Colección de Problemas (2013)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Electromagnetismo
Año del apunte 2013
Páginas 60
Fecha de subida 17/09/2014
Descargas 11
Subido por

Vista previa del texto

TAULA DE CONSTANTS FÍSIQUES NOM SÍMBOL VALOR I UNITATS Constant gravitatòria Constant de Coulomb Permitivitat del buit Càrrega fonamental Permeabilitat del buit Velocitat de la llum en el buit Constant de Planck Constant de Boltzmann Magnetó de Bohr Nombre d'Avogadro Unitat de massa atòmica Massa del protó (en repòs) Massa de l'electró G ke = 1/4o o e o = 4km c h k B NA u mp me 6,6710-11 Nm2/kg2 8,988109 Nm2/C2 8,8510-12 F/m 1,60210-19 C 410-7 H/m 2,998108 m/s 6,6310-34Js=4,13610-15 eV·s 1,3810-23 JK-1 9,2710-24 Am2 6,0221023 partícules/mol 1,66110-27 kg = 931,5 MeV/c2 1,67310-27kg= 938,3MeV/c2 9,1110-31 kg = 0,511 MeV/c2 (*) Problema obligatori (**) Problema optatiu 1 2 Tema 1 Camps Elèctric i Magnètic Exercicis i Problemes 3 Exercicis i problemes de suport a la teoria 1.- Força de Lorentz . Una càrrega puntual amb velocitat v= v0 i entra a una regió on existeix un camp magnètic uniforme B=Bx i+ By j + Bz k. Quin camp elèctric hi ha d'haver en aquesta regió per tal que la càrrega no canviï de velocitat? E = v0 Bz j – v0 By k 2.-. Distribució lineal de càrrega. Una vareta de longitud L està situada sobre l’eix X, a una distància x0 de l’origen de coordenades. Obtingueu la càrrega neta de la vareta si la seva densitat lineal de càrrega λ(x) no és uniforme i val λ(x)= a x2. ¿Quines són les dimensions de a? a) Q = a (3xo2L + 3xoL2 + L3)/3 b) [a] = Cm-3 3.-. Distribució superficial de càrrega. La superfície rectangular de la figura està carregada amb una densitat superficial de càrrega no uniforme σ = a x2.
a) Calculeu la càrrega neta.
b) Repetiu el càlcul si σ = a y.
c) ¿Quines són les dimensions de a en tots dos casos? Y a) Q = al1 (3ao2l2 + 3aol22 + l23)/3 b) Q = al2 (2bol1 + l12)/2 c) [a] = Cm-4 a l’apartat a) [a] = Cm-3 a l’apartat b) l2 l1 (a0, b0) X 4.- Distribució superficial de càrrega. Un disc de radi R està carregat amb densitat superficial de càrrega σ.
a) Si σ és uniforme, σ = σ0, calculeu la càrrega del disc.
b) Si σ = a r2, éssent r la distància al centre del disc, calculeu-ne la càrrega.
a) Q = oR2 b) Q = aR4/2 5.-. Distribució superficial de càrrega. La superfície lateral d’un cilindre d’altura H i radi R, està carregada amb una densitat superficial de càrrega σ.
a) Si σ és uniforme, σ = σ0, calculeu la càrrega de la superfície del cilindre.
b) Si σ no és uniforme i varia amb la distància a la base inferior, z, de la forma σ = a z2, calculeu la càrrega neta de la superfície del cilindre.
H z a) Q = o2RH b) Q = 2aRH3/3 Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 5 6.- Distribució volúmica de càrrega. Una esfera de radi R està carregada amb una densitat de càrrega per unitat de volum ρ.
a) Si ρ és uniforme, ρ = ρ0, calculeu la càrrega de l’esfera.
b) Si ρ depèn de la distància al centre de l’esfera, r, de la forma ρ = a r2, calculeu la càrrega neta de l’esfera.
a) Q = o4R3/3 b) Q = 4aR5/5 7.-. Distribució volúmica de càrrega. Un cilindre d’altura H i radi R, està carregat amb una densitat de càrrega per unitat de volum ρ.
a) Si ρ és uniforme, ρ = ρ0, calculeu la càrrega del cilindre.
b) Si ρ no és uniforme i varia amb la distància a l’eix, s, de la forma ρ = a s2, calculeu la càrrega neta del cilindre.
a) Q = oR2H b) Q = aHR4/2 8.- Llei de Coulomb. Si q = 1,010–7 C i a = 5,0 cm , calculeu la força resultant, a) sobre la càrrega col·locada en el vèrtex inferior esquerra de la figura.
b) sobre la inferior dreta (utilitzar la simetria del sistema) a) (0,17 i –0,046 j ) N, b) (–0,17 i – 0,046 j )N 9.- Camp E creat per una càrrega puntual. Calculeu el camp elèctric que crea una càrrega puntual Q= –5,0 nC situada en el punt (3,0, –6,0, 4,0) m sobre el punt P (2,0, 3,0, –1,0) m.
E = (0,041 i –0,37 j +0,20 k) N/C 10.- Sistema discret de càrregues. Dues càrregues positives iguals, de valor Q, estan situades a (0,a) i a (0,-a), respectivament.
a) Determineu el camp elèctric E en un punt qualsevol de l’eix x.
b) Representeu gràficament la funció Ex(x).
c) Se situa una càrrega de prova q a l’origen (0, 0). Estudieu l’estabilitat de l’equilibri de q considerant petits desplaçaments segons els eixos.
d) Existeix algun valor de q, situada a l’origen, per al qual la força neta sobre cadascuna de les tres càrregues sigui zero? d) -Q/4 Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 6 11.- Dipol elèctric. Una càrrega positiva +Q està situada en el punt (0, a), mentre que una altra de valor –Q és al punt (0, –a), constituint un dipol.
a) Quin és el seu moment dipolar ? b) Determineu el camp creat en els punts A(0, 0), B(x, 0), C(0, y).
Aproximeu l’expressió del camp als punts B i C per a x >> a, y >> a. Expresseu–ho en funció del moment dipolar.
a) p = 2aQ j b) E  0,0  =  1 Q j 2πε0 a 2 |y|>a : E  0, y  = E  x,0  =  Qa y πε 0  y + a  c) |x|>>a : E  x, 0   2 -p 4πε0 x 3  y  a 2 j Qa  2πε0 x + a |y|<a : E  0, y  =  2 2   3 j 2 Q y2 + a2 2πε0  y + a  |y|>>a : E  0, y   2   y  a 2 j p 2πε 0 y 3 12.- Dipol elèctric. Col·loquem un dipol de moment dipolar p = 5,0 eÅ a l’interior d’un camp elèctric uniforme E = E0 i, de valor E0 = 5,0104 N/C. Calculeu el valor del moment de força que actua sobre el dipol quan: a) El dipol és paral·lel al camp elèctric: (p, 0, 0) b) El dipol és perpendicular al camp elèctric: (0, p, 0) c) El dipol forma un angle de  = 60º amb el camp elèctric : (pcos, 0, psin).
a) 0 b) (0, 0, -4,00-24) N·m c) (0, 3,50-24, 0) N·m 13.- Dipol elèctric. En un model simplificat, podem descriure una molècula d’aigua com tres partícules carregades, com mostra la figura, on q és la càrrega de l’electró.
(q = 1,610-19 C ; l = 2,0 Å) a) Determineu la direcció i el sentit del vector moment dipolar i estimeu-ne el valor.
b) Què passaria si la molècula es trobés en presència d’un camp elèctric exterior uniforme? Raoneu quina força actuaria sobre la molècula si aquest camp exterior fos no uniforme, donat per: E = x i, on  = 10 kV/m2 a) 2,0 i eÅ b) F = 3,20-25 i N Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 7 14.- Acció d'un E uniforme sobre un dipol. La càrrega positiva q=1.0 nC d'un dipol es troba a l'origen de coordenades i la càrrega negativa al punt (1,0, –1,0, 0,0) x 10–3 m.
a) Calcular el valor del moment dipolar.
b) Calcular el moment de forces M que actua sobre el dipol si se situa en una zona en la qual hi ha un camp elèctric uniforme de 3,0 j N/C.
p = (–1,0 i +1,0 j) 10–12Cm; M = –3,0 10–12 k N m (**) 15.- E creat per una distribució contínua de càrrega. Un tros de vareta prima no conductora de longitud infinita té una densitat de càrrega lineal  uniforme i positiva.
a) Si la vareta tingués una longitud finita d, demostreu que el camp E en un punt P de la mediatriu situat a una distància y de la vareta valdria: E= q 2πεo y 1 d 2 + 4y 2 j (si q es la càrrega total) b) Calculeu el camp elèctric suposant que la vareta és indefinida.
b) E = 1 λ j 2πε0 y 16.- E creat per una distribució contínua de càrrega. Una càrrega Q està uniformement distribuïda sobre una anella de radi R.
a) Trobeu el camp E en els punts de l’eix x (eix de l’anella).
b) Aproximeu la funció Ex(x) per als punts en que x << R i en que x >> R.
c) Demostreu que el mòdul del camp és màxim per a x  R / 2 a) E x  Qx  4 0 x 2  R 2  3/ 2 b) x<<R: E x  Qx 4 0 R 3 x>>R: E x  Q 4 0 x 2 17.- E creat per una distribució contínua de càrrega. Un disc de radi R = 20 cm i d’un gruix negligible té una densitat de càrrega igual a 1,0010-6 C/m2, distribuïda uniformement.
