 18075777 Marzo 09 17967287 (a) Proponer un modelo para determinar el número de trabajadores en alta laboral que se podría prever para los meses siguientes a éstos a partir de la información adjunta (justificando el porqué de la elección). Explicar las ventajas e inconvenientes de este modelo.
(b) Dar la expresión analítica que mejor se ajuste a los datos reales para el modelo propuesto en el apartado anterior. Explicar detalladamente el método utilizado para determinar tal expresión.
(c) Calcular cuál debería haber sido la previsión del número de trabajadores en alta laboral para los cuatro meses siguientes a los de la tabla. Explicar los resultados.
(d) Calcular las variaciones del número de trabajadores en alta laboral para los datos del enunciado y explicar, según el apartado (b), qué expresión analítica debería ajustarse a estas variaciones.
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