TEMA 4.2 – SISTEMES EN ESTAT ESTACIONARI. MPA. (2016)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Genética - 3º curso
Asignatura Biologia de sistemes
Año del apunte 2016
Páginas 6
Fecha de subida 23/03/2016
Descargas 11

Vista previa del texto

Biologia de Sistemes Alba Ibáñez Galera Anàlisi de l’estructura de les vies metabòliques (Metabolic Pathway Analysis: MPA) Sense calcular una distribució de fluxos a partir de dades experimentals, quines solucions son possibles per a l’estat estacionari? Si ens fixem només en els metabòlits interns llavors recordem que: el sistema [0 = 𝑁 ∗ 𝑣] és un sistema lineal homogeni: ‐ ‐ Solucions no trivials al sistema homogeni només existeixen si hi ha ‘dependència lineal’ entre les columnes de la matriu N (subdeterminat).
Recordem que el nombre de relacions (files o columnes) linealment independents d’una matriu es caracteritza amb el ‘rang’ de la matriu.
El sistema lineal homogeni només te solució (no trivial) si: rang (N) < r; on r és el nombre de columnes (fluxos) de la matriu N. El conjunt de solucions possibles al sistema homogeni es coneix com ‘espai nul’ (null space) o Kernel (nucli).
Per tant, l’espai nul engloba totes les possibles solucions (distribucions de fluxos) d’estat estacionari.
Quantes equacions linealment independents hi ha en el sistema? Mirem quantes incògnites hi ha (valors al vector v), que serà el mateix nombre de columnes a N (rang de la matriu N), que pot coincidir amb el nombre de files.
Matriu Kernel - - L’espai nul limita el conjunt de fluxos metabòlics que es poden establir en un estat estacionari El nombre de possibles solucions és a priori infinita Si ens imaginem l’espai nul com un espai vectorial on cada vector representa un conjunt de fluxos que al multiplicar per N donen zero, una base d’aquest espai tindria tants ‘eixos’ o ‘dimensions’ o vectors ‘base’ (nul·litat) com: 𝒏𝒖𝒍 · 𝒍𝒊𝒕𝒂𝒕 = 𝒓 − 𝒓𝒂𝒏𝒈(𝑵) = 𝒈𝒓𝒂𝒖𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒕 on r és el nombre de columnes (fluxos) de la matriu N, és a dir, el nombre d’incògnites que hi ha.
Exemple: peroxidasa: 𝑟 − 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝑁) = 4 − 3 = 1 (4 incògnites, 3 equacions). Per tant la base de l’espai nul té 1 vector que pot ser: 1 𝐾 = [2] 2 1 Qualsevol possible solució ha de conservar aquestes proporcions.
o Es comprova fàcilment que: 𝟎 = 𝑵 ∗ 𝑲 o Si es multiplica K per qualsevol número s’obté una nova solució del sistema que és linealment dependent de K.
Posant els valors de K com a fluxos a l’exemple tenim  Una altra manera de mirar-ho, seria agafar els números i posar-los en la equació, on tocaria. Si posem aquests números com a velocitats de reacció, indicaríem a la vegada l’estequiometria de la reacció, la qual ens limita les possibilitats.
- Interpretació: En estat estacionari, per cada 2 mols de H2O2 consumits es produeixen 2 mols H2O i un d’O2. (o múltiples proporcionals d’aquests) Altres combinacions són impossibles: Biologia de Sistemes Alba Ibáñez Galera Exemples senzills: les concentracions externes són constants: Podem fer un balanç de sols els dos components interns. La matriu tindria 2 files i dues columnes: rang 2 i un grau de llibertat: matriu kernel d’1 columna.
Ara tenim 4 columnes però el rang es 2 i per tant 2 graus de llibertat. El kernel tindrà dues columnes, cadascuna d’elles independent de l’altra. Cadascuna ens donarà un camí que funcionaria en estat estacionari. En aquest cas, l’α tindria dues files.