Mitjançant aproximacions raonables: a) Quant val el camp elèctric creat pel disc en un punt situat a l'eix del disc, a 1 mm de distància? b) I a l’eix del disc a una distància de 20 m? c) Podríeu calcular el camp elèctric en un punt genèric de l’espai a partir de la llei de Gauss? Raoneu-ho.
a) 5,604 V/m b) 2,8 V/m c) No Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 8 (**) 18.- Dipol induït. Considerem un model d’àtom en què una càrrega negativa -Ze està distribuïda uniformement en el volum d’una esfera formant un núvol esfèric de radi R (electrons) i una càrrega puntual +Ze és a prop del centre (nucli).
a) Determineu el camp elèctric creat pels electrons en un punt P situat a una distància d<R del centre de la distribució de càrrega. Quina força actuaria sobre es trobés al punt P, a causa del camp elèctric anterior? Hi apliquem un camp elèctric exterior, Eext, i suposem que l’únic efecte que s’hi produeix és un desplaçament relatiu, d, del centre de la distribució de càrrega electrònica, que es manté esfèrica, respecte al nucli.
b) Determineu la distància "deq" a què s’arriba a l’equilibri del nucli. Quan val el moment dipolar de l’àtom? c) Determineu la polaritzabilitat  d’aquest àtom (relació entre el moment dipolar p i el camp elèctric) .
d) Obteniu una expressió aproximada per a la freqüència d’oscil·lació d’aquest sistema (suposeu el nucli fix i la massa de tots els electrons Z·me).
a) E = Ze d 4πε 0 R 3 b) d eq  F 4 0 R 3 E ext Ze Z2 e 2 d 4 0 R 3 p = 4πε 0 R 3Eext c)  = 40R3 d) f  1 2 Ze2 4 0 R 3me (*) 19.- Dipol induït. Situem una càrrega puntual +Q en el centre d’una anella de càrrega -Q (model simplificat de l’àtom d’hidrogen de Bohr), i sotmetem el conjunt (l’anella i la càrrega puntual) a un camp elèctric exterior uniforme, perpendicular al pla de l’anella. Suposarem que l’efecte produït és, simplement, un desplaçament relatiu molt petit entre la càrrega puntual i l’anella segons el seu eix. D’aquesta forma, el camp elèctric exterior crea un dipol format per la càrrega puntual (+e) i el centre de l’anella (-e).
Dades: Q = e = 1,610-19 C, R = 0,5310-10 m a) Determineu aproximadament la posició d’equilibri aconseguida per la càrrega puntual en estar sotmesa al camp elèctric exterior i al de l’anella.
b) Trobeu el moment dipolar en funció del camp Eext i calculeu-ne el valor quan aquest camp és de 100 kV/m.
c) Considerarem que la càrrega puntual està fixada i que l’anella es pot moure. Suposarem, a mes a mes, que la massa de l’anella es la del electró (m = 9,1110-31 kg). Calculeu la freqüència d’oscil·lació d’aquest sistema.
4 0 R 3E ext a) x  Q b) p = 1,650-36 C m = 1,030-7 eÅ Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes c) f = 6,5015 Hz 9 20.- Flux del camp elèctric. Llei de Gauss. Considereu la superfície d’un cub de costat a com es mostra en la figura.
Aquest cub està col·locat en una regió on hi ha un camp elèctric paral·lel a l’eix X: E = E i.
Trobeu el flux elèctric a través de la superfície i la càrrega total tancada en el seu interior si el camp elèctric és: a) E uniforme b) E variable: E = Cx a)  = 0 b)  = Ca3 Q = Ca3 Q = 0, 21.- Llei de Gauss. Un disc de radi R = 50 cm, està carregat amb càrrega Q distribuïda uniformement.
a) Quin seria el flux del camp elèctric a través d’una superfície cilíndrica si la base té un radi de 1 m i l’alçada és de 2 m, quan el disc carregat és al centre del cilindre? b) Quin seria el flux del camp elèctric a través d’una superfície cúbica de 1 m d’aresta, amb el disc carregat al centre? Q/0 en els dos casos 22.- Aplicació de la llei de Gauss. Una càrrega Q està continguda en una esfera de radi R.
Trobeu l’expressió del camp elèctric E, tant a dins com a fora de l’esfera, si: a) La càrrega està distribuïda uniformement a la superfície.
b) La càrrega es distribueix uniformement a l’interior.
(**) c) La càrrega es distribueix segons l’expressió (r) = a r2, per a r < R.
a ) E ext  b) E ext  c) E ext  Q , E int  0 , E int  Qr 4 0 R 3 , 2 E int  Qr 3 4 0 R 5 4 0 r 2 Q 4 0 r Q 4 0 r 2 23.- Aplicació de la llei de Gauss. Dues superfícies esfèriques concèntriques de radis R1 i R2, amb R1 < R2, es carreguen uniformement amb càrregues −3Q i +5Q respectivament. Tenint en compte la simetria esfèrica del sistema i aplicant el teorema de Gauss expresseu el camp electrostàtic (en funció de r) de les tres zones I) r < R1 II) R1 < r < R2 III) r > R2 EI = 0, EII = k 3Q rˆ , r2 EIII = k 2Q rˆ r2 Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 10 24.- Aplicació de la llei de Gauss. Un cilindre de radi R i longitud l (l>>R) està carregat uniformement a la seva superfície amb una càrrega total Q. Doneu l’expressió del camp elèctric en un punt a distància del eix s<R i a distància s> R s< R E = 0, s> R E= 1 Q sˆ 2 0 l s 25.- Aplicació de la llei de Gauss. Una distribució rectilínia i indefinida de càrrega de densitat lineal λ = 25 nC/m és paral·lela a l'eix de les X i passa pel punt (0,0, −1,0, 0,0) m. Calculeu el camp elèctric en el punt P = (2.0, 2.0, 4.0) m.
E(P) = (54j + 72k) N/C 26.- Aplicació de la llei de Gauss. Un cilindre de radi R i longitud L (amb L >> R) es carrega amb una densitat de volum de càrrega uniforme ρ0. Obtenir raonadament el camp electrostàtic a l'interior i a l'exterior del cilindre (allunyat dels extrems), expressant-ho en funció de la distància a l'eix s. (utilitzeu coordenades cilíndriques) Eint  0s /  2 0  sˆ , Eext  0 R 2 2 0s sˆ 27.- Aplicació de la llei de Gauss. Volem saber el camp elèctric (intensitat, direcció i sentit) creat per una superfície esfèrica de radi R = 0,10 m que té una densitat superficial de càrrega  de valor = + 1,0 nC/m2 , excepte en una petita regió de superfície S = 1,010-3 m2, tal com es veu en la figura. Trobeu el valor del camp elèctric en els punts següents: a) En el centre O b) En el punt P = (2,0) m a) E = 0,90 i V/m b) E = 0,28 i V/m 28.- Circulació d'un camp vectorial. Sigui el camp vectorial A1 = –3x2 i + 6yz j + 3 y2 k.
Calculeu la circulació del camp per anar del punt P (0,0, 0,0, 0,0) al punt R (4,0, 2,0, –3,0) pels següents camins a) x = 2; y =; z = 3/2, essent  un paràmetre b) en línia recta c) movent-se paral·lelament als eixos: primer a l'eix x, després a l'eix y, i finalment a l'eix z.
d) Repeteix els apartats anteriors pel camp A2= –3x2 i – 6yz j + 3 y2 k. Pot ser conservatiu el camp A2 ? a) –100, b) –100, c) –100 d) –52, –52, –100. No Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 11 29.- Camp electrostàtic i potencial. El potencial elèctric en una regió de l’espai ve donat per V = c(2x2 + yz), en què c és una constant. Trobeu el camp elèctric E (x, y, z) a la mateixa regió i avalueu–lo en el punt (2, 1, 2) m.
E = –c (4x i + z j + y k); E = – c (8 i +2 j +k) 30.- Gradient. La figura mostra línies equipotencials i el valor del potencial en volts. La distància entre dues línies del reticulat representa 1 cm.
a) El mòdul del camp és més gran en el punt A o en el punt B? b) Trobeu el camp E als punts A, B i C.
EA= 400 j V/m EB= –200 j V/m EC= (180 i –180 j) V/m 31.- Potencial i treball. Sistema discret. En dos dels vèrtexs d’un triangle equilàter de 2,0 m de costat, estan situades dues càrregues positives iguals de 2,0 C.
a) Quin és el potencial al tercer vèrtex? b) Quant treball haurem de realitzar per transportar una càrrega positiva de 4C des de l’infinit fins a aquest vèrtex, mantenint fixes les altres càrregues? c) Responeu a les preguntes anteriors si la càrrega situada en un dels vèrtexs la substituïm per una de –2,0 C.
a) 18 kV b) 7,20–2 J c) 0 KV, 0 J (*) 32.- Potencial i treball. Sistema continu . Una anella de radi R, carregada uniformement amb càrrega –Q, està situada al pla x = 0, amb el seu centre a l’origen de coordenades.
Considerant l’origen de potencial a l’infinit: a) Calculeu el potencial creat per l’anella al punt de l’eix OX, P(x,0,0) a partir de la circulació del camp.
b) Calculeu el potencial creat per l’anella al punt de l’eix OX, P(x,0,0) com a límit del potencial creat per un sistema discret de càrregues..
c) A partir del resultat obtingut a l’apartat anterior calculeu el component x, E x del camp elèctric creat per l’anella al punt P.
d) Raoneu com han de ser els components Ey i Ez del camp. Podríeu calcular el valor d’aquests components a partir del resultat obtingut a l’apartat a)?.
a,b) V  -kQ x2  R2 c) E x   -kQx x R 2 2  3 d) nul·les; no 33.- Diferència de potencial. Un cilindre de radi R i longitud l (l>>R) està carregat uniformement a la seva superfície amb una càrrega total Q. Doneu l’expressió de la diferència de potencial entre un punt de l’eix O i un punt P situat a distància 2R de l’eix del cilindre.
