Teoria Cinemàtica (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2014
Páginas 16
Fecha de subida 18/05/2014
Descargas 0
Subido por

Descripción

Fonaments Físics de l'enginyeria.

Vista previa del texto

Cinemàtica Fonaments Físics de l’enginyeria Ramon Herrero Simon Departament de Física i Enginyeria Nuclear Universitat Politècnica de Catalunya FONAMENTS FÍSICS DE L’ENGINYERIA TEMA Cinemàtica 1. Descripció del moviment: Vectors posició, velocitat i acceleració 2. Moviments particulars: Velocitat constant, acceleració consant, acceleració variable. Moviment parabòlic. Moviment circular 3. Components intrínseques de l’acceleració 4. Velocitat relativa: Moviment en sistemes inercials Bibliografia: •P.A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología, Ed. Reverté.
•R. A. Serway, Física, Ed. McGraw-Hill, Méjico.
•W. E. Gettys, F. J. Keller y M. J. Skove Física clásica y moderna, Ed. McGraw-Hill.
Galileo Galilei (1564-1642) Descripció del moviment: Vectors posició, velocitat i acceleració •Sistema de referència : O,{x,y,z} Vector posició: Posició en el sistema de referència O. Coordenades x,y i z r r r r r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k z Trajectòria r(t) y O Vector desplaçament: x Desplaçament sofert pel punt en un ∆t determinat r r r r ∆r = ∆x i + ∆y j + ∆z k z r(t) O x ∆r r(t+∆t) y Velocitat mitjana: Relació entre el desplaçament sofert ∆r i l’increment de temps ∆t z r r ∆r vm = ∆t r(t) ∆r r(t+∆t) y O x Velocitat instantània: Variació de la posició en un cert instant de temps t. Tangent a la trajectòria r r r r r r ∆r dr dx r dy r dz r v = lim ∆t →0 j + k = vx i + v y j + vz k = = i+ dt ∆t dt dt dt z r(t) O x v(t) y Acceleració mitjana: Relació entre la variació de velocitat ∆v i l’increment de temps ∆t r r ∆v am = ∆t Acceleració instantània: Variació de la velocitat en un cert instant de temps t.
r r r r r r ∆v dv dv x r dv y r dv z r a = lim ∆t →0 i+ j+ k = ax i + a y j + az k = = dt dt dt ∆t dt z r(t) O x a(t) v(t) y En general: Sabent r(t) podem obtenir v(t) i amb aquesta a(t) r(t) v(t) r r dr v= dt a(t) r r dv , a= dt I igualment, donades unes condicions inicials, sabent a(t) podem obtenir v(t) i amb aquesta r(t) a(t) v(t) t r r r r r dv = adt ⇒ v (t ) − v0 = ∫ adt 0 r(t) t r r r r r dr = v dt ⇒ r (t ) − r0 = ∫ v dt 0 Casos particulars: Acceleració nul·la: r r r dv a= = 0 ⇒ v = const dt r t r r r r dr r = v ⇒ r − r0 = ∫ v dt = v t dt 0 Moviment rectilini uniforme: a = 0 ⇒ v = v0 moviment unidimensional ⇒ x = x0 + v0t Exemple: Objecte desplaçant-se per sobre d’una superfície de gel sec.
Fregament menyspreable entre el gel i l’objecte Fotografia estroboscòpica: Un fotograma cada ∆t ∆t = 0.42 s.
