2. entrega de problemas calculo (2017)

Trabajo Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Nanociencia y Nanotecnología - 1º curso
Asignatura Calculo
Profesor B.
Año del apunte 2017
Páginas 6
Fecha de subida 24/10/2017
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Segunda entrega de problemas Problema 1: Fórmula para calcular el volumen: 𝑑𝑉 = 2𝜋 𝑥 𝑑𝑥 ℎ Calculamos la altura: 𝑦=ℎ (𝑥 − 𝑟)2 𝑦2 ( 2) + =1 𝑏 𝑎2 (𝑥 − 𝑟)2 𝑦2 ( 2) = − +1 𝑏 𝑎2 (𝑥 − 𝑟)2 𝑦 = √1 − 𝑏 𝑎2 𝑦 = 𝑏√1 − (𝑥 − 𝑟)2 =ℎ 𝑎2 Substituimos la altura en la fórmula de volumen y lo calculamos (solo la mitad de la elipse): 𝑑𝑉 = 2𝜋 𝑥 𝑏√1 − (𝑥 − 𝑟)2 𝑑𝑥 𝑎2 𝑥+𝑎 𝑎2 − (𝑥 − 𝑟)2 2𝜋 𝑥 𝑏√ 𝑑𝑥 𝑎2 𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 𝑏 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥 √𝑎2 − (𝑥 − 𝑟)2 𝑑𝑥 𝑎 𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 𝑏 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥 √𝑎2 − (𝑥 − 𝑟)2 𝑑𝑥 𝑎 𝑥−𝑎 𝑉=∫ De coordenadas cartesianas a elípticas: 𝑥 − 𝑟 = 𝑎 sin(𝑡) 𝑑𝑥 = 0 + 𝑎 cos(𝑡) 𝑑𝑡 𝑟 + 𝑎 = 𝜋/2 𝑟 − 𝑎 = −𝜋/2 𝑏 𝜋/2 (𝑎 sin(𝑡) + 𝑟)√𝑎2 − 𝑎2 sin2 (𝑡) a cos(𝑡) 𝑑𝑡 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑎 −𝜋/2 𝑏 𝜋/2 (𝑎 sin(𝑡) + 𝑟)√𝑎2 (1 − sin2(𝑡)) 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑎 −𝜋/2 1 Segunda entrega de problemas 𝑏 𝜋/2 𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑎 sin(𝑡) + 𝑟) 𝑎√1 − sin2(𝑡) a cos(𝑡) 𝑑𝑡 𝑎 −𝜋/2 𝑏 𝜋/2 𝑉 = 2𝜋 ∫ (𝑎 sin(𝑡) + 𝑟) 𝑎√cos2 (𝑡) a cos(𝑡) 𝑑𝑡 𝑎 −𝜋/2 𝑏 𝜋/2 (𝑎 sin(𝑡) + 𝑟)𝑎2 cos2 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑎 −𝜋/2 𝜋/2 (𝑎 sin(𝑡) + 𝑟) cos2 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑉 = 2𝜋𝑏𝑎 ∫ −𝜋/2 𝜋/2 (𝑎 sin(𝑡)) cos 2 (𝑡) + 𝑟 cos2 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑉 = 2𝜋𝑏𝑎 ∫ −𝜋/2 𝜋/2 𝜋/2 (𝑎 sin(𝑡)) cos 2 (𝑡) 𝑑𝑡 + 2𝜋𝑏𝑎 ∫ 𝑉 = 2𝜋𝑏𝑎 ∫ −𝜋/2 𝜋/2 2 𝑉 = 2𝜋𝑏𝑎 ∫ −𝜋/2 𝜋/2 (sin(𝑡)) cos 2 (𝑡) 𝑑𝑡 + 2𝜋𝑏𝑎𝑟 ∫ −𝜋/2 cos 2 (𝑡) 𝑑𝑡 −𝜋/2 cos2 𝑡 = 1 − cos 2𝑡 2 𝜋/2 𝑉 = 2𝜋𝑏𝑎2 ∫ 𝑟 cos 2 (𝑡) 𝑑𝑡 𝜋/2 (sin(𝑡)) cos2 (𝑡) 𝑑𝑡 + 2𝜋𝑏𝑎𝑟 ∫ −𝜋/2 −𝜋/2 1 − cos 2𝑡 𝑑𝑡 2 𝜋/2 −cos3 𝑡 𝑡 sin 2𝑡 𝜋/2 𝑉 = 2𝜋𝑏𝑎 [ ] + 2𝜋𝑏𝑎𝑟 [ − ] 3 2 4 −𝜋/2 −𝜋/2 𝜋 2𝜋 𝜋 2𝜋 sin 2 − 2 sin − 2 2 𝑉 = 0 + 2𝜋𝑏𝑎𝑟 [( − )−( − )] 2 4 2 4 2 𝜋 𝜋 𝑉 = 0 + 2𝜋𝑏𝑎𝑟 [( − 0) − (− − 0)] 4 4 𝜋 𝑉 = 2𝜋𝑏𝑎𝑟 2 2 𝑉 = 𝜋 𝑏𝑎𝑟 𝑢3 El volumen calculado es el volumen de la mitad de la figura (ya que he calculado la mitad de la altura), por lo que el resultado será el doble del volumen que hemos calculado: Por tanto, el volumen del objeto será: 𝑉 = 2𝜋 2 𝑏𝑎𝑟 𝑢3 2 Segunda entrega de problemas Problema 2: 