V(O)  V(P)  1 Q ln 2 2π 0 l Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 12 34.- Camp i potencial. Dues superfícies esfèriques concèntriques de radis R1 i R2 (tal que R2 > R1) es carreguen uniformement amb càrregues –Q i +4 Q, respectivament.
a) Representeu el valor del camp E en funció de la distància r al centre O. Obteniu prèviament les expressions del camp per a r<R1, R1<r<R2 i r>R2.
b) Trobeu i representeu el potencial elèctric V.
r<R1 E  0, R1<r<R2 E k Q rˆ , r2 E k r>R2 3Q rˆ r2  Q 4Q   Q 4Q     , R1<r<R2 V  k , R2   R1 R 2   r r<R1 V  k r>R2 V  k 3Q r 35.- Pla infinit de càrrega. Un full infinit de càrrega, situat en el pla z=0, té una densitat superficial de =2,000-6 C/m2. Determineu el camp elèctric en un punt situat: a) a 1 cm del full.
b) a 1 m del full.
Considereu els punts A(0,0,1), B(0,1,1) i C(0,1,2), on les coordenades estan expressades en metres.
c) Determineu les diferències de potencial (VB-VA), (VC-VB) i (VC-VA).
d) Quina forma tindran les superfícies equipotencials? e) A quina distància estan entre si les superfícies equipotencials amb una diferència de potencial de 100 V? a) 1,1305 V/m b) 1,1305 V/m c) 0; -1,1305 V; -1,1305 V d) z = constant e) 0,88 mm (*) 36.- Fil indefinit de càrrega. Un fil indefinit té una densitat de càrrega lineal 0.
a) Determineu el camp elèctric creat pel fil en funció de la distància al fil r.
b) Determineu l’expressió del potencial, prenent com a referència un punt situat a una distància a del fil (V(a) = 0).
Disposem dos fils paral·lels, en la direcció X .
En l’un, = +0, i passa per (0, a ,0), en l’altre = -0 i passa per (0, -a ,0), essent a = 10 cm. (vegeu la figura).
c) Determineu l’expressió del camp per a un punt genèric del pla x = 0.
d) Raoneu per què el pla y = 0 és equipotencial.
e) Calculeu el potencial del punt (5 cm , 5 cm , 0).
Dades: V(y=0) = 0,  0 = +1,00x10-8 C/m a) E = 1 0 eˆr 2π 0 r b) V(r)  λ0 a ln   2ππ0  r  Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes e) 198 V 13 37.- Conductor aïllat. Considerant la Terra com un conductor esfèric de 6.400 km de radi, calculeu–ne la capacitat. Quin radi hauria de tenir un conductor esfèric perquè la seva capacitat fos d’1,0 F? C= 710 F; R= 9,0 06 km l’origen del potencial és a (**) 38.- Propietats de conductors en equilibri. Una esfera conductora de l’infinit,kmkmkmkmk radi R = 3,0 cm té el seu centre en l’origen de coordenades O. Una font de m tensió de 600 V es connecta entre l’esfera i el terra (que té potencial V = 0, igual que a l’infinit).
a) Quant val la càrrega Q sobre l’esfera? Com es distribueix? L’esfera es desconnecta de la font i se situa al punt P1 = (6,0, 0,0, 0,0 ) cm una càrrega puntual Q’= + 1,0 0–9 C b) Quant val el camp elèctric en el punt P2 = (1,0, 0,0, 0,0) cm? c) Quant val el camp que les càrregues de l’esfera creen en aquest punt? d) Demostreu que el potencial en el punt O associat al camp creat per les càrregues de l’esfera encara és de 600V.
e) Quant val el potencial total VO en el centre de la esfera? f) I el potencial al punt P2? a) Q = 2,0 nC b) E = 0 c) Eesf = 3600 i V/m e) V0 = 750 V f) 750 V 39.- Sistema de conductors. Una estructura cilíndrica coaxial de longitud L = 1,003 mm està constituïda per un conductor central de radi 8,0 mm i una cobertura conductora de 2,0 mm de gruix i 10,0 mm de radi interior. Si carreguem el conductor interior amb una densitat de càrrega  = 10 C/m i l’exterior amb c = 40 C/m.
a) Expresseu segons la distància r a l’eix, el valor de E (0 < r < ) b) Calculeu la diferència de potencial entre el conductor central i un punt situat a 24,0 mm del centre.
a) per a R1<r<R2 E = 1,805·1/r; per a R2<r< E = 9,005·1/r b) V = 6,605 V (**) 40.-Influència entre conductors. Condensador pla. Entre les plaques d’un condensador pla aïllat de capacitat Co i que s’havia carregat connectant-lo a una tensió Vo, introduïm una placa metàl·lica paral·lelament a les plaques.
a) La diferència de potencial entre les armadures i la capacitat han variat per la presència de la placa metàl·lica si aquesta té un gruix negligible? Si la placa metàl·lica que hi introduïm té un gruix igual a 1/3 de la separació entre les plaques b) Calculeu les variacions que hi ha respecte a les plantejades a l’apartat a).
c) Quina serà la distribució de càrregues en la placa? Si en lloc de tenir el condensador aïllat es mantingués connectat a la font d’alimentació amb la qual es va carregar, d) Variarien les vostres respostes anteriors a les qüestions b) i c)? a) No ha variat res b) V=2/3V0 C=3/2 C0 d) V=V0 C=3/2 C0 Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 14 41.- Propietats de conductors en equilibri. Una esfera conductora de radi R1 = 12 cm es posa en contacte amb el pol positiu d’una font d’alimentació de tensió V = 300 V, alhora que el pol negatiu està connectat a la terra.
a) Obteniu els valors de la càrrega, la densitat de càrrega superficial i el camp elèctric en la superfície de l’esfera.
b) Després de desconnectar la font, connectem aquesta esfera, mitjançant un fil molt llarg, a una altra de radi R2 = 6 cm inicialment descarregada. Trobeu el potencial i la càrrega de cada una de elles. Quin és el camp elèctric a la superfície de cada una? a) Q = 4,0 nC  = 2,20-8 C/m2 b) V1 = V2 = 200 V Q1 = 2,7 nC E = 2,5 kV/m Q2 = 1,3 nC E1 = 1,7 V/m E2 =3,3 kV/m 42.- Condensador pla. Col·loquem dues plaques metàl·liques circulars de 20 cm de radi paral·lelament a una distància d’1,0 mm.
a) Si les connectem a una bateria de 50 V de f.e.m. Quina és la càrrega a cada placa i quina és la capacitat del condensador que formen totes dues? Quin és el camp elèctric que hi ha entre les plaques? b) Si desconnectem la bateria i separem les plaques fins a una distància de 50 mm. Quina serà la càrrega en les plaques? I el camp elèctric entre elles? I la diferència de potencial? c) Què passaria amb les magnituds anteriors si no desconnectéssim la bateria? a) Q = 56 nC b) Q = 56 nC c) Q = 1,1 nC E = 50 kV/m E = 50 kV/m E = 1 kV/m C = 1,1 nF V = 2500 V V = 50 V (*) 43.- Conducció elèctrica. Un corrent de 5,0 A circula per un fil de coure de 0,20 mm2 de secció.
a) Quant val el vector densitat de corrent i quina és la velocitat de desplaçament v d en aquest cas, si el nombre d’electrons per unitat de volum és 0,84029 m–3 ? b) Si aquests electrons lliures estan a temperatura ambient (T= 300oK) i se suposa que tenen una energia tèrmica de (3/2)kBT, quina és la seva velocitat quadràtica mitjana? (De fet els electrons lliures a l’interior dels metalls, tenen energies, i per tant velocitats, molt més grans).
a) J= 25 06 A/m2 , vd = 1,9 0–3 m/s b) 1,205 m/s 44.- Conducció elèctrica, densitat de corrent. Una barra cilíndrica té una longitud de 50 cm i un radi de 2,0 mm. La barra és de coure, la resistivitat del qual a 20ºC és d’1,70–8 m.
a) Trobeu la resistència de la barra.
b) Si hi fem passar un corrent de 5,0 A, trobeu el camp elèctric i la densitat de corrent..
a) R = 6,80–4 Ohm b) E = 0,0068 V/m, J = 4,005 A/m2 (**) 45.- Conducció elèctrica; mobilitat. En la teoria de la conducció, la mobilitat  de l’electró es defineix per: vd = E. Per tal de determinar la mobilitat dels electrons en el coure es pren un fil de 25 m de longitud i 0,5 mm de diàmetre, es mesura la seva resistència: R = 2,16 . La densitat del coure és 8,9 g/cm3 i el seu pes atòmic és 63,5.
a) Quina és la conductivitat del coure? Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 15 b) Quina és la densitat de portadors si suposem que hi ha 1 electró de conducció per cada àtom de coure? c) Calculeu la mobilitat.
a)  = 5906 S/m b) n = 0,84029 m–3 c)  = 4,40–3 m2/Vs 46.- Conducció elèctrica La barra conductora cilíndrica de la figura té dues regions: la de l’esquerra és de coure 1 = 607 S/m i la de la dreta és de plom 2 = 506 S/m. Hi fem circular un corrent de 8 A en la direcció de la barra.
a) Calculeu la resistència total de la barra Rt.
b) Calculeu la densitat de corrent en cada regió.
c) Calculeu el camp elèctric en cada regió.