Ara sols tenim un metabòlit però 3 velocitats que l’afecten. Tindrem 2 graus de llibertat i 2 columnes al kernel.
Informació que podem obtenir de la matriu kernel: - Quins fluxos son possibles en estat estacionari Reaccions en equilibri o vies mortes Seqüències d’enzims sense bifurcacions Modes de flux elementals Vies extremes A partir d’això es pot deduir: rendiments, relacions possibles entre fluxos, connexió amb cinètica i termodinàmica...
Quins fluxos són possibles en estat estacionari: - Donat un determinat sistema qualsevol distribució de fluxos possible (a l’estat estacionari) és combinació lineal del kernel.
- Aquest sistema té 2 vectors base al kernel.
Una solució particular es pot calcular donant valors als coeficients α1 i α2 (unitats convencionals dels fluxos: mol·s-1, mol·l-1·s-1, mol·gDW-1·s-1) 3 fluxos; 2 graus de llibertat  Equivalent a dir que mesurats 2 fluxos el tercer queda fixat.
- 𝑣1 1 1 1 1 𝛼 1 𝑣 = (𝑣2 ) = 𝛼1 (−1) + 𝛼2 (0) = [−1 0] · [𝛼 ] = 𝐾 · 𝛼 2 𝑣3 0 1 0 1 Si el flux net és 0, hi haurà equilibri o serà una via morta. Si una fila de la matriu estequiomètrica té un sol numero el flux net a l’estat estacionari ha de ser zero: v4=0 Biologia de Sistemes Alba Ibáñez Galera 1 Conseqüència: a la matriu kernel una determinada fila tindrà nomes zeros: 𝐾 = [1]. Pot ser: 1 0 - Que la reacció sigui reversible i estigui a l’equilibri Que no intervingui a l’estat estacionari Que la descripció del sistema tingui un error Si és correcte no cal tenir-la en compte per a l’estat estacionari Reaccions que sempre tenen el mateix flux: - Si en tots els vectors k dos o més reaccions sempre tenen el mateix valor (dins un vector).
Passa en reaccions consecutives.
Aquí v2 i v3 sempre tindran igual flux Aquestes reaccions es poden agrupar en una sola 𝑣1 1 1 1 𝑣2 1 0 𝑣 = (𝑣 ) = 𝛼1 ( ) + 𝛼2 ( ) = [1 1 1 3 0 𝑣4 0 1 0 1 0] · [𝛼1 ] 0 𝛼2 1 Hi ha algunes reaccions que sempre tenen el mateix numero. Això vol dir que estan lligades per algun producte intermedi o estan en cadena.
Si podem considerar una reacció irreversible: Interessa considerar un kernel on la reacció irreversible vagi en la direcció correcta. Es pot obtenir un nou kernel ̂ = 𝐾𝑄. Exemple: multiplicant per una matriu adequada (quadrada i per la dreta) el kernel antic: 𝐾 −1 0 1 [−1 −1] = [1 −1 −1 1 0 1 0 1 0] · [−1 −1] 0 0 1 1 El Kernel es un concepte matemàtic. No et diu si una reacció ha d’anar en un sentit o un altre, no el té en compte.
Però, podem aconseguir un kernel on totes les reaccions vagin en la mateixa direcció? Si, podem ficar números perquè sempre ens coincideixi en una direcció. Exemple: en la fila 2 es sempre negatiu.
Ambdues matrius K són correctes però, només una és coherent amb la termodinàmica: 1 1 −1 0 1 0 −1 −1 Si v2>0: 𝑘1 = ( ) → 𝑘2 = ( ) Si v2<0: 𝑘1 = ( ) → 𝑘2 = ( ) 1 −1 1 0 0 0 1 1 Ara, el conjunt de possibles solucions (i matrius k alternatives) s’ha reduït.
Biologia de Sistemes Alba Ibáñez Galera Relacions de conservació Deu haver una matriu que multiplicada pel Kernel també doni 0, però en aquest cas seria una fila de 0.
Si en un sistema concret hi ha components que no s’afegeixen ni s’eliminen, trobarem llavors relacions de conservació.
