problemes 1 (2010)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 3º curso
Asignatura Modelització ambiental
Año del apunte 2010
Páginas 6
Fecha de subida 31/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Modelitzaci´ o Ambiental Llicenciatura de Ci`encies Ambientals. Curs 2010-11 Models Discrets 1. En cada cas, representeu conjuntament les gr`afiques de y = f (x) i de y = x, i calculeu, si n’hi han, els punts d’intersecci´o de les dues gr`afiques.
(a) (d) f (x) = 3x(1 − x) 3x f (x) = 2+x (b) (e) f (x) = 3x(1 − x) + 5 (c) f (x) = xe3(1−x) (f) f (x) = x2 (2 − x) 2x f (x) = 1 + x2 2. Considereu la equaci´o en difer`encies xn+1 = axn + b, n ≥ 0.
En casdascun dels casos seg¨ uents, calculeu els 8 primers iterats (a) (c) (e) 3.
a = 1/2, b = 1, x0 = 1, x0 = 3 a = 2, b = −1, x0 = 2 a = −1/2, b = 6, x0 = 3 (b) (d) (f) a = 1/2, b = 1, x0 = 2 a = −2, b = 4, x0 = 1 a = −1, b = 3, x0 = 1 (a) Trobeu la soluci´o de l’equaci´o en difer`encies xn+1 = axn + 1, n ≥ 0 en funci´o de a i x0 .
(b) Describiu el comportament de la soluci´o per n gran, en funci´o de a i x0 .
4. Considereu l’equaci´o en difer`encies xn+1 = axn (2 − bxn ), n ≥ 0.
(a) Prenent a = 1 i b = 0.8 calculeu els 5 primers iterats a partir de x0 = 0.5 i x0 = 1.5. Quin comportament observeu? (b) Prenent a = 1.6 i b = 1 calculeu els 7 primers iterats amb x0 = 0.5 i x0 = 1.6.
(c) En els dos casos anteriors calculeu els punts fixos i feu el gr`afic d’iteracions.
5. Considereu una poblaci´o pn amb una taxa anual de creixement del 2% i afectada d’una emigra´ a dir, modelada per l’equaci´o: ci´o/immigraci´o i. Es pn+1 = (1.02)pn + i.
(a) Trobeu la soluci´o (en funci´ o de p0 i i) d’aquesta equaci´o en difer`encies.
(b) Veure que si i = 0, el temps que tarda en doblar-se ´es independent de p0 . Quant val aquest temps? (c) Calculeu el temps que tardar en doblar-se, si p0 = 2500 i i = 10, o b´e i = −10. Interpreteu els resultats.
6. Feu el gr`afic d’iteracions per xn+1 = f (xn ) si la gr`afica de f ´es la mostrada a la figura 1. Quants punts fixos hi ha? 7.
(a) Per al seg¨ uent model discret d’una poblaci´o, calculeu els punts fixos i determineu la seva estabilitat 6pn , n ≥ 0.
pn+1 = 1 + pn Feu el gr`afic d’iteracions.
1 2,5 2,0 1,5 y 1,0 0,5 0,0 −1,0 −0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 x −0,5 −1,0 Figura 1: La gr`afica de la funci´o del Problema 6.
(b) Repetiu l’apartat anterior per al model pn+1 = 6pn − 2, 1 + pn n ≥ 0.
Per a quins valors de p0 la poblaci´o s’estabilitza a la llarga a un valor positiu? 8. Per al model de poblacions discret pn+1 = µ pn , 2 + αpn n ≥ 0, µ, α > 0 proveu que una versi´o adimensionalitzada ´es xn+1 = µ xn , 2 + xn n ≥ 0.
(1) Digueu quina relaci´o hi ha entre pn i xn . Per al model (1) estudieu: (a) El n´ umero de poblacions d’equilibri en funci´o de µ.
(b) L’estabilitat local dels equilibris en funci´o de µ.
(c) Per a µ = 4, el gr`afic d’iteracions. Aprofiteu-lo per a estudiar l’estabilitat global dels equilibris.
9. La poblaci´o de certes esp`ecies, subjectes a un tipus espec´ıfic de predadors, es pot modelar per l’equaci´o en difer`encies p2 pn+1 = a 2 n 2 , b + pn amb a > 0 i b > 0.
(a) Veieu que no ´es restrictiu suposar que b = 1.
(b) Estudieu el n´ umero de poblacions d’equilibri i la seva estabilitat en funci´o de a.
2 10. Considereu el model discret per a una poblaci´o pn+1 = r pn 1 + bp2n amb p0 ≥ 0, r > 0 i b > 0.