Raoneu quin és el seu sentit.
d) Calculeu els valors del potencial en els extrems de la barra i en la superfície de separació (suposeu V = 0 en l’extrem dret de la barra).
e) Aplicant la Llei de Gauss a una superfície cilíndrica adequada, demostreu que existeix una càrrega neta electrostàtica Q en la superfície de separació d’ambdues regions i calculeu-la.
a) Rt = 5,4 m b) J1 = J2 = 206 A/m2 c) E1 = 0,033 V/m, E2 = 0,40 V/m d) 43 mV, 40 mV, e) + 1,30-17 C = 80e 47.- Conducció elèctrica. Es fa passar un corrent I = 2,0 A per dues barretes de coure,  = 607 S/m, tal com s’indica en la figura, de radis R1 = 0,60 mm i R2 = 0,40 mm.
a) Determineu la densitat de corrent per a cada una de les regions.
b) Determineu el camp elèctric per a cada regió.
c) Calculeu la caiguda de potencial en cada una de les varetes.
d) Quina és la resistència total del conjunt? a) J1=1,8106 A/m2; J2=4,0106 A/m2 c) V1=0,060 V; V2=0,134 V b) E1=0,030 V/m; E2=0,067 V/m d) R=97 m 48.- Força de Lorentz. En un determinat instant un protó té una velocitat v= 12,0 j m/s i una acceleració a = 3,00103 i m/s2 en una regió en la que existeixen camps elèctrics i magnètics uniformes. Si B = 40 i T, calcular el valor del camp elèctric E.
E = (3,12 i + 48 k) 10–5 N/C Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 16 49.- Força magnètica sobre una càrrega. Un electró es mou dins un camp magnètic uniforme B = 1,00–3 T, sent la seva velocitat perpendicular a aquest camp.
a) Demostreu que el seu moviment és circular uniforme.
b) Si la seva velocitat és v = 3,005 m/s, trobeu el radi de la seva trajectòria, el temps que triga a fer una volta i la freqüència angular.
c) Com s’alterarien el radi, el temps i la freqüència angular si la seva velocitat fos doble? (massa me = 9,10–31 kg i càrrega 1,60–19 C) b) R=1,7 mm, t = 3,50–8 s c) R es duplica, t és el mateix 50.- Selector de velocitats. Un selector de velocitat té un camp magnètic de valor 0,100 T perpendicular a un camp elèctric de valor 2,0005 V/m.
a) Quina haurà de ser la velocitat d’una partícula per passar a través d’aquest selector sense que sigui desviada? b) Quina energia (en eV) hauran de tenir els protons per passar per aquest selector? c) I els electrons? a) 2,006 m/s b) 20,9 KeV c) 11,4 eV 51.- Cambra de bombolles.- A l’interior d’una cambra de bombolles s’aplica un camp magnètic uniforme de valor B = 0,10 T.
a) Si un protó (m=1,6720-27 kg, q=1,6020-19 C) penetra al seu interior perpendicularment al camp magnètic amb una velocitat de v = 2,0006 m/s, quin serà el radi de curvatura de la seva trajectòria? b) Una partícula desconeguda penetra a la cambra deixant un traç que té un radi de 2,50 m.
Assumint que se’n coneix la càrrega, què més es coneix d’aquesta partícula? a) 0,21 m b) La quantitat de moviment (**) 52.- Ciclotró. Un protó penetra pel punt A en un camp magnètic amb una velocitat v o = 1,0006 m/s i descriu una trajectòria circular de 2,00 cm de diàmetre a causa de l’aplicació d’un camp magnètic perpendicular a l’òrbita.
Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 17 a) Determineu el camp magnètic (mòdul, direcció i sentit) que fa que el protó segueixi la trajectòria circular AB de la figura dintre del conductor superior (E nul).
b) Calculeu el temps que trigar el protó a recórrer la semicircumferència AB.
c) Calculeu l’energia cinètica inicial del protó expressada en eV.
Entre B i C apliquem una diferència de potencial de 5,5 kV, de manera que acceleri el protó.
d) Quina és l’energia cinètica del protó en arribar a C? En el punt C penetra a l’interior d’un altre conductor.
e) Quin és el radi de la trajectòria CD? f) Amb quina energia arriba a D? En aquest moment apliquem entre els dos conductors una diferència de potencial V igual i de signe contrari a l’anterior de manera que el protó passi al primer conductor i es repeteixi el cicle.
g) Per tal que el protó s’acceleri a cada pas, quina ha de ser la freqüència de V(t)? a) B=1,04 T cap endins e) 1,43 cm b) 31,4 ns f) 10,7 KeV c) 5,22 KeV g) 15,9 MHz d) 10,7 KeV (**) 53.-Ciclotró .-Un ciclotró accel·lera deuterons (m=3,3410-27 kg, q=+e). El camp magnètic és d’1,4 T i la tensió alterna aplicada a les “D” és de 5000 V d’amplitud. Calculeu: a) La freqüència de la V per accelerar deuterons.
b) La velocitat de sortida si el radi del ciclotró és de 0,4 m, assumint que entra amb una velocitat pràcticament nul·la.
c) El nombre de voltes que fa el deuteró fins que surt.
d) El temps que inverteix fins que surt.
a) f = 1,0707 Hz b) 0,2708 m/s c)  751 voltes d)  7,020-5 s 54.- Efecte Hall.Una cinta de metall de 2,0 cm d’ample i 0,10 cm de gruix porta un corrent de 20 A i està situada a l’interior d’un camp magnètic de 2,0 T, segons podem veure a la figura. La f.e.m. Hall es mesura i resulta que és Va-Vb = 4,27 µV.
a) Calculeu la velocitat de desplaçament dels electrons a la cinta.
b) Trobeu la densitat numèrica dels portadors de càrrega de la cinta.
c) Quina seria la diferència de potencial Va-Vb si els portadors de càrrega fossin positius? a) 1,10-4 m/s b) 5,9028 m-3 c) - 4,27 µV Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 18 (*) 55.- Efecte Hall. Volem construir una sonda Hall per a la mesura del camp magnètic. Volem triar entre dos materials diferents, A i B, per veure amb quin s’obté la màxima sensibilitat.
El material A és un metall i B un semiconductor tipus p. Les seves conductivitats són A = 308 S/m i  B = 602 S/m, mentre que la densitat de portadors són nA = 2,5028 m-3, i nB = 4,5022 m-3. Construïm una sonda amb cada un d’aquests materials, amb làmines de la mateixa geometria (10 mm de llarg, 10 mm d’ample i 0,10 mm de gruix) i mesurem la tensió entre els punts a i b.
a) Quina és la resistència de cada una de les làmines, fent passar el corrent tal com s’indica en la figura? b) No podem permetre que el dispositiu s’escalfi, per això limitarem el corrent que hi fem passar per tal que la potència dissipada sigui de P = 0,10 W. Quin és el corrent que hem de fer passar per cada làmina? c) Quina és la velocitat i el sentit dels portadors de càrrega en cada cas (considerem la càrrega igual a ±e)? d) Quina és la sensibilitat (en mV/G) de cada un dels dos dispositius? b) IA =55,0 A; IB =77,4 mA d) SA=1,37 10-5 mV/G ; SB =1,07 mV/G 56.- Efecte Hall. Una sonda Hall, en què el corrent circula en la direcció +Y, i en què la tensió Hall es mesura en la direcció X, té una sensibilitat d’1,5 mV/G.
Si es troba en un lloc en què el camp magnètic val: B = (30, 20, 25) G a) Quina tensió Hall mesurarem? b) Quin és el signe de (Va -Vb) si la sonda consisteix en un semiconductor tipus n? a) 37,5 mV b) positiu 57.- Força magnètica sobre un corrent. Un corrent de 2,0 A circula pel segment de conductor de la figura des d’ a fins a b.
Existeix un camp magnètic B=1,0 k T.
a) Trobeu la força sobre els segments ac i cb.
b) Trobeu la força sobre el conductor com si fos un segment recte des de a fins a b.
c) Repetiu els apartats anteriors considerant el camp B   xk on   1.0 103 T m i que les coordenades del punt a són (xa, ya) = (0.02, 0.02) m.
d) Quines conclusions traieu d'aquest resultat? a) Fac = –0,06 j N; Fcb = 0,08 i N b) F = (0,08 i– 0,06 j) N c) Fac = –21 j N; Fcb = 40 i N; Fab = (28 i –21 k) N Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 19 (**) 58.- Moment magnètic. Una partícula, de massa M i de càrrega q, descriu una trajectòria circular amb una velocitat angular  constant. Trobeu una expressió que relacioni el moment magnètic orbital m, i el moment cinètic de la partícula L respecte del centre de la trajectòria.
m = (q/2M)L 59.- Força magnètica sobre un corrent. En una zona de l’espai existeix un camp magnètic uniforme B=20 j G. Al pla z = 0 està situada una espira rectangular amb vèrtexs als punts A=(1,1,0), B=(1,3,0), C=(-4,3,0), D=(-4,1,0) (en metres) i per la qual circula un corrent de valor I = 2,0 mA.
a) Calculeu la força que actua sobre cada costat de l’espira.
b) Calculeu la força total que actua sobre l’espira.
c) Calculeu el moment que s’exerceix sobre l’espira.
d) Si el camp magnètic no fos uniforme i s’expressés B  y k amb  = 10 G m, repetiu els dos primers apartats.
a) FAB = 0; FBC = 2,00-5 k N; FCD =0; FDA = -2,00-5 k N, d) FAB =-2,20-6 i N; FBC =-3,30-6 j N; FCD = 2,20-6 i N; FDA =+100-6 j N, FT = 6,70-6 j N b) 0 c) 4,00-5 i N m, 60.- Moment magnètic. Acció d’un B uniforme sobre una espira. Una bobina circular petita de 20 voltes de fil és en un camp magnètic uniforme de 5.000 G de manera que la normal al pla de la bobina forma un angle de 60 amb la direcció de B. El radi de la bobina és de 4 cm i hi circula un corrent de 3 A.