Exemples: - En una reacció enzimàtica la quantitat d’enzim es manté constant.
Les relacions de conservació són la quantitat d’enzim es conserva. Com la suma total es una constant que es manté, és una relació de conservació. Com hem posat un substrat, sempre hi haurà una relació entre A i B, ja que s’ha repartit entre substrat i producte. La constant entre els coeficients estequiomètrics serà constant.
𝑑(𝐸𝑆 + 𝐸) = 0 → 𝐸𝑆 + 𝐸 = 𝑐𝑡𝑒.
𝑑𝑡 - Si considerem una sola reacció aïllada (exemple: en un tub): 2𝐴 ⟺ 3𝐵 → - 𝐴 𝐵 + = 𝑐𝑡𝑒. → 3𝐴 + 2𝐵 = 𝑐𝑡𝑒.
2 3 En un sistema metabòlic, ho trobarem en els components que aporten un element clau però es considera que una part seva no intervé (exemple: ATP, NADH, NADPH, CoA,....) i per tant es conserva.
En una xarxa metabòlica, la quantitat del nucli ADP/ATP es conserva, sempre hi ha la mateixa quantitat. Però, pot estar en forma d’ATP o d’ADP, simplement es transformen. Per tant, es conserva.
De manera general es detecten al haver-hi relacions de dependència lineal entre les files de la matriu estequiomètrica.
Equivalent al concepte d’espai nul però per l’esquerra (left-Nullspace) Per tant en aquest casos hi ha una matriu G que al multiplicar per l’esquerra a la matriu estequiomètrica dona zero, a l’igual que feia la K per la dreta.
𝑮𝑵 = 𝟎 𝒅𝑺 - Implica que també es dona al sistema diferencial inicial. Per tant al sistema: 𝒅𝒕 = 𝑵𝒗 - Multipliquem a banda i banda per G: 𝑮 · 𝒅𝑺 𝒅𝒕 = 𝑮𝑵𝒗 = 𝟎 Resulta un nou sistema d’equacions que es fa zero. També implica que la combinació de les derivades és fa zero. Si 𝒅𝑺 una derivada és zero [𝑮 · 𝒅𝒕 = 𝟎] la seva primitiva és una constant. Per tant: 𝑮𝑺 = 𝒄𝒕𝒆. (generalment el valor/s de les constants s’obtenen de la condició inicial).
El nombre de relacions de conservació serà: [𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒄𝒊ó = 𝒏 − 𝒓𝒂𝒏𝒈(𝑵)], on n és el nombre de files (metabòlits) de la matriu N. Es pot trobar idènticament al kernel. Donat que: 𝑮𝑵 = 𝟎 → 𝟎 = 𝑵𝑻 𝑮𝑻 Si tenim matriu per vector que ens dona un resultat, obtindrem el mateix si obtenim les transposades i les canviem d’ordre. Llavors, la mateixa rutina de trobar kernel, la podem aplicar per trobar la G amb la N transposada.
Igual que amb el kernel la matriu G no és única, es pot trobar un altre d’equivalent multiplicant per una matriu ̂ = 𝑷𝑮 (quadrada i per l’esquerra). Llavors, podem trobar vàries G. Exemple: 𝑮 La nova matriu G és combinació lineal de l’anterior i també dona zero al multiplicar N per l’esquerra.
Biologia de Sistemes Alba Ibáñez Galera Exemple: ATP i ADP en un sistema tancat - Si en gastar un ATP sempre generem un ADP.
Si en generar un ATP sempre gastem un ADP.
Com sabem la ‘utilitat’ de la seva intervenció es aportar o emmagatzemar energia i de vegades grups fosfat.
Podem considerar l’ADP com un grup que es manté conservat.
