Problemas de Espacios Vectoriales (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Álgebra lineal
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 17/05/2014
Descargas 2

Vista previa del texto

Espais vectorials P 1 A l’ e.v. R4 siguin a = (1, 2, 3, 4) , b = (2, 2, 2, 6) , c = (0, 2, 4, 4) , d = (1, 0, −1, 2) , e = (2, 3, 0, 1) , F = a, b, c i G = d, e Busqueu bases de F, G, F ∩ G, i F + G.
  P 2 A l’ e.v. R3 sigui H = (x, y, z)   x − y + 2z = 0  . Demostreu que H ´es s.v. de R3 . Busqueu 2x + y + z = 0  una base de H.
  siguin F = (x, y, z, t)   x + 2y + z + 3t = 0  P 3 A l’ e.v. R4 i G = 3x − y − z + t = 0  (1, 1, −1, −1) , b = (1, 2, −4, −1) i c = (3, 5, −9, −3).
a, b, c on a = Busqueu bases de F, G, F ∩ G, i F + G.
P 4 A l’ e.v. R3 siguin   F = (x, y, z)   x+y−z =0  i G = {(x, y, z) | x − y − 2z = 0 } .
x + 3y + 5z = 0  Demostreu que R3 = F ⊕ G.
P 5 A l’ e.v. R4 siguin   H = (x, y, z, t)  Busqueu bases per F ∩ H  x + 2y − z + t = 0  i F = {(x, y, z, t) | 5x + y + z − 4t = 0 } 3x − y + z + t = 0  i F + H.
P 6 A l’ e.v. R4 siguin a = (1, 0, −1, 2) , b = (−1, 1, 0, 1) , c = (1, 1, −2, 5) i H = a, b, c . Busqueu les equacions caracter´ıstiques de H.
1 P 7 A l’ e.v. R3 siguin F = (a, 1, 1) , (−1, −a, −1) , (−1, −1, a) , G = (0, c, −b) , (−c, 0, a) , (b, −a, 0) .
Busqueu la dimensi´ o de F segons els valors de a. Busqueu tamb´e la de H.
Busqueu la dimensi´ o de G segons els valors de a, b i c.
P 8 Sigui E un e.v. sobre R i siguin e1 , e2 , e3 vectors linealment independents. Siguin α ∈ R, a = α · e1 + (1 − α) · e2 , b = α · e2 + (1 − α) · e3 , c = α · e3 + (1 − α) · e1 Demostreu que a, b, c s´ on vectors l. i. ∀ α ∈ R.
Considerant que E ´es e.v. sobre C, busqueu α ∈ C verificant que a, b, c s´ on vectors l.d.
P 9 A l’ e.v. R3 , busqueu la dimensi´ o del s.v. F segons els valors del par` ametres α, β i γ F = (1, −1, 0) , (2, 1, α) , (3, 0, β) , (1, γ, 1) .
P 10 Proveu que els vectors a = (1, 10) , b = (1, −1, 0) i c = (1, 1, 1) s´ on una base de R3 .
P 11 Demostreu que a, b = c, d , determineu la dimensi´ o dels subespais i trobeu un subespai suplementari, essent: i) a = (2, 3, −1) , b = (1, −1, −2) , c = (3, 7, 0) , d = (5, 0, −7) vectors de R3 .
ii) a = (2, 3, −1, 0) , b = (−3, 1, 0, 2) , c = (−4, 5, −1, 4) , d = (9, 8, −3, −2) de R4 .
P 12 Proveu que els vectors (−1, 1, 1) , (1, −1, 1) , (1, 1, −1) formen una base de R3 . Trobeu les components del vector v = (a, b, c) en la base anterior.
P 13 A l’espai vectorial R2 considerem els subespais E = (0, 1) , F = (1, 1) , G = (2, 1) .
Demostreu que E ⊕ G = R2 = F ⊕ G.
P 14 Demostreu que E = {f : R −→ R} ´es espai vectorial sobre R i digueu quins dels seg¨ uents conjunts s´ on subespais de E: a) F1 = f ∈ E f x2 = [f (x)]2 , c) F3 = {f ∈ E | f (3) = 1 + f (−5) }, e) F5 = {f ∈ E | f cont´ınua en R }, F2 = {f ∈ E | f (0) = f (1) } b) F4 = {f ∈ E | f (−1) = 0 } d) f) F6 = {f ∈ E | f (t) = f (−t) , ∀ t ∈ R } g) F7 = {f ∈ E | f (t) = −f (−t) , ∀ t ∈ R }.
Demostreu que E = F6 ⊕ F7 2 P 15 Siguin A, B i C s.v. de E, amb A ⊂ C. Demostreu que A + (B ∩ C) = (A + B) ∩ C.
√ P 16 Siguin d, m ∈ Z+ tal que la seva arrel quadrada no sigui exacta, i sigui Q d = x∈R √ √ √ Demostreu que Q d ´es un e. v. sobre Q. Demostreu que Q d ≈Q m , ∀ m, d .
  P 17 Sigui F = (x, y, z, t) ∈ R4  √ x = a + b d,a  x = y − 3z  . Demostreu que F ´es s.v. de R4 , busqueu una  z = 2t base de F i completeu-la a una base de tot l’espai.
3 ...