a) Quin és el moment magnètic de la bobina? b) Quin moment o parell de forces s’exerceix sobre la bobina? a) 0,30 Am2, perpendicular al pla de la bobina, cap avall b) 0,13 N m 61.- Llei de Biot–Savart. Trobeu el camp magnètic que crea un element petit de corrent dl = 2 k mm, amb un corrent I = 2 A i que està centrat en l’origen, en els punts següents: a) b) c) d) En el punt A de l’eix X, en x = 3 m En el punt B de l’eix X, en x = –6 m En el punt C de l’eix Z, en z = 3 m En el punt D de l’eix Y, en y = 3 m a) 4,4410–11 j T c) 0 T b) –1,1110–11 j T d) –4,4410–11 i T Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 20 62.- Camp creat per una espira circular a l’eix. Dues espires circulars concèntriques de radis r1 = 20,0 cm i r2 = 30,0 cm estan situades al pla z=0 i centrades a l’origen de coordenades. Per la primera circula un corrent horari i per la segona antihorari si es mira des de l’eix z positiu. Els dos corrents valen I = 7,0 A. Calculeu el camp magnètic als punts a) P1 = (0,0, 0,0, 0,0) cm b) P2 = (0,0, 0,0, 20) cm c) P3 = (0,0, 0,0, –20) cm a) B = – 7,3 10–6 k T , b) B = 6,7 10–7 k T , c) B = 6,7 10–7 k T 63.- Principi de superposició.. Trobeu el camp magnètic B en els punts A, B, C si hi circula un corrent I i r és el radi dels trams circulars BA  - o I 2r k ; BB   o I  I  I k ; BC   o  o k 2 r  4r  4r 64.- Llei d’Ampère Un conductor està format per un nombre infinit de filferros adjacents, cadascun infinitament llarg i amb un corrent i.
a) Demostreu que les línies de camp magnètic B seran tal com es representen en la figura i que, si n és el nombre de conductors per unitat de longitud, el valor del camp és: B 1 0·n·i 2 b) Determineu el camp si, a més d’aquest pla, n’hi ha un altre, paral·lel al primer, on els corrents flueixen en sentit contrari.
Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 21 (*) 65.- Llei d’Ampère. Un cable coaxial llarg està format per dos conductors concèntrics com es mostra en la figura. En aquests hi ha corrents iguals i oposats d’intensitat i.
a) Obteniu el camp magnètic B a la distància r de l’eix, per a r < a.
b) Ídem per a a < r < b.
c) Ídem per a b < r < c.
d) Ídem per a l’exterior, r > c.
 i c  r  c) 0 2 r  c2  b 2  2 a) 0ir/2a 2 b) 0i/2r 2 d) 0 66.- Camp creat per un corrent rectilini indefinit. Tres fils conductors rectilinis indefinits, perpendiculars al pla de la figura, travessen aquest pla en els punts A, B i C.
En A(–2,0)m, I = 10 A, dirigida cap endins.
En B(0,–2)m, I = 15 A cap endins.
En C(2,0)m, I = 20 A cap enfora.
a) Trobeu el camp magnètic en el punt O(0, 0)m i en el punt D(0, 2)m.
b) Trobeu, aproximadament, el camp magnètic en el punt E (2,01, 0) m i en F (0, 100) m.
c) Si col·loquem un conductor rectilini, de 0,5 m de longitud, paral·lel als anteriors, que passi pel punt D, pel qual circulen 5A cap endins, quina és la força que actua sobre aquest conductor? a) B(O)=(15 i – 30 j)10–7 T B(D)=(2,5 i –15 j)10–7 T b) B(E) +410–4 j T B(F)=10–8 i T c) F=(–37,5 i – 6,25 j)10–7 N (*) 67.- Camp i forces magnètiques. Un fil llarg i horitzontal està sobre la superfície d’una taula.
Un altre, CD, situat directament damunt el primer, té 1,0 m de longitud i pot lliscar cap amunt i cap avall per les guies metàl·liques verticals C i D amb les quals fa contacte. Per ambdós fils circula un corrent de 50 A. La densitat lineal del filferro CD és de 5,0 g/m.
A quina alçada quedarà en equilibri el fil CD? Serà estable, aquest equilibri? 1,02 cm; sí, estable Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 22 68.- Camp creat per un corrent rectilini indefinit. Dos corrents de 10 A circulen per dos fils indefinits situats sobre l’eix OX en el sentit de + a - i sobre l’eix OY de - a +.
a) Calculeu el camp magnètic als punts següents: A (2,2,0)m B(-2,2,0)m C (0,0,2)m D (2,0,2)m b) Trobeu la força exercida per aquest camp sobre una partícula carregada negativament amb una càrrega q = -310-8 C que passa pel punt A a una velocitat de 100 j m/s.
a) BA = (0,0,-2)10-6 T BB = 0 BC = (1,1,0)10-6 T BD = (0,5, 1, -0,5)0-6 T b) F = 60-12 i N 69.- Camp i forces magnètiques. Un fil recte i una espira rectangular de fil estan damunt d’una taula.
Pel fil hi passa un corrent de 10 A i per l' espira de 20 A.
a) Quina és la força sobre l’espira? a) 3,210-5 N; repulsiva (**) 70.- Camp i forces magnètiques. Un fusible per corrents industrials pot estar format per dos fils molt llargs units per una barra, de longitud b = 30 cm, que comprèn una part mòbil, de longitud a = 28 cm, recolzada sobre la part fixa mitjançant una força F = 1N que fa un ressort.
a) Trobeu l’expressió del camp magnètic que crea el fil de l’esquerra en un punt de la part mòbil.
b) Trobeu l’expressió de la força magnètica total que actua sobre un element de corrent de la part mòbil.
c) Calculeu la intensitat del corrent que ha de circular perquè la part mòbil es desplaci.
a) B   0 I i 4 y b) d F  0 2  1 1  I    dyk 4  y b  y  c) I>1,2103 A Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 23 Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 24 Tema 2 Equacions de Maxwell Exercicis i Problemes Camps Elèctric i Magnètic. Exercicis i Problemes 25 Exercicis i problemes de suport a la teoria 1.- Llei de Gauss E. Col·loquem un cub de costat a, orientat amb els costats segons els eixos, amb el seu centre en una posició genèrica (xo, yo, zo). Trobeu el flux de camp elèctric a través de les seves cares i la càrrega total tancada en el seu interior si el camp elèctric en la regió en que situem aquest cub s’expressa com: a) E = c x2 i b) E = c (y i + x j) c) E = (3xy2 i + z k) a)  = 2Ca3xo Q = 2Ca3xo b)  = 0 Q=0 c)  = a3 (3 yo2+1)+a5/4 Q =  [a3 (3 yo2+1)+a5/4] 2.- Llei de Gauss B. En una regió de l’espai hi ha un camp magnètic B = B0 (i + k). Calculeu el valor absolut del flux magnètic que travessa la superfície lateral del con.
Φ = π R2 B0 3.- Coeficient d’ autoinducció i d’ inducció mútua. Un solenoide tancat sobre si mateix, amb forma d’anell, rep el nom de solenoide toroïdal. Si el radi de les espires, r = 0,50 cm, és molt menor que el radi mitjà del toroide R = 6,0 cm, podem considerar que el camp magnètic que està confinat en el seu interior, és uniforme.
a) Utilitzant la llei d’Ampère, obteniu el camp magnètic, tenint en compte que hi ha 10 espires/cm i la intensitat de corrent és de 3,2 A.
b) Calcula el coeficient d’autoinducció L.
c) Comprova que l’energia magnètica del solenoide calculada a partir de la densitat d’energia magnètica, coincideix amb ½ L I2.
d) Sobre l’enrotllament anterior col·loquem una altra bobina de 100 espires. Calculeu el coeficient d’inducció mútua M.
a) 4,00-3 T b) 3,7 0-5 H d) 9,90-6 H Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 27 4.- Coeficient d’autoinducció i d’inducció mútua. Construïm un solenoide recte amb n1 espires per unitat de longitud, amb un radi R1 i d’una longitud l (l >> R1). Per aquest solenoide passa un corrent constant de I1 A. Construïm un altre solenoide de forma coaxial al solenoide anterior i envoltant-lo de n2 espires per unitat de longitud, de radi R2 (R2 > R1) i de la mateixa longitud l (l >> R2).
Per aquest solenoide fem que circuli un corrent I2, en el mateix sentit que I1.
a) Calculeu l’expressió aproximada del camp B en la zona 0 < r < R2.
b) Calculeu el flux magnètic total 1 que travessa les espires del solenoide de radi R1, i el flux 2 que travessa les espires del solenoide de radi R2.
c) Calculeu el coeficient d’inducció mútua entre ambdós solenoides i comproveu que M 12 i M21 tenen el mateix valor.
a) 0<r<R1 B=B1+B2 , R1<r<R2 B=B2 , R2<r B =0; on B1 = 0 n1 I1 B2 = 0 n2 I2 2 2 b) 1= 0 n1 l  R1 (n1I1 + n2 I2 ) 2= 0 n2 l  (R1 n1I1 + R22n2 I2 ) c) M12 = M21 = 0 l  R12 n1 n2 5.- Força de Lorentz. Una vareta de 30cm de longitud es mou a 8 m/s en un pla perpendicular a un camp magnètic de 500 G. La seva velocitat és perpendicular a la longitud de la vareta.
a) Trobeu la força magnètica exercida sobre un electró de la vareta.
b) Trobeu el camp electrostàtic existent en la vareta quan s’arribi a l’equilibri.
c) Trobeu la diferència de potencial V entre els seus extrems.
a) 6,40-20 N b) 0,40 V/m c) 0,12 V (**) 6.- Llei de Faraday-Lenz. Les dues espires de la figura tenen els seus plans paral·lels entre si. Quan mirem des de A cap a B hi ha en A un corrent en sentit contrari a les agulles del rellotge.