Matriu de conservació: 𝐺 = (1 1) 𝑮𝑵 = 𝟎 → 𝑮 · 𝒅𝑺 𝒅(𝑮𝑺) = =𝟎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Implica: [𝑮𝑺 = 𝒄𝒕𝒆. → 𝐴𝐷𝑃 + 𝐴𝑇𝑃 = 𝑐𝑡𝑒]. Per tant, una relació de conservació indica que la quantitat total dels components implicats (o una relació entre ells) no varia amb el temps. És constant. Per tant cada relació permet prescindir d’una equació a descriure.
Açò ens podria servir per reduir el nombre d’equacions diferencials que utilitzarem.
Exemple: acetaldehid-acetat en un sistema tancat. Podem trobar un K o una matriu G.
- G: tot 0 menys dos 1 al final: ens indica que hi ha dues relacions de conservació.
El bloc NADH es el mateix en NAD+, per tant, es conserva. Es pot veure mitjançant la estequiometria.
Altres exemples conservació es poden trobar també dins l’equació d’una reacció enzimàtica. Exemple: Piruvat descarboxilasa: 𝐶𝐻3 𝐶𝑂𝐶𝑂𝑂− + 𝐻 + → 𝐶𝐻3 𝐶𝐻𝑂 + 𝐶02 Matriu estequiomètrica Espai nul esquerra Producte −1 −1 1 0 0 −1 1 0 𝑁 = (−1) 𝐺 = ( 1 0 1 0) 𝐺 · 𝑁 = ( 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 −1 0 0 −1) = (0) ) · ( 0 1 0 1 1 Altres matrius de conservació es podrien derivar de fonaments físics: Matriu composició elemental: conservació d’elements També es pot considerar que es conserven agrupacions químics: d'àtoms: 3 0 2 1 𝐶𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑖 1 0 1 0 𝐺𝑟𝑢𝑝 𝐶𝐻3 𝑂 𝐺=( ) 𝐺 = (3 0 1 2) 𝑂𝑥𝑖𝑔𝑒𝑛 1 0 0 1 𝐺𝑟𝑢𝑝 𝐶𝑂𝑂 3 1 4 0 𝐻𝑖𝑑𝑟𝑜𝑔𝑒𝑛 Igual que passa amb el Kernel, la matriu G no és única i es poden trobar combinacions diferents.
Biologia de Sistemes Alba Ibáñez Galera Les relacions de conservació son molt útils per simplificar els sistemes d’equacions diferencials. Si hi ha relacions de conservació algunes equacions són linealment dependents. El sistema es pot dividir en dues parts: - Una part amb equacions diferencials Una part amb equacions algebraiques derivades de les relacions de conservació amb les anteriors.
Com es faria: es reordenarien les equacions deixant a la part superior les corresponents a files independents: 𝟎 𝑵 = (𝑵 ) 𝑵′ A partir de la Matriu reduïda N0, la matriu N es pot obtenir amb la matriu d’enllaç L (link matrix). La matriu L que ens permet passat del sistema reduït a l’ampliat. tindrà una matriu de 1 en la diagonal, amb tantes files com relacions de conservació hi hagi. Si multipliquem L pel sistema reduït, ens donarà el sistema sencer.
𝑰 𝑵 = 𝑳𝑵𝟎 = ( ) 𝑵𝟎 𝑳′ Per simplificar el sistema d’equacions diferencials s’ha de reordenar la matriu S En dos blocs idènticament a com s’ha fet amb la matriu N: 𝒅 𝒅 𝑺𝒂 𝑰 𝑺= ( ) = ( ) 𝑵𝟎 𝒗 𝑳′ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑺𝒃 Ara només cal resoldre el sistema d’equacions diferencials del sistema reduït: 𝒅𝑺𝒂 = 𝑵𝟎 𝒗 𝒅𝒕 L’evolució de la resta de variables és pot calcular a partir de les anteriors a partir de: 𝒅𝑺𝒃 𝒅𝒕 = 𝑳′ 𝒅𝑺𝒂 𝒅𝒕 - Si volem la derivada: - També fent la integral si volem la concentració: 𝑺𝒃 = 𝑳′𝑺𝒂 + 𝒄𝒕𝒆.
Exemple: ...