(a) Vegeu, amb l’ajut del gr`afic d’iteracions, que si r > 2 aleshores despr´es d’un temps prou llarg la poblaci´o pn est`a fitada per pmin = 2r 2 (4 + r √ ≤ pn ≤ pmax = √ .
b 2 b r2) (b) Estudieu l’estabilitat del equilibris per a r > 2.
(c) Quina ´es la din`amica per a 0 < r < 2? 11. Estudieu gr`aficament el seg¨ uent model: pn+1 = √ 8p2n .
1 + p2n Proveu que ´es possible que s’extingeixi la poblaci´o si en algun moment ´es menor que un cert valor cr´ıtic. Quin ´es aquest valor? Hi ha algun punt d’equilibri que sigui atractor local? I global? 12. Considereu el seg¨ uent model discret per una poblaci´o 2 pn+1 = pn eR(1−pn ) , R > 0.
(a) Determineu els punts d’equilibri i estudieu la seva estabilitat.
(b) Feu el gr`afic d’iteracions distingint els casos 0 < R < 21 , R = 1 2 i 1 2 < R < 1.
(c) Amb l’ajut dels gr`afics d’iteracions anteriors proveu que, independentment del valor inicial de la poblaci´o p0 , per a tot altre temps la poblaci´o ´es menor que √12R eR−1/2 (´es a dir, pn ≤ 13.
√1 eR−1/2 2R per a tot n ≥ 1).
(a) Demostreu que una versi´o adimensionalitzada del model pn+1 = pn er(1−pn /k) , on r, k > 0, ve donada per xn+1 = xn eR(1−xn ) , on xn = αpn per a una certa α.
(b) Estudieu l’estabilitat dels punts d’equilibri.
(c) Feu el gr`afic d’iteracions del model adimensionalitzat per R = 1/2.
(d) Per quins valors de R podem assegurar que no hi haur`a cap punt peri`odic? 14. Considereu el seg¨ uent sistema d’equacions en difer`encies xn+1 = 3xn + 3yn .
yn+1 = −2xn − 4yn (a) Escriviu la matriu A associada al sistema.
(b) Prenent (x0 , y0 ) = (4, 3), calculeu (xn , yn ) per n = 1, 2, 3. Feu el mateix prenent (x0 , y0 ) = (1, −2).
(c) Calculeu els valors i vectors propis de A.
(d) Trobeu la soluci´o general.
(e) Trobeu la soluci´o particular que t´e (x0 , y0 ) = (10, 15) com a condici´o inicial.
3 15. Suposem que tenim una poblaci´o d’animals femelles dividida en dues classes d’edat, joves i adults.
Denotem per xn i yn a la poblaci´o de joves i adults respectivament quan han passat n per´ıodes de temps. Suposem que el seg¨ uent sistema d’equacions en difer`encies modelitza l’evoluci´o d’aquesta poblaci´o xn+1 = 2yn .
yn+1 = 0.30xn + 0.50yn (a) Doneu una interpretaci´o del model.
(b) Si inicialment nom´es hi ha 10 adults, calculeu xn , yn , xn + yn , xn , xn + y n yn xn per n = 1, . . . 4.
(c) Quina ser`a la poblaci´o despr´es de n unitats de temps, amb n arbitrari, si inicialment nom´es hi ha 10 adults? (d) Com ´es comporta xn + yn ? (e) Quina proporci´o de joves hi haur`a a la llarga (per n gran)? 16. Considerem els seg¨ uents sistemes d’equacions en difer`encies xn+1 = 21 xn .
yn+1 = −xn + 2yn xn+1 = 0.3xn + 0.5yn , yn+1 = −xn + 3yn Per a cadasc´ un d’aquests sistemes (a) Trobeu la soluci´o general.
(b) Trobeu la soluci´o particular que t´e (x0 , y0 ) = (10, 15) com a condici´o inicial. Quin ´es el comportament l´ımit de (xn , yn ) quan n tendeix a ∞? (c) Per a quines condicions inicials (x0 , y0 ) es compleix que (xn , yn ) tendeix a (0, 0) quan n tendeix a ∞? 17. Suposem que tenim una poblaci´o d’animals femelles dividida en dues classes d’edat. Denotem per xn i yn a la poblaci´o de cada classe d’edat quan han passat n per´ıodes de temps. Suposem que l’evoluci´o de la poblaci´o es regeix pel seg¨ uent model de Leslie, xn+1 yn+1 1 4 1 2 0 = xn yn .
(a) Interpreteu el model.