Digueu el sentit del corrent en l’espira B i establiu si les espires s’atrauen o es repel·leixen entre si, a) si el corrent en l’espira A està creixent.
b) si el corrent està decreixent.
a) sentit horari, es repel·leixen b) sentit antihorari, s’atrauen Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 28 7.- Llei de Faraday-Lenz. Una espira quadrada de filferro es mou a una velocitat v constant, en una direcció que és perpendicular a la d’un camp magnètic uniforme que està confinat en una regió quadrada de l’espai amb costats de doble longitud que els de l’espira.
Feu un gràfic esquemàtic del flux de B (preneu el vector superfície cap a dins del paper) i de la força electromotriu induïda ЄI en l’espira en funció de x. (D’acord amb l’elecció del sentit del vector superfície, la f.e.m. serà positiva si aquesta impulsa un corrent en el sentit de les agulles del rellotge).
x < 3l/2 3l/2 < x < l/2 l/2 < x < l/2 l/2 < x < 3l/2 x < 3l/2 Φ= 0 Φ= B(3l/2 +x) l Φ= B l2 Φ= B(3l/2 x) l Φ= 0 ЄI = 0 ЄI =  Blv ЄI = 0 ЄI = + Blv ЄI = 0 (**) 8.- Llei de Faraday-Lenz. Una espira quadrada de 2 a =10 cm de costat, R=1,25  de resistència, m=2,0 g de massa i coeficient d'autoinducció negligible, es llença recolzada a una superfície horitzontal llisa a una velocitat v0=30 cm/s, paral·lela a un dels seus costats. En moure's, creua un camp magnètic d'intensitat B=1,0 T (veure dibuix). Sabent que l'espira manté sempre el sentit del moviment: a) Calculeu i representeu en funció de la distància x (indicada al dibuix), el flux magnètic que travessa l'espira. Considereu que el flux entrant al pla del paper és positiu.
b) Calculeu la força electromotriu induïda a l'espira en funció de la velocitat, per a qualsevol posició de l'espira. Indiqueu el sentit de circulació de la intensitat.
c) Calculeu la força que actua sobre l'espira en qualsevol posició que l'afecti el camp magnètic d) Apliqueu el teorema de l'energia cinètica (Fdx=mvdv) per calcular la velocitat, v1, de l'espira quan aquesta conté totalment la regió de l'espai on hi ha camp magnètic, i la velocitat de l'espira després de travessar el camp magnètic, v2.
 x  0  ;   Bav  0  x  a  ;   0  a  x  2a  ;   Bav  2a  x  3a  ;   0  3a  x  b)   0 B2 a 2 B2 a 2 v  0  x  a  ; Fx   v R R d ) v1  0, 25ms v 2  0, 20ms c) Fx   Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes  2a  x  3a  29 9.- Llei de Faraday-Lenz. Establim un camp magnètic uniforme B perpendicular al pla d’una espira de radi 5,0 cm, 0,40 de resistència i una autoinducció negligible. Augmentem el mòdul de B a un ritme de 400 G/s.
a) Trobeu la f.e.m. induïda en l’espira.
b) Calculeu el corrent induït en l’espira.
c) Quina potència es dissipa en l’espira? a) 3,140-4 V b) 7,850-4 A c) 2,460-7 W (**) 10.- Llei de Faraday-Lenz. Un fil metàl·lic de massa m llisca sense fricció sobre dos rails separats una distància d, com es mostra en la figura. El sistema està col·locat dins d’un camp B uniforme i vertical.
a) Un corrent constant I surt del generador G per un dels rails, segueix pel fil i retorna per l’altre rail.
Trobeu la velocitat (magnitud i sentit) del fil en funció del temps, suposant que estava en repòs quan t = 0.
b) Si substituïm el generador per una bateria de f.e.m. constant o, la velocitat del fil tendeix a un valor final constant. Quina és aquesta velocitat? c) En el segon cas, quin és el corrent quan s’arriba a la velocitat límit? a) v = IdBt/m b) v = o /Bd c) I = 0 11.- Coeficient d’inducció mútua i llei de Faraday-Lenz. Dues bobines es col·loquen concèntricament amb els eixos paral·lels. La bobina 1 té 270 espires i un radi R = 4.6 cm; la bobina 2 té 1000 espires de superfície S= 1,63 cm2. Si es fa l’aproximació de que R2 << R1, a) Calculeu el coeficient d’inducció mútua.
b) Si per la bobina 1 circula un corrent de Io cos ωt, ( Io= 54 mA, f=2000 Hz) obtingueu la força electromotriu induïda a la bobina 2.
M= 0,60 mH ЄI(2) = 0,41 sin (ωt) V (**) 12.- Llei de Faraday-Lenz. Una espira rectangular es mou a través d’una regió de l’espai en què hi ha un camp magnètic no uniforme, B = yi Tesla (=0,20 Tesla/m).
a) Calculeu el flux que travessa l’espira quan es troba en la posició indicada en la figura.
b) Trobeu la f.e.m. induïda en l’espira si es mou sobre el pla YZ a velocitat constant de 2,0 j m/s, de manera que per a t = 0 s, la seva posició és la indicada.
c) Representeu, gràficament i d'una manera el més exacta possible, la variació del flux magnètic i de la f.e.m. induïda en funció del temps.
Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 30 d) Indiqueu el sentit del corrent que circula per l’espira quan està en moviment.
a) 2,00-3 Wb b) -0,040 V d) en sentit horari (**) 13.- Llei d’Ampère. Llei de FaradayLenz. Per un fil de corrent molt llarg, hi circula una intensitat I = 10 A, mentre que l’espira rectangular es mou cap a la dreta a una velocitat constant v = 5m/s.
a) Enuncieu la llei d’Ampère i apliqueu-la per calcular el camp magnètic B a una distància x del fil de corrent.
b) Calculeu el flux del camp magnètic a través de l’espira en l’instant t = 0, per al qual l'espira es troba en la posició de la figura (x = 10 cm).
c) Calculeu la f.e.m. induïda en l’espira en aquest instant.
d) Si l’espira té una resistència r = 5  , quin serà el valor i el sentit del corrent induït? Quina potència es dissipa en l’espira? e) Quina força actua sobre l’espira a causa del corrent I? f) Quina potència exterior hauríem de subministrar en aquest instant a l’espira per mantenir-la a una velocitat constant? b) 1,460-7 Wb e) 9,2110-13 N c) 4,8V d) 0,96 A, 4,60-12 W -12 f) 4,610 W 14.- Llei de Faraday-Lenz.- Un conductor fix en forma de U de resistència R = 20 està sotmès a un camp magnètic uniforme, perpendicular al pla del conductor B=0.060 T. Un filferro metàl·lic de massa m = 20g i longitud l = 20cm que pot lliscar sense fricció sobre el conductor, es mou en un determinat instant amb una velocitat v = 1,0 m/s cap a la dreta.
a) Calculeu en aquest instant els valor de la força electromotriu induïda i de la intensitat induïda, tot indicant el sentit d’aquesta.
b) Calculeu el valor de la força magnètica que actua sobre el filferro en aquest instant.
c) Si volguéssim que el filferro es mogués amb velocitat constant, calculeu quina força hauríem de fer en aquest instant.
d) Si volguéssim que el filferro s’accelerés en aquest instant amb una acceleració a = 0,20 cm/s2, calculeu quina força hauríem de fer.
Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 31 a) b) c) d) ЄI = 12 mV, II = 0,60 mA sentit antihorari F = 7,2  10-6 N cap a l’esquerra F = 7,2  10-6 N cap a la dreta F = 47,2  10-6 N cap a dreta (**) 15.- Llei de Faraday-Lenz. Una espira rectangular ABCD de resistència R té els costats verticals, de longitud a, situats a distàncies r1 i r2 d’un corrent vertical I molt llarg. El corrent no està contingut en el pla de l’espira.
a) Calculeu el flux que travessa l’espira ajudant-vos de la superfície tancada de la figura i tenint en compte que la superfície DCEF és cilíndrica, centrada en el corrent. Raoneu el resultat.
b) Si pel fil circula un corrent altern I = I0 sin t, calculeu la força electromotriu i la intensitat induïdes a l’espira (preneu com a sentit positiu de gir el ABCD).
c) Representeu gràficament aquesta f.e.m. induïda i la intensitat I en funció del temps per a un període.
a) ABCD = b)  = - 0 Ia ln r 2 2 r1 0 r2 I 0 a ln cos t ; 2 r1 II = R 16.- Llei d’Ampère-Maxwell. Llei de Faraday-Lenz. Considereu el cub de costat l de la figura.
a) Si existís un camp elèctric de la forma: E = 1t j, i no existissin corrents, quina seria la circulació del camp magnètic al llarg de AA’B’BA ? b) Si hi hagués un camp magnètic B = 2t j trobeu la circulació del camp elèctric E al llarg de la línia AA’B’BA.
c) Si tinguéssim un camp magnètic B = 3 z i , i sabéssim que el camp elèctric és estacionari, trobeu el valor de la intensitat que travessa la superfície limitada per AA’B’BA. En quin sentit travessa la superfície.
a) μ0 0 1 l2 b) 2 l2 c) I=3 l2/ μ0 cap amunt 17.- Llei d’Ampère- Maxwell. Un condensador pla de plaques circulars de radi 10 cm i amb una distància entre plaques de 2 mm es carrega amb un corrent de 2 mA. Les plaques són paral·leles al Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 32 pla XY (perpendicular al paper), estan dibuixades simètricament respecte d’aquest pla i el seu eix coincideix amb l’eix OZ (veieu la figura de la dreta).