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑦 Límites de integración: 1 − sin 𝑥 = sin 𝑥 1 sin 𝑥 = 2 𝜋 5𝜋 𝑥1 = 6 ; 𝑥2 = 6 en el eje x Masa total: ∫ 5𝜋 6 𝜋 6 sin 𝑥 ∫ 𝜌(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 𝜋 6 1−sin 𝑥 = 𝑘∫ 5𝜋 6 𝜋 6 5𝜋 6 = 𝑘∫ = 𝜋 6 5𝜋 6 5𝜋 6 sin 𝑥 ∫ 𝑘𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 5𝜋 6 𝜋 6 1−sin 𝑥 sin 𝑥 𝑦2 ( ] ) 𝑑𝑥 2 1−sin 𝑥 sin2 𝑥 (1 − sin 𝑥)2 ( − ) 𝑑𝑥 2 2 5𝜋 6 −1 + 2 sin 𝑥 sin2 𝑥 − 1 + 2 sin 𝑥 − sin2 𝑥 ( ) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ ( ) 𝑑𝑥 𝜋 2 2 6 𝑘 𝑘 ∫ (−1 + 2 sin 𝑥)𝑑𝑥 = [−2 cos 𝑥 − 2 𝜋 2 6 5𝜋 𝑥]𝜋6 6 𝜋 = 𝑘 (√3 − ) 3 Centro de masas en el eje X: 𝑋𝐶𝑀 = ∬ 𝑥 · 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ =∫ 5𝜋 6 𝜋 6 5𝜋 6 𝜋 6 ∬ 𝑥 · 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 sin 𝑥 ∫ 𝑘𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 5𝜋 6 𝜋 6 5𝜋 6 1−sin 𝑥 sin 𝑥 𝑘𝑥 ∫ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1−sin 𝑥 5𝜋 6 1 𝑥 𝑘𝑥 (− + sin 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑥 (sin 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑘 ∫ − 𝑑𝑥 𝜋 𝜋 2 2 5𝜋/6 6 6 𝑥2 𝜋 2 √3𝜋 = 𝑘 [− + sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥] = 𝑘 (− + ) 4 6 2 𝜋/6 ∫ 𝑥 (sin 𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥(− cos 𝑥) − ∫ − cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 dónde: u=x du = dx dv = sin x v = ∫ sinx dx = - cosx 3 Segunda entrega de problemas ∬ 𝑥 · 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑋𝐶𝑀 = 𝑘 (− 𝜋 2 − 3√3𝜋 ) 6 3√3 − 𝜋 𝑘( ) 3 ( = 𝜋(−𝜋 + 3√3𝜋 ) 2 (3√3 − 𝜋) = 𝜋 2 Centro de masas en el eje Y: 𝑌𝐶𝑀 = ∬ 𝑦 · 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ =∫ 5𝜋 6 𝜋 6 5𝜋 6 =∫ 𝜋 6 5𝜋 6 𝜋 6 ∬ 𝑦 · 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 sin 𝑥 ∫ 2 𝑘𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 5𝜋 6 𝜋 6 1−sin 𝑥 sin 𝑥 2 𝑘∫ 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ 5𝜋 6 𝜋 6 1−sin 𝑥 sin 𝑥 𝑦3 𝑘[ ] 𝑑𝑥 3 1−sin 𝑥 sin3 𝑥 1 − sin3 𝑥 𝑘[ − ] 𝑑𝑥 3 3 𝑘[ sin3 𝑥 − 1 + 3 sin 𝑥 − 3 sin2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 ] 𝑑𝑥 3 5𝜋 𝑘 6 = ∫ sin3 𝑥 − 1 + 3 sin 𝑥 − 3 sin2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 𝑑𝑥 3 𝜋 6 5𝜋 6 5𝜋 5𝜋 5𝜋 𝑘 𝑘 6 𝑘 6 𝑘 6 = ∫ 2sin3 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ −1 𝑑𝑥 + ∫ 3 sin 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 3𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 3 𝜋 3 𝜋 3 𝜋 3 𝜋 6 = 6 5𝜋 6 2𝑘 ∫ sin2 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 − 3 𝜋 6 5𝜋 6 