(b) Quina ser`a la poblaci´o despr´es de 1, 2, 3 o 4 unitats de temps si la poblaci´o inicial ´es x0 = 15, y0 = 15? (c) Quina ser`a la poblaci´o despr´es de n unitats de temps, amb n arbitrari, si la poblaci´o inicial ´es x0 = 15, y0 = 15? (d) Sigui Tn = xn + yn la poblaci´o total despr´es de n unitats de temps. El quocient Tn+1 /Tn tendeix a una certa constant, independent de la condici´o inicial. Determineu aquesta constant i expliqueu com s’obt´e. Raoneu que el comportament de Tn quan n ´es gran ´es similar a un ´ certa aquesta afirmaci´o per a les poblacions xn i yn ? model de Malthus. Es (e) Quan n augmenta quina ser`a la proporci´o (%) de femelles de cada classe d’edat? 4 18. Dues cadenes privades de televisi´o A i B lluiten per l’audi`encia en una certa franja hor`aria. Degut al tipus de programaci´o en aquesta franja hor`aria, el conjunt de televidents de les dues cadenes es mant´e globalment estable. Es calcula que cada setmana, degut a les agressives pol´ıtiques de les cadenes, un 30% dels televidents de la cadena A es passen a la cadena B, mentre que el 40% de televidents de la cadena B passen a visionar la cadena A.
(a) Expliqueu perqu`e la situaci´o plantejada ve descrita per l’equaci´o matricial: xn+1 yn+1 = 0.7 0.4 0.3 0.6 xn yn .
(b) Suposant que en la setmana inicial l’audi`encia de cada cadena ´es de 2 milions de televidents, quina ser`a l’audi`encia de cada cadena al cap de 3 setmanes? (c) Quina ser`a l’audi`encia de cada cadena despr´es de n setmanes, amb n arbitrari? (Suposem les mateixes condicions inicials que a l’apartat anterior.) (d) Quan n augmenta, quina ser`a la proporci´o (%) de televidents de cada cadena? Dep`en aquest percentatge de les condicions inicials? 19. Una certa esp`ecie de peixos es divideix en dues classes d’edat, joves (de 0 a 2 anys) i adults (de 2 a 4 anys). Les equacions que descriuen el comportament de la poblaci´o s´on 1 xn + 3yn 2 11 yn+1 = xn 20 on xn , yn ´es el nombre d’individus joves i adults respectivament, en finalitzar el per´ıode n−`essim.
xn+1 = (a) Escriviu la matriu, L, associada al model.
(b) Si la distribuci´ o inicial de la poblaci´o ´es x0 = 1000, y0 = 2000, calculeu la distribuci´o de la poblaci´o despr´es de 2 anys i despr´es de 4 anys.
(c) Calculeu els valors i vectors propis de la matriu L.
(d) Trobeu la soluci´o general. Quin ´es el comportament de la poblaci´o a la llarga (quan n tendeix a ∞) ? (e) Suposem que s’implementa una pol´ıtica de captures que afecta als individus adults de manera que les equacions que descriuen el comportament de la poblaci´o s´on ara les seg¨ uents 1 xn + 3yn 2 3 yn+1 = xn 20 ´ sostenible aquesta pol´ıtica a llarg Quin ser`a el comportament a la llarga de la poblaci´o ? Es termini ? xn+1 = 20. Una certa esp`ecie d’insectes es pot dividir en tres classes d’edat, de 0 a 6 mesos, de 6 a  0 4  de 12 a 18 mesos. La matriu de Leslie per a la poblaci´o de femelles ´es L = 0.4 0 0 0.2 12  mesos i 8 0  0 (a) Suposem que la poblaci´o inicial defemelles per als tres  grups d’edat ´es 100, 200 i 300 res256 1408 2560 1  128 256 256  , quants insectes de cada classe hi pectivament. Sabent que L5 = 125 32/5 64 128 haur`a despr´es de 2 anys i mig ? i despr´es de 5 anys ? 5 (b) Determineu el comportament de la poblaci´o d’insectes a llarg termini.
(c) Suposem que cada 6 mesos s’aplica un insecticida que matar`a el 30  per cent de laclasse m´es 0.3 0 0  jove, de manera que la nova matriu de Leslie ser`a L − DL on D = 0 0 0 . Quin ´es 0 0 0 el comportament de la poblaci´o a llarg termini ? (d) Si l’insecticida mata el 15 per cent de la classe m´es jove, el 40 per cent de la intermitja i el 60 per cent de la m´es vella, quin ´es ara el comportament de la poblaci´o a llarg termini ? 6 ...