Figura a) Obteniu l’expressió del 1 flux del camp elèctric que travessa les superfícies S1 i S2 en funció del temps, i també els corrents que els travessen.
b) Calculeu la circulació del camp magnètic al llarg d’una circumferència C1, de radi 20 cm, situada en el pla XY (veieu la figura 1).
c) Calculeu la circulació del camp magnètic induït al llarg de la circumferència C 2, de radi 5 cm, situada també en el pla XY (fig.1).
d) Calculeu el flux de E i la intensitat de corrent a través de S3, S4 i S5.
b) -2,50-9 T·m c) -6,30-10 T·m d) 2,308 t·V·m (t en s) 18.- Llei d’Ampère- Maxwell. Tenim un condensador pla amb armadures circulars de radi ρ0. Si el camp al seu interior te l’expressió E = [Q0 + It]/(S0) k, calculeu el camp magnètic entre les plaques del condensador. Per fer-ho, considereu que per raons de simetria es pot considerar que el camp magnètic només te component en azimut B = Bφ eφ i que aquesta només depèn del radi ρ i del temps.
B Bφ = μ0 (I/S) /2 Ez 19.- Divergència. Teorema de la divergència. Considereu els camps vectorials d’un exercici anterior A1 = c x2 i , A2 = c (y i + x j) , A3 = (3xy2 i + z k).
a) Calculeu la divergència dels tres camps Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 33 b) Calculeu el flux d’aquests camps a través de la superfície del cub de costat a de la figura (podeu utilitzar el resultat de l’exercici anterior) c) Calculeu la integral de la divergència dels camps al volum del cub d) Observeu com es satisfà el teorema de la divergència.
a) div A1 = 2cx div A2 = 0 b) Φ1= ca4 Φ2= 0 c) El mateix que b) div A3 = 3y2 + 1 Φ3 = a5 + a3 20.- Rotacional. Teorema d’Stokes. Considereu els camps vectorials A4 = c x2 j , A5 = c (y i  x j) , A6 = (3y2 j + z k).
a) Calculeu el rotacional dels tres camps.
b) Calculeu la circulació d’aquests camps al llarg de la línia que limita la cara de davant A’B’C’D’ c) Calculeu el flux del rotacional d’aquests camps a través de la cara de davant d) Observeu com es satisfà el teorema d’Stokes.
a) rot A4 = 2cx k b) Γ4 = ca3 c) El mateix que b) rot A5 = -2c k Γ5 = ─ 2ca2 rot A6 = 0 Γ6 = 0 21.- Camp electrostàtic i camp magnètic. En els diagrames següents es representen dos camps vectorials en què hem intentat que la longitud de les fletxes sigui proporcional a la magnitud del camp vectorial corresponent en aquell punt. En qualsevol pla paral·lel al del dibuix els diagrames són idèntics. Un dels diagrames representa un camp electrostàtic i l’altre un camp magnètic estacionari.
a) La divergència d’aquests camps, és diferent de zero en algun punt? b) El rotacional, pot ser igual a zero? c) Alguna d’aquestes figures podria correspondre a un camp electrostàtic? d) Ídem, un camp magnètic? 22.- Llei de Gauss, llei d’Ampère. Energia electromagnètica. En una regió cúbica de l’espai de costat a, un vèrtex de la qual està situat a l’origen O d’un sistema de Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 34 coordenades XYZ, coexisteixen un camp elèctric E i un camp magnètic B, que tenen les expressions analítiques següents:  x E   1   i  a  x B   1   j  a En el dibuix, les fletxes intenten representar esquemàticament aquests camps.
Utilitzant raonadament les lleis integrals o bé les diferencials del camp electromagnètic: a) Calculeu la càrrega total Q situada a l’interior del cub, i també la seva densitat de càrrega .
b) Calculeu el corrent I que travessa cada cara del cub, tot raonant-ne el sentit. Com és el vector densitat de corrent j? c) Trobeu les expressions analítiques de les densitats d’energia elèctrica E i magnètica B , i calculeu l’energia electromagnètica total situada a l’interior del cub.
a)  0 a 2 ; b)  a 0 a  ; j k 0 a0 1  x c) E   0 2 1   2  a 2 1 2 x B   1 20  a  2 2 7    U  a 3   0 2   6  0  23.- Forma diferencial de les equacions de Maxwell. Considereu els camps A1, A2, A3 de l’exercici 19.
a) Si aquests camps fossin elèctrics, quina seria la densitat de càrrega? b) Algun d’aquests camps podria ser un camp electrostàtic? c) Algun d’aquests camps podria ser un camp magnètic? a) ρ1 = 2 0 cx , ρ2 = 0 b) A1 i A2 (rot A1 =0, rot A2 =0) c) A2 (div A2 =0) ρ3 = 0( 3y2 +1) 24- Forma diferencial de les equacions de Maxwell. Considereu els camps A4, A5, A6 de l’exercici 20.
a) Digueu quins d’aquest camps podrien representar un camp magnetostàtic.
b) Per aquests camps, quina seria la densitat de corrent J associada? a) A4 i A5 b) J4 = 2cx/ μ0 k J5 = ─ 2c/μ0 k Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 35 25.- Forma diferencial de les equacions de Maxwell. Trobeu sota quines condicions els següents camp elèctric i magnètic poden ser solucions de les equacions de Maxwell en el buit en absència de càrregues i corrents: E= E0 sin(z) sin(ωt) i, B= B0 cos(z) cos(ωt) j  = ω/c i B0= E0/c, on c és la velocitat de la llum c = 1/ (μ0 0)1/2 26.- Forma diferencial de les equacions de Maxwell. Tenim un camp magnètic del qual coneixem dues de les seves components: Bx=B0 cos(γ x) sin (β y) sin (χ z) i Bz=0 Trobeu la component By.
By = ─ γ B0/ β sin(γ x) cos (β y) sin (χ z) + Bcte 27.- Forma diferencial de les equacions de Maxwell . El valor instantani del camp magnètic H en el buit, en absència de càrregues i corrents és H(z,t)= 4,010-6 cos (2π 107 t – b z) j A/m Calculeu el valor instantani del camp elèctric E(r,t) i el valor de b E(r,t)= 1,5 10-3 cos (2π 107 t – b z) i V/m, b=0,21 m-1.
28- Forma diferencial de les equacions de Maxwell . El valor instantani del camp elèctric E en el buit, en absència de càrregues i corrents és E(x,t)= 2,0 exp(bx + at) j V/m amb a= 5107 s-1 y b en m-1. Doneu l’expressió del valor instantani del camp magnètic B(r,t) i calculeu el valor de b B(r,t)= ─ 0,67 10-8 exp(bx + at) k T, b=0,17 m-1.
29.- Energia elèctrica. Utilitza l’expressió de la densitat d’energia del camp elèctric per demostrar que l’energia del condensador pla s’expressa com U= ½QΔV 30.- Energia elèctrica . Un conductor cilíndric molt llarg, de longitud L, radi R1 i càrrega +Q distribuïda uniformement, s’envolta amb una closca metàl·lica, de forma cilíndrica i coaxial amb l’anterior, d’igual longitud L, radi R2 i gruix negligible, carregat uniformement amb una càrrega de valor –Q.
a) Aplicant la llei de Gauss, calculeu el camp E(r) per a tots els punts de l’espai.
b) Calculeu la diferència de potencial V entre els dos cilindres.
c) Calculeu l’energia emmagatzemada en una closca cilíndrica elemental de radi r, gruix dr i volum 2rLdr situat dins de l’espai entre els dos cilindres. Integreu l’expressió anterior per trobar l’energia emmagatzemada entre els dos cilindres.
d) Comproveu que l’expressió que en resulta és igual a ½ Q V Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 36 a) E  Q 2 0 Lr b) V  c) dU  Q 2 0 L per R1  r  R 2 ln R2 R1 Q2 R dr Q2 ; U ln 2 4 0 L r 4 0 L R1 31.- Energia magnètica .Un solenoide tancat sobre si mateix, amb forma de tor, rep el nom de solenoide toroïdal. Si el radi de les espires, r = 1,0 cm, és molt menor que el radi mitjà del toroide R = 10,0 cm, podem considerar que el camp magnètic que està confinat al seu interior és uniforme.
a) Utilitzant la llei d’Ampère, obteniu el valor aproximat del camp magnètic, tenint en compte que hi ha 10 espires/cm i la intensitat del corrent és de 3,2 A.
b) Calculeu l'energia magnètica quan circula aquest corrent.
a) B = 40,2 10–4 T, b) U = 1,3 mJ 32.- Energia magnètica. Un cable coaxial de longitud l està formada per dues làmines cilíndriques coaxials de radis a i b>a. Per ambdues superfícies circulen corrents paral·lels als seus eixos, de la mateixa intensitat I però en sentits oposats.
a) Enuncieu la llei d’Ampère i apliqueu–la a la determinació del camp magnètic B(r), creat per la línia de transmissió.
b) Determineu la funció de densitat l’energia emmagatzemada en el camp magnètic.
c) Calculeu l’energia per unitat de longitud de línia.
a) B  r    0I arb 2 r b) 0 I 2 8 2 r 2 c) U 0 2 b  I ln l 4 a 33.- Densitat de energia e.m. i de flux de potència. Donat el camp elèctric en absència de càrregues i corrents: E= E0 sin(π x/a)cos(ωt- βz) j a) Trobeu el camp magnètic.
b) Trobeu la densitat d’energia electromagnètica.
Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 37 c) Trobeu la densitat de flux de potència (vector de Poynting).
d) Trobeu la potència total que travessa una superfície quadrada de costat a si aquesta es troba respectivament en el plans x-y (z=0), al y-z (x=0) i al x-z (y=0).
a) B(r) = ─ E0β/ω sin(πx/a)cos(ωt-βz)i ─ E0π/(ωa) cos(πx/a)sin(ωt-βz)k b) u (r) = E02 [ε0 /2 + β2 /(2ω2μ0)]sin2(πx/a)cos2(ωt-βz)+ E02 π2/(2a2 ω2μ0)cos2(πx/a)sin2(ωt-βz) c) P(r) = E02/(ωμ0) [─ π/(4a) sin(2πx/a)sin(2(ωt-βz)) i + β sin2(πx/a)cos2(ωt-βz) k] d) Pot = a2β/(2ωμ0) E02 cos2(ωt), Pot=0 per les altres superfícies.
34.- Principi de conservació de l’energia.: Els terminals d’una bateria es troben connectats entre si per un fil conductor de conductivitat  ( 1m 1 ) (Fig. a). Lluny del generador podem considerar un segment del fil aproximadament com un cilindre de radi a immers en un camp elèctric uniforme E=E0 k, amb E0 constant (Fig. b).
a) Calculeu les pèrdues òhmiques en un segment del cable de longitud l.
b) Trobeu el camp magnètic.
c) Quin és el vector de Poynting? d) Comproveu que es compleix el principi de conservació de l’energia en un volum tancat per una superfície cilíndrica de radi ρ> a i longitud l (Fig. b).
a) Pot = σlπa2E02 b) H = σ a2 E0/(2ρ) e c) P(r) = - σ a 2E02/(2ρ) eρ d) Pot = - σlπa2 E02, surt igual i de sentit contrari a les pèrdues òhmiques: 35.- Camp instantani i fasors. Donades les següents magnituds instantànies, trobeu-ne l’equivalent en notació fasorial.
a) E(r,t)= E0 sin(2π x/d)cos(ωt ─ kz) j b) σ(r,t)=σ0 ln(xy)sin(ωt+π/4) c) B(r,t)=B0sin(γ x)cos(χ y) [sin(ωt ─ kz)+cos(ωt ─ kz)] k d) E(r,t)= 4 cos(ωt ─ 3x+ π/4) j + 3 sin (ωt ─ 4x ─ π/3) k a) E  r  = E0 sin(2π x/d) exp(-kz j) j b) σ  r  = σ0 ln(xy) exp(-π/4 j) c) B r  = (1 ─ j) B0 sin(γ x)cos(χ y) exp(─ kz j) k d) E r  = 4 exp[j (─ 3x + π/4) ] j + 3 exp[ j (─ 4x ─ 5π/6)] k Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 38 36.- Camp instantani i fasors. Donats els següents fasors, trobeu-ne l’equivalent en notació instantània.
a) E  r  = [3j cos(α x) i + 4 sin(α x) j] exp(jβ z) b) B r  = B0 cos(π x) k c)   r  = ρ0exp(jβ z-αz) d) E  r  = E0 sin[π(z-x)/d] exp[-jβ(x+z)] j a) E(r,t)= -3 cos(α x) sin(ωt+β z) i + 4 sin(α x) cos(ωt+β z) j] b) B(r,t)= B0 cos(π x) cos(ωt) k c) ρ(r,t) = ρ0 cos(ωt+β z) exp(-αz) d) E(r,t)= E0 sin[π(z-x)/d] cos(ωt-β(x+z)) j 37.- Equacions de Maxwell en Règim sinusoïdal permanent . El valor instantani del camp magnètic B en el buit, en absència de càrregues i corrents és B(z,t)= 4,0 10-8 cos(b z) cos(ωt) yˆ T amb ω= 2π·107 s-1 y b en m-1.
a) Doneu l’expressió del fasor del camp magnètic B r  .
b) Doneu l’expressió del fasor del camp elèctric E r  .
c) Calculeu el valor de b.
d) Doneu l’expressió del camp elèctric instantani E(r,t).
e) Calculeu el vector de Poynting mitjà.
f) Calculeu la densitat d’energia per unitat de volum mitjana.
a) B r  = 4,0 10-8 cos(b z) yˆ b) E r   ─ 4,0  10-8/b j /(μ0ε0ω) sin(bz) xˆ c) b= 0,21 m-1 d) E(r,t) = 12 sin(bz) sin(ωt) xˆ e) <P> = 0 f) <dU/dVol>= 10-9/π J/m3 38- Equacions de Maxwell en Règim sinusoïdal permanent: Donat el fasor camp magnètic:  ˆ B = B0 sin[x (k2- β2)1/2] exp(─ j β z) y a) Determineu sota quines condicions és un camp magnètic en el buit en absència de càrregues i corrents.
b) Calculeu el vector de Poynting mitjà.
a) k2 = ω2 ε0 μ0 b) <P>= βB02 sin2 [x (k2- β2)1/2]/(2ω ε0μ02) zˆ Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 39 39.- Vector de Poynting i energia RSP. El fasor corresponent a un camp elèctric E en el buit és E  r   E0  jxˆ  2yˆ  2zˆ  e  j y  z  i el del camp magnètic H és H r   E0   2  4xˆ  jyˆ  jzˆ  e  j y  z  On   0 /  0 a) Calculeu el vector de Poynting mitjà.
b) Calculeu la densitat d’ energia per unitat de volum mitjana.
a) <P>= E 02 2 2  9yˆ  9zˆ  b) <dU/dVol> = 9/2 ε0 E02 40.- Equacions de Maxwell en Règim sinusoïdal permanent . El fasor d’un camp elèctric en el buit, en absència de càrregues i corrents és     j 2y+z E  r  = 1  3j yˆ + Azˆ e   a) Doneu l’expressió del valor instantani de la component y del camp elèctric b) Trobeu el valor del complex A.
c) Trobeu el fasor del camp magnètic.
d) Trobeu el valor de la freqüència angular ω.
e) Calculeu el vector de Poynting mitjà.
f) Calculeu la densitat d’energia per unitat de volum mitjana.
a) Ey (r,t) = 2 cos( ω t ─ 2y ─ 2z ─ π/3) b) A = ─ 2 + 2 3 j c) B  r   5    3j  1 e  j 2y  z  xˆ d)   c 5 e) <P> = 5  2yˆ  zˆ  W/m2 60 f) <dU/dVol> = 10 ε0 (**) 41.- Equacions de Maxwell en Règim sinusoïdal permanent: Es té una secció d’un cable coaxial de longitud l, radi del conductor intern a i radi del conductor extern b. La secció del cable està tancada en tots dos extrems per conductors (veure figura). El fasor camp elèctric està donat per: E  r  = V sen(π z/l )/[ln(b/a) ρ] eρ Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 40 a) Trobeu el fasor camp magnètic associat.
b) Quina condició s’ha de complir perquè l’expressió del fasor sigui realment un camp e.m.? c) Trobeu la densitat d’energia e.m. mitjana.
d) Trobeu l’energia e.m. mitjana en el volum del cable. Quina és la relació amb l’energia d’un condensador cilíndric? e) Quant val el vector de Poynting mitjà? Què significa aquest resultat? a) H r  = j π V cos(π z/l )/[ωμ0l ln(b/a) ρ] e b) ω2 ε0 μ0 = (π/l)2 c) u = V2 /[4 ln2(b/a) ρ2 ] d) U = 2πl V2 /[4 ln(b/a)] = 1/4 C V2 e) <P>=0 → l’energia no surt de la cavitat (**) 42.- Equacions de Maxwell en Règim sinusoïdal permanent: Un fil conductor de dimensions h molt més petites que la longitud d’ona, per on passa un corrent amb una variació de la intensitat sinusoïdal descrita pel fasor I, constitueix una antena elemental. Els fasors camp elèctric i magnètic generats per aquesta antena, en coordenades i base esfèriques, amb k=ω/c, són: E  r   0 Hr    2 Ih  1 1  1 1 1 1   j 3 3  cos  rˆ   j  2 2  j 3 3  sin  θˆ  exp   jkr    2 2 c 2  k r kr  2  kr k r kr    2 Ih  1 1  j  2 2  sin  exp   jkr  φˆ  2 c 4  kr k r  a) Trobeu el vector de Poynting mitjà.
b) Calculeu la potència radiada per l’antena.
a) < P> = μ0ω2I2h2sin2θ/[32πcr2] rˆ b) Pot = μ0ω2I2h2/[12πc] Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 41 Equacions de Maxwell. Exercicis i Problemes 42 Tema 3 Camps electromagnètics en presència de medis materials Exercicis i Problemes Camps electromagnètics en presència de medis materials. Exercicis i Problemes .
43 Camps electromagnètics en presència de medis materials. Exercicis i Problemes .
44 Exercicis i problemes de suport a la teoria 1.- Medis dielèctrics. El vector polarització dins d’una esfera dielèctrica de radi R= 3,0 m amb el centre a l’origen de coordenades i de constant dielèctrica relativa εr = 2, s’expressa com P = a ( x i + y j + z k) amb a = 1,0 nC/m3 .
a) Doneu l’expressió del camps D i E a qualsevol punt de l’interior del dielèctric.
b) Determineu les densitats de càrrega lligada superficial σb a la superfície del dielèctric i de volum ρb a l’interior de l’esfera dielèctrica.
c) Calculeu la càrrega lliure que hi ha a l’interior de l’esfera dielèctrica.
d) Calculeu la diferència de potencial entre el centre i un punt de la superfície de l’esfera dielèctrica.
a) E = a ( x i + y j + z k) / ε0 , D = 2 a ( x i + y j + z k) b) σb = 3,0 nC/m2 , ρb = - 3,0 nC/m3.
c) Qf = 679 nC d) 508 V 2.- Medis dielèctrics. Condensador pla. Les plaques d’un condensador pla de capacitat C = 1,0 nF tenen una superfície A=500 cm