SFE_2.9 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 1
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

2.9 Caos molecular. Comentar breument quines de les seg¨ uents situacions contenen (o poden contenir en algun cas particular) la hip`otesi de “caos molecular” de Boltzmann: 3 4 m f (v1 , v2 ) ≥ exp ≠ v1 v2 2kB T 3 4 m 2 f (v1 , v2 ) ≥ exp ≠ (v1 + v2 ) + av1 v2 2kB T 3 È4 m Ë 2 2 f (v1 , v2 ) ≥ exp ≠ (v1 ≠ v0 ) + (v2 ≠ v0 ) 2kB T 3 4 ⁄ m 3 2 f (v1 , v2 )d v2 ≥ exp ≠ (v1 ) 2kB T Soluci´ o: B`asicament, el que hem de mirar ´es si cada funci´o de distribuci´o f (v1 , v2 ) es pot escriure com el producte de dues funcions independents, una que tingui com a variable v1 i l’altra com a variable v2 : f (v1 , v2 ) ≥ g(v1 )h(v2 ). Si ´es que s´ı, la f (v1 , v2 ) cont´e la hip`otesi de “caos molecular”. Anem una per una.
´ impossible Û La primera funci´ o distribuci´o no cont´e la hip`otesi de caos molecular. Es escriure f (v1 , v2 ) com el producte de dues funcions independents: g(v1 )h(v2 ).
Û La segona f (v1 , v2 ), a priori, no cont´e la hip`otesi de caos molecular ja que desenvolupant el quadrat de l’exponent se segueix que 3 4 m f (v1 , v2 ) ≥ exp ≠ (v1 + v2 )2 + av1 v2 2kB T 3 4 3 4 35 6 4 m 2 m 2 m ≥ exp ≠ v exp ≠ v exp a ≠ v1 v2 2kB T 1 2kB T 2 kB T (0.260) ≥g(v1 )g(v2 )t(v1 , v2 ).
Per` o si demanam que a = m/(kB T ) resulta que t(v1 , v2 ) = 1, i en conseq¨ u`encia f (v1 , v2 ) ≥ g(v1 )g(v2 ) (en aquest cas g = h). Sota aquesta restricci´o, f (v1 , v2 ) cont´e la hip` otesi de caos molecular.
Û La tercera funci´ o de distribuci´o s´ı cont´e la hip`otesi: 3 4 È m Ë f (v1 , v2 ) ≥ exp ≠ (v1 ≠ v0 )2 + (v2 ≠ v0 )2 2kB T 3 4 3 4 m m 2 2 ≥ exp ≠ (v1 ≠ v0 ) exp ≠ (v2 ≠ v0 ) 2kB T 2kB T (0.261) ≥g(v1 )g(v2 ).
En aquest cas resulta que g i h s´on la mateixa funci´o.
Û Finalment, la quarta funci´ o distribuci´o tamb´e cont´e la hip`otesi de caos molecular.
En principi, les funcions de distribuci´o estan ben normalitzades, de manera que si suposem f (v1 , v2 ) ≥ g(v1 )h(v2 ), tenim ⁄ f (v1 , v2 )d3 v2 ≥ g(v1 ) ⁄ 3 h(v2 )d3 v2 = g(v1 ) ≥ exp ≠ 52 4 m (v1 )2 .
2kB T (0.262) ...