P_1 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Física Nuclear i de Partícules
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 21/06/2014
Descargas 6
Subido por

Vista previa del texto

Problemes de F´ısica Nuclear i de Part´ıcules —– n 1. En aquest exercici procedirem a determinar la funci´o d’ona d’isospin i espin del neutr´ o. Haurem de tenir present el contingut quark del neutro (udd). A m´es haurem de tenir en compte que els tres quarks tenen un nou nombre qu`antic (anomenat convencionalment color i que encara no hem introdu¨ıt a classe) que combina els quarks en la forma ‘–—“ u– d— d“ .
a) Considera primer la funci´ o d’ona per la part d’isospin i escriu les tres possibilitats no nul·les: completament sim`etrica, sim`etrica sota el bescanvi de dos quarks i antisim`etrica sota el mateix bescanvi.
b) Fes el mateix per les possibles combinacions de spin dels quarks combinant primer dos dels espins i despr´es el resultat amb el tercer. Tingues present les combinacions que has fet amb l’isospin.
c) Combina ara les dues parts tot assegurant-te que el resultat t´e la simetria adient.
d) Determina els n´ umeros qu`antics (isospin, tercera component d’isospin, moment angular intr´ınsec i la seva tercera component) a partir d’aquesta funci´o d’ona que has trobat.
e) Tenint en compte que el neutr´o ´es el bari´o m´es lleuger amb els n´ umeros qu`antics que has determinat, quin deu ser el valor m´es probable per a la seva paritat? Justifica-ho.
Soluci´ o: a) Matem` aticament, l’isospin ´es exactement el mateix que el moment angular, donat que l’operador d’isospin I˛ = (I1 , I2 , I3 ) satisf`a les mateixes regles de commutaci´o: [Ii , Ij ] = i‘ijk Ik . Aix´ı doncs, podem composar isospins com composem moments angulars.
Tenim una base d’estats {|I, I3 Í}, propis de l’operador d’isospin I 2 |I, I3 Í = I(I + 1)|I, I3 Í, i de la tercera component I3 |I, I3 Í = I3 |I, I3 Í. Desde el punt de vista d’isospin, |uÍ = |1/2, 1/2Í, |dÍ = |1/2, ≠1/2Í. En acoblar dos quarks, tenim el singlet d’isospin 1 |0, 0Í = Ô (|1/2, ≠1/2Í ≠ |≠1/2, 1/2Í) , 2 (0.1) i el triplet, |1, ≠1Í = |≠1/2, ≠1/2Í , |1, 1Í = 1 |1, 0Í = Ô (|1/2, ≠1/2Í + |≠1/2, 1/2Í) , 2 |1/2, 1/2Í .
(0.2) La notaci´ o en les expressions anteriors ´es la seg¨ uent: els estats de l’esquerra s´on els aco(1,2) (1,2) blats |I , I3 Í, propis de l’isospin i tercera component d’isospin compost, I˛ (1) +I˛ (2) .
1 (1) (2) Els de la dreta s´ on els estats producte, amb el ben ent´es que |I (1) , I3 Í ¢ |I (2) , I3 Í © (1) (2) |I3 , I3 Í, ja que I (1) i I (2) s´ on fixes. Utilitzant els estats d’isospin quark up i down, podem escriure: 1 |0, 0Í = Ô (|udÍ ≠ |duÍ) , 2 1 |1, 0Í = Ô (|udÍ + |duÍ) , 2 |1, ≠1Í = |ddÍ, |1, 1Í = |uuÍ.
(0.3) Un cop acoblats els dos primers quarks hi afegim el tercer. Aleshores, el singlet ens d´ona un doblet: I = (I (1,2) = 0) ¢ (I (3) = 1/2) = 1/2 =∆ I3 = ±1/2, 1 1 |1/2, 1/2Í = |0, 0Í ¢ |1/2, 1/2Í = Ô (|udÍ ≠ |duÍ) ¢ |uÍ = Ô (|uduÍ ≠ |duuÍ) , 2 2 (0.4) 1 1 |1/2, ≠1/2Í = |0, 0Í ¢ |1/2, ≠1/2Í = Ô (|udÍ ≠ |duÍ) ¢ |dÍ = Ô (|uddÍ ≠ |dudÍ) .