6 𝑘 5𝜋 [𝑥] 6 3 𝜋6 + 5𝜋 𝑘[− cos 𝑥]𝜋6 6 2𝑘 𝑘 5𝜋 2 = ∫ (1 − cos 𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥 − [𝑥]𝜋6 + 3 𝜋 3 6 6 5𝜋 6 2𝑘 = ∫ sin 𝑥 − cos2 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 − 3 𝜋 6 𝑘 5𝜋 [𝑥]𝜋6 3 6 −𝑘∫ 6 5𝜋 6 1 𝜋 6 5𝜋 𝑘[− cos 𝑥]𝜋6 − 6 + 5𝜋 𝑘[− cos 𝑥]𝜋6 6 − cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 5𝜋 𝑘 6 ∫ 1 − cos 2𝑥 𝑑𝑥 2 𝜋 6 5𝜋 6 𝑘 1 − [𝑥 − sin 2𝑥]𝜋 2 2 6 5𝜋 6 5𝜋 6 6 6 5𝜋 2𝑘 cos3 𝑥 𝑘 5𝜋 𝑘 1 6 6 [𝑥] = [− cos 𝑥 − ] − 𝜋 + 𝑘[− cos 𝑥]𝜋 − [𝑥 − sin 2𝑥]𝜋 3 3 𝜋 3 6 2 2 6 3 5𝜋 3𝜋 2𝑘 5𝜋 cos 6 𝜋 cos 6 2𝑘𝜋 5𝜋 𝜋 = [− cos − + cos + ]− + 𝑘 (− cos + cos ) 3 6 3 6 3 9 6 6 𝑘 5𝜋 1 5𝜋 𝜋 1 𝜋 5√3 5 − [ − sin − + sin ] = 𝑘 ( − 𝜋) 2 6 2 3 6 2 6 4 9 𝑌𝐶𝑀 ∬ 𝑦 · 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 5√3 5 𝑘 ( 4 − 9 𝜋) 5√3 5 − 9 𝜋 0,419734 = 4 = = 0,612 0,68485 3√3 − 𝜋 3√3 − 𝜋 𝑘( ) 3 3 4 Segunda entrega de problemas 𝜋 Centro de masas = ( 2 , 0.612) Problema 4: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 4 Derivando la función: 𝑥 + 2𝑦 · 𝑦 ′ = 0 2 𝑥 𝐹𝑥 = 𝐹𝑦 = 2𝑦 2 Substituyendo en la función: 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦 · 𝑦 ′ = 0 → 𝑦′ = − 𝐹𝑥 𝐹𝑦 Para que sea ortogonal a la familia de curvas resolvemos esta ecuación diferencial: 𝐹𝑦 𝐹𝑥 𝑑𝑦 2𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 2 2 1 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑥 2𝑦 2 1 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑦 𝑥 2𝑦 1 2 ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑦| 2 4 ln|𝑥| + 𝑐 = ln|𝑦| 𝑦′ = ln|𝑥 4 | + 𝑐 = ln|𝑦| 𝑒 ln|𝑥 4 |+𝑐 =𝑦 𝑥4𝑒𝑐 = 𝑦 5 Segunda entrega de problemas Problema 5: Dada la función podemos calcular la derivada bajo el signo de la integral utilizando la siguiente fórmula: (Teorema de Leibniz o teorema fundamental de cálculo) En este caso: 𝑥+𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ sin(𝑡 2 ) 𝑑𝑡 𝑥𝑦 Aplicando la fórmula: 𝑥+𝑦 𝜕𝑓 = ∫ 0 𝑑𝑡 + sin[(𝑥 + 𝑦)2 ] (1 + 0) − sin(𝑥 2 𝑦 2 ) 𝑦 𝜕𝑥 𝑥𝑦 = sin[(𝑥 + 𝑦)2 ] (1 + 0) − sin(𝑥 2 𝑦 2 ) 𝑦 𝑥+𝑦 𝜕𝑓 = ∫ 0 𝑑𝑡 + sin[(𝑥 + 𝑦)2 ] (0 + 1) − sin(𝑥 2 𝑦 2 ) 𝑥 𝜕𝑦 𝑥𝑦 = sin[(𝑥 + 𝑦)2 ] (0 + 1) − sin(𝑥 2 𝑦 2 ) 𝑥 Derivando respecto a x y respecto a y 𝜕 2𝑓 𝜕 2𝑓 = = −2 cos(𝑥 2 𝑦 2 )𝑥 2 𝑦 2 − sin(𝑥 2 𝑦 2 ) + cos(𝑥 + 𝑦)2 (2𝑥 + 2𝑦) 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 Derivada doble respeto a x 𝜕 2𝑓 = −2cos[𝑥 2 𝑦 2 ] 𝑥 3 𝑦 − cos(𝑥 + 𝑦)2 (2𝑥 + 2𝑦) 𝜕𝑥 2 Derivada doble respeto a y 𝜕 2𝑓 = −2cos[𝑥 2 𝑦 2 ] 𝑦 3 𝑥 − cos(𝑥 + 𝑦)2 (2𝑥 + 2𝑦) 𝜕𝑦 2 6 ...

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