Mecánica Cuántica - Problema 39 (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 1
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 8
Subido por

Vista previa del texto

.
39 Considereu l’operador unitari U (s) = exp(≠isG), on s ´es un par`ametre real.
(a) Mostreu que per tal que U (s) sigui unitari cal que G sigui herm´ıtic.
(b) Trobeu el transformat de l’operador A per la transformaci´o implementada per U (s), A(s) © U (s)AU † (s), en el cas d’una transformaci´o infinitesimal, per un valor de ”s π 1.
Soluci´ o: (a) Imposem la unitarietat de l’operador U (s) (recordem que un operador A ´es unitari quan A† = A≠1 ). Per un costat, 1 U † (s) = e≠isG Per l’altre, 2† = eisG .
† U ≠1 (s) = eisG (0.1) (0.2) ja que U (s)U ≠1 (s) = e≠isG eisG = e≠isG+isG = e0 = (`obviament, G commuta amb si mateix, de manera que el producte de les dues exponencials ´es l’exponencial de la suma dels exponents). Veiem que U (s) ´es unitari (U † (s) = U ≠1 (s)), si i nom´es si G† = G, i.e., si el generador de la transformaci´o U (s), G, ´es herm´ıtic.
(b) Si consideram una transformaci´o infinitesimal, podem desenvolupar U (s) en s`erie de Taylor. Tot despreciant termes d’ordre quadr`atic (”s)2 , tenim que U (s) ¥ ≠ i”sG i U † (s) = U ≠1 (s) ¥ + i”sG. El transformat de l’operador A esdev´e A(s) © U (s)AU † (s) ¥ ( ≠ i”sG) A ( + i”sG) = ( ≠ i”sG) (A + i”sAG) = A + i”sAG ≠ i”sGA = A + i”s[A, G].
Observem que si A i G commuten, A(s) = A (G ´es una invari`ancia).
1 (0.3) ...