2 2 Notem que els dos estats anteriors s´on antisim`etrics sota el bescanvi dels dos primers quarks. Ara b´e, el primer dels dos ´es combinaci´o dels sabors uud, mentre que el neutr´ o ´es un estat lligat udd, ra´o per la qual el descartem (l’haur´ıem de considerar per descriure el prot´ o). El triplet en canvi, ens d´ona un doblet m´es un quadruplet: I = (I (1,2) = 1) ¢ (I (3) = 1/2) = 1/2 ü 3/2 =∆ I3 = ±1/2, ≠3/2, . . . , 3/2. El doblet ´es: Ú Ú 2 1 2 1 1 |1/2, 1/2Í = |1, ≠1/2Í ≠ Ô |0, 1/2Í = |uudÍ ≠ Ô Ô (|uduÍ + |duuÍ) 3 3 3 3 2 1 = Ô (2|uudÍ ≠ |uduÍ ≠ |duuÍ) , 6 (0.5) Ú Ú 1 2 1 1 2 |1/2, ≠1/2Í = Ô |0, ≠1/2Í ≠ |≠1, 1/2Í = Ô Ô (|uddÍ + |dudÍ) ≠ |dduÍ 3 3 3 3 2 1 = ≠ Ô (2|dduÍ ≠ |uddÍ ≠ |dudÍ) ; 6 essent en aquest cas, sim`etric sota el bescanvi dels dos primers quarks. Novament, el primer dels dos estats anteriors el descartem (cont´e els sabors uud i no pas udd). De la taula de coeficients de Clebsch-Gordan es llegeix el seg¨ uent quadruplet, |3/2, ≠3/2Í = |≠1, ≠1/2Í = |dddÍ, Ú 2 1 1 |0, ≠1/2Í + Ô |≠1, 1/2Í = Ô (|uddÍ + |dudÍ + |dduÍ) , 3 3 3 Ú 1 2 1 |3/2, 1/2Í = Ô |1, ≠1/2Í + |0, 1/2Í = Ô (|uudÍ + |uduÍ + |duuÍ) , 3 3 3 |3/2, ≠1/2Í = (0.6) |3/2, 3/2Í = |1, 1/2Í = |uuuÍ.
Els quatre estats anteriors s´ on totalment sim`etrics, per`o que vingui d’acord amb el contingut en quarks del neutr´ o, sols hi ha el segon. En resum, dels 8 estats (octuplet 2 ∆ el neutr´ o ´es un bari´ o de l’octet) que hi ha en (0.4), (0.5) i (0.6), cal tenir present: antisim`etric 1 ¡ 2: sim`etric 1 ¡ 2: totalment sim`etric: 1 |1/2, ≠1/2Í(A) = Ô (|uddÍ ≠ |dudÍ) , 2 1 (S) |1/2, ≠1/2Í = ≠ Ô (2|dduÍ ≠ |uddÍ ≠ |dudÍ) , 6 1 |3/2, ≠1/2Í(T S) = Ô (|uddÍ + |dudÍ + |dduÍ) .
3 (0.7) Encara que el contingut en sabor de l’´ ultim estat sigui el del neutr´o, cal descartar-lo per correspondre’s amb un estat acoblat amb isospin total igual a 3/2.
b) Sabem que el neutr´ o t´e spin S = 1/2 =∆ Sz = ±1/2, spin up o down (tercera component 1/2, ≠1/2 respectivament). Els tres quarks que formen el neutr´ o tenen spin 1/2. Tal i com suggereix l’enunciat, primer acoblem dos dels spins, i el resultat l’acoblem amb el tercer. Podem aprofitar els resultats anteriors, atenent a que els corresponents ±1/2 ja no s´ on terceres components d’estats de sabor, sin´o terceres components de spin: 1/2 © ø, ≠1/2 © ¿, o equivalentment, u © ø, d © ¿.
En aquest cas si cal considerar els estats acoblats amb tercera component Sz = 1/2, el spin contempla les dues projeccions, a difer`encia de l’isospin, on I3 = 1/2 correspon al prot´o. Dit aix` o, els estats que cal considerar s´on els que es troben en (0.4) i (0.5), que havent fet les substitucions adients, es converteixen en (com abans (A) © antisim`etric sota el bescanvi 1 ¡ 2, i (S) © sim`etric sota el mateix bescanvi): 1 |1/2, 1/2Í(A) = Ô (|ø¿øÍ ≠ |¿øøÍ) , 2 1 (S) |1/2, 1/2Í = Ô (2|øø¿Í ≠ |ø¿øÍ ≠ |¿øøÍ) 6 (0.8) 1 |1/2, ≠1/2Í(A) = Ô (|ø¿¿Í ≠ |¿ø¿Í) , 2 1 |1/2, ≠1/2Í(S) = ≠ Ô (2|¿¿øÍ ≠ |ø¿¿Í ≠ |¿ø¿Í) 6 (0.9) per spin up, i en per spin down.