v x r ∆r  ∆x  =  ,0,0  = const ∆t  ∆t  r ∆v =0 ∆t a=0 Acceleració constant: r t r dv r r r r = const ⇒ v − v0 = ∫ adt = at a= dt 0 r r r r dr r r r 1r = v = v0 + at ⇒ r = r0 + v0t + a t 2 dt 2 Cas unidimensional quan r r v || a Moviment rectilini uniformement accelerat: a = const ⇒ v = v0 + at ⇒ 1 x = x0 + v0t + at 2 2 ⇒ v 2 = v02 + 2a ( x − x0 ) Moviment parabòlic: Cas bidimensional Eix x: mov. rectilini uniforme x = x0 + v x t v x = v0 cosθ Eix y: mov. rectilini uniformement accelerat 1 2 gt 2 v y = v0 sin θ − gt y = y0 + v y t − y v0 O θ (x0,y0) Trajectòria: y(x) g x y ( x) = y0 + tan θ ( x − x0 ) − g 2 ( x − x ) 0 2v0 cos 2 θ Moviment circular: Moviment en 2 dimensions espacials: •Coordenades cartesianes (x,y) •Coordenades polars (r,θ) y ds dθ Relació entre elles x = r cos θ y = r sin θ ds = R dθ r(t)=R constant θ(t) variable R θ moviment unidimensional x Definim: •Velocitat angular: ω= •Velocitat tangencial: v = dθ dt [T ]−1 ds dθ =R = Rω dt dt •Acceleració angular: •Acceleració tangencial: α= dω dt [T ]−2 dv dω =R = Rα dt dt Moviment circular uniforme: α = 0 ⇒ ω = ω 0 ⇒ θ = θ 0 + ω 0t •L’acceleració total no és nul·la α =0 , r r dv a= ≠0 dt La velocitat canvia la seva direcció Moviment circular uniformement accelerat: 1 2 α = const ⇒ ω = ω 0 + αt ⇒ θ = θ 0 + ω 0t + αt 2 I igual que en el cas rectilini: ω 2 = ω 02 + 2α (θ − θ 0 ) Components intrínseques de l’acceleració: •Components extrínseques: r r r r a = axi + a y j + az k •Components intrínseques: Base ortonormal: ut || v y v En qualsevol interval prou petit de la trajectòria: a • v i a determinen el pla en el que es mou el mòbil en aquest instant •El moviment és circular de radi ρ (radi de curvatura) ut j i Sistema de referència un,ut centrat en el mov. circular : r r r un = cosθ i + sin θ j r r r ut = − sin θ i + cosθ j un ρ θ x En el sistema de referència un,ut les derivades dels vectors directors compleixen: r r r u n = cos θ i + sin θ j r r r ut = − sin θ i + cosθ j r dun dθ r = ut dt dt r du t dθ r =− un dt dt •En aquest sistema amb r=ρ constant derivant: r r r = ru n r r dr r du n v = un + r dt dt y v a ut j r dθ r v =r ut dt un ρ θ i x r 2 r dv dr dθ r d 2θ r  dθ  r i derivant altra vegada: a = u n + r 2 ut − r  =  un dt dt dt dt dt   r d 2 (rθ ) r r r 2r a= − = + u r ω u a u a u t n t t n n dt 2 •Acceleració tangencial: Variació del mòdul de la velocitat d 2 (rθ ) d 2 s d ds dv at = = 2 = = dt 2 dt dt dt dt L’acceleració es pot expressar com a suma de dues components, l’acceleració tangencial i l’acceleració normal •Acceleració normal: Variació de la direcció de la velocitat v2 a n = − rω = − r 2 Velocitat relativa: Descripció del moviment en sistemes de referència inercials Sistemes de referència inercials: Són sistemes de referència no accelerats Relació entre la posició del punt P en el sistema O i en el sistema O’ z r = r ' + o' o Velocitat de O’ respecte O : Vo 'o = d o' o dt Derivant la posició respecte el temps P O r o'o y x v = v' + Vo 'o i tornant a derivar: a = a' Les lleis de la mecànica són les mateixes en tots els sistemes inercials.
En sistemes de referència relativistes: Velocitats properes a la de la llum En realitat lo anterior val per velocitats petites.
Segons la teoria de relativitat la màxima velocitat possible entre dos punts és la velocitat de la llum: Límit en la velocitat !!!! c c ¡ 3 ·108 m/s La relació entre velocitats de dos sistemes inercials és en realitat: v= v' + Vo 'o v' Vo 'o 1+ 2 c A tenir en compte per cassos amb velocitats properes a c: Partícules elementals, e-, atoms, i en astronomia ...