Solucions Seminari 4 (2017)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2017
Páginas 4
Fecha de subida 18/06/2017
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Matemàtiques III Curs 2014-2015 Seminari 4. Eines bàsiques de trigonometria i càlcul d’integrals Problema 1: Dibuixeu amb EXCEL les funcions: sin x a) f ( x) = x 2 b) f ( x) = 2 x cos x , on x denota l’angle en radians.
Solució Problema 1: a) b) 1 Problema 2: Utilitzeu EXCEL per calcular els límits següents: sin x a) lim x →0 x 1 − cos x b) lim x →0 , x2 on x denota l’angle en radians.
Solució Problema 2: a) b) 2 Problema 3: Demostreu les següents igualtats trigonomètriques 1 a) 1 + tan 2 x = cos 2 x 1 + cos(2 x) b) cos 2 x = 2 1 − cos( 2 x) c) sin 2 x = 2 Solució Problema 3: sin 2 x cos 2 x + sin 2 x 1 = = .
2 2 cos x cos x cos 2 x b) cos(2 x) = cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x − (1 − cos 2 x) = 2 cos 2 x − 1, i reagrupant ens dóna b) c) cos(2 x) = cos 2 x − sin 2 x = (1 − sin 2 x) − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x, i reagrupant ens dóna c) a) 1 + tan 2 x = 1 + Problema 4: Trobeu la derivada de la funció f ( x) = tan( x) = Solució Problema 4: cos 2 x + sin 2 x 1 f ' ( x) = = 2 cos x cos 2 x Problema 5: Trobeu les integrals següents: a) ∫ x(sin x )dx b) ∫ x dx ∫ x e dx c) d) e) f) g) 1 3 2 −5 x 2 ∫ 3 x cos(−4 x)dx ∫ [cos x]e dx ∫ cos ( x)dx ∫ cos ( x)dx sin x 2 3 Solució Problema 5: a) Per parts: ∫ x(sin x )dx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + sin x + C 3 sin x .
cos x b) Directa: 1 x −2 1 −3 dx = x dx = =− 2 +C ∫ x3 ∫ −2 2x c) Per parts: 2 −5 x ∫ x e dx = − =− x 2 e −5 x 2 x 2 e −5 x 2  xe −5 x 2 −5 x  + ∫ xe −5 x dx = − + − + ∫ e dx  5 5 5 5 5 5    x 2 2x x 2 e −5 x 2  xe −5 x 2 4  + − − e −5 x  + C = e −5 x − + − +C 5 5 5 25   5 25 125  d) Per parts: 2 ∫ 3 x cos(−4 x)dx = −1 1 −1 1 x sin(−4 x) + ∫ sin( −4 x)dx = x sin(−4 x) + cos(−4 x) + C 6 6 6 24 e) Directa: ∫ [cos x]e sin x dx = e sin x + C f) Directa: (utilitzant el Problema 3b) ∫ cos 2 ( x)dx = ∫ 1 + cos(2 x) x sin(2 x) dx = + +C 2 2 4 g) Directa: (utilitzant cos 2 x + sin 2 x =1) ∫ cos 3 ( x)dx = ∫ cos( x)(1 − sin 2 ( x))dx = ∫ cos( x)dx − ∫ cos( x) sin 2 ( x)dx = sin( x) − sin 3 x +C 3 Problema 6: Per a n, m enters, calculeu la següent integral.
1 Indicació: utilitzeu que sin( x)·cos( y ) = (sin( x + y ) + sin( x − y ) ) 2 ∫ sin(nx)·cos(mx) dx .
Solució Problema 6: ∫ sin(nx)·cos(mx) dx = 1 (sin((n + m) x)dx + sin((n − m) x) )dx = 1  − cos((n + m) x) − cos((n − m) x))  + C ∫ 2 2 n+m n−m  4 ...

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