c) Com comenta l’enunciat, els quarks d’un determinat sabor i spin, tenen una propietat anomenada color (o c` arrega de color). Aix´ı com la part de spin d’una part´ıcula amb s = 1/2, ve descrita per un vector de dues components (en general complexes), | Íspin = A Âø ¿ B = A B Èø|ÂÍ , È¿|ÂÍ (0.10) la part de color d’un quark, ´es un vector de tres components en l’espai de color,1 | Ícolor 1 Q R Q R Âr Èred|ÂÍ c d c d c d c = a Âg b = aÈgreen|ÂÍd b.
Âb Èblue|ÂÍ Utilitzo red, green i blue, en lloc de vermell, verd i blau, per evitar confusi´ o alhora d’escriure Âv .
3 (0.11) La primera component d´ ona l’amplitud de probabilitat de que el color del quark sigui vermell, la segona de que sigui verd i la tercera de que sigui blau. Donat que els hadrons (barions i mesons) no tenen color, aix`o ens suggereix que la funci´o d’ona associada a la composici´ o de dos o m´es quarks no pot dependre de la base en aquest espai 3dimensional de color. Per construir un estat sense color, composici´o de (considerem un bari´ o) tres quarks, q1 , q2 i q3 , hem de combinar tres vectors | 1 Ícolor , | 2 Ícolor i | 3 Ícolor , de manera que el resultat sigui un escalar (∆ independent de la base).
Pensant-ho en l’espai cartesi` a 3D, el que volem ´es construir un invariant a partir de ˛ B ˛ i C.
˛ No hi ha moltes opcions, potser la m´es senzilla ´es el ja conegut tres vectors A, ˛ · (B ˛ ◊ C).
˛ Tenint en compte que podem escriure el producte escalar triple producte, A en base a una delta de Kronecker i el producte vectorial mitjan¸cant el Levi-Civita, ˛ · (B ˛ ◊ C) ˛ = ”li Al (B ˛ ◊ C) ˛ i = ”li Al ‘ijk Bj Ck = ‘ijk Ai Bj Ck .
A (0.12) ´ clar que el producte anterior ´es totalment antisim`etric. A m´es, (0.12) ´es un invariant Es que combina tres vectors, i aquesta ´es precisament la propietat que busquem alhora de combinar les funcions d’ona de color de tres quarks a fi d’obtenir una funci´o d’ona sense color. Per tant, la part de color d’un bari´o ´es de la forma | Ícolor = ‘ijk Âiq1 Âjq2 Âkq3 , (0.13) on Âi j ´es la component i-`essima (i = r,g,b) de la funci´o d’ona de color (0.11) del quark qj . De fet, l’expressi´ o anterior no ´es m´es que el que ens diu d’entrada l’enunciat.
q La funci´ o d’ona total que descriu l’estat lligat de tres quarks, ser`a el producte d’una part d’espai (depenent exclusivament de la posici´o dels quarks), una de color (depenent sols del color), una d’isospin (depenent del sabor) i una part de spin: | Íbari´o = | Íespai ¢ | Ícolor ¢ | Íisospin ¢ | Íspin . Els barions s´on fermions, doncs tenen spin semi-enter, i per tant, la funci´ o d’ona total ha de ser antisim`etrica sota l’intercanvi de dos quarks (i aix` o vol dir l’intercanvi simultani de totes les seves caracter´ıstiques: posici´ o, color,. . . ). Per barions lleugers (en el seu estat fonamental), la part d’espai ´es sim`etrica (¸ = 0), mentre que la de color ´es antisim`etrica, la qual cosa significa que el producte | Íisospin ¢ | Íspin ha de ser sim`etric. D’acord amb els resultats anteriors, la combinaci´ o que garanteix l’antisimetria de la funci´o d’ona total, ´es: 2 1 1 (S) (S) (A) (A) | Íisospin ¢ | Íspin = Ô | Íisospin ¢ | Íspin + | Íisospin ¢ | Íspin .
2 (0.14) Tindrem dues expressions com l’anterior: una per spin up i una per spin down, |n øÍ = | Íisospin ¢ | Íspinø , |n ¿Í = | Íisospin ¢ | Íspin¿ .
(0.15) Calculem per exemple la part amb spin up, 2 1 1 (S) (S) (A) (A) |n øÍ = Ô | Íisospin ¢ | Íspinø + | Íisospin ¢ | Íspinø .
2 4 (0.16) Fent servir les expressions (0.7) i (0.8), se segueix que 1 |n øÍ = Ô 2 3 1 1 ≠ Ô (2|dduÍ ≠ |uddÍ ≠ |dudÍ) Ô (2|øø¿Í ≠ |ø¿øÍ ≠ |¿øøÍ) 6 6 4 1 1 Ô Ô + (|uddÍ ≠ |dudÍ) (|ø¿øÍ ≠ |¿øøÍ) 2 2 3 1 =Ô 2|u ¿ d ø d øÍ + 2|d ø u ¿ d øÍ + 2|d ø d ø u ¿Í 18 (0.17) ≠ |d ø u ø d ¿Í ≠ |d ø d ¿ u øÍ ≠ |u ø d ø d ¿Í 4 ≠ |u ø d ¿ d øÍ ≠ |d ¿ d ø u øÍ ≠ |d ¿ u ø d øÍ .
De la mateixa manera, trobem que la part amb spin down ´es: 3 1 |n ¿Í = Ô 2|u ø d ¿ d ¿Í + 2|d ¿ u ø d ¿Í + 2|d ¿ d ¿ u øÍ 18 ≠ |d ø u ¿ d ¿Í ≠ |d ¿ d ø u ¿Í ≠ |u ¿ d ø d ¿Í (0.18) 4 ≠ |u ¿ d ¿ d øÍ ≠ |d ø d ¿ u ¿Í ≠ |d ¿ u ¿ d øÍ .
Un podria estar temptat a ajuntar-ho tot, de manera que el neutr´o es trob´es en una superposici´ o d’estats spin up + spin down (equiprobables), 1 |nÍ ≥ Ô (|n øÍ + |n ¿Í) , (0.19) 2 per`o aix` o ´es incorrecte. Aquest estat t´e tercera component de spin igual a zero, la qual cosa voldria dir que el neutr´ o es troba en un estat amb spin sencer, i aix`o no pot ser.
d) L’estat anterior est` a escrit en termes de la base producte. Aquesta, ´es pr`opia dels operadors I3 i Sz , per` o no ho ´es d’I 2 i S 2 . Per les terceres components ´es f`acil (ho faig per l’estat |n øÍ, per l’altre es procedeix exactement igual): ÈI3 Í = Èø n|I3 |n øÍ 2 1 1 = 3 · 22 (1/2 ≠ 1/2 ≠ 1/2) + 6 · (≠1)2 (≠1/2 + 1/2 ≠ 1/2) 18 1 = (12 (≠1/2) + 6 (≠1/2)) = ≠1/2.
18 (0.20) ÈSz Í = Èø n|Sz |n øÍ 2 1 1 = 3 · 22 (≠1/2 + 1/2 + 1/2) + 6 · (≠1)2 (1/2 + 1/2 ≠ 1/2) (0.21) 18 1 = (12 (1/2) + 6 (1/2)) = 1/2.
18 Per calcular els valors esperats d’I 2 i S 2 , cal expressar l’estat d’isospin i spin del neutr´ o en la base acoblada, pr` opia d’aquests dos operadors. Aprofitant els resultats dels apartats a) i b), 2 1 1 (S) (S) (A) (A) |n øÍ = Ô | Íisospin ¢ | Íspinø + | Íisospin ¢ | Íspinø 2 2 1 11 = Ô | /2, ≠1/2Í(S) ¢ |1/2, 1/2Í(S) + |1/2, ≠1/2Í(A) ¢ |1/2, 1/2Í(A) 2 5 (0.22) llavors, 1 ÈI 2 Í = Èø n|I 2 |n øÍ = 2 · 1/2(1/2 + 1) = 1/2(1/2 + 1) ≈∆ I = 1/2, 2 1 2 2 ÈS Í = Èø n|S |n øÍ = 2 · 1/2(1/2 + 1) = 1/2(1/2 + 1) ≈∆ S = 1/2.
2 (0.23) e) Als quarks s’els hi assigna paritat intr´ınseca +1, i donat que la paritat ´es un nombre qu`antic multiplicatiu, tenim que la paritat del neutr´o ´es Pneutr´o = (+1)3 = +1. En realitat cal afegir un factor extra (≠1)¸ = (≠1)¸12 +¸3 , que prov´e del comportament dels harm` onics esf`erics sota la transformaci´o de paritat. Com ja he comentat abans, els barions lleugers, com ara el neutr´o, tenen moment angular ¸ = 0 (estat fonamental) i + per tant aquest factor extra no canvia res: Pneutr´o = +1 =∆ pel neutr´ o J P = 12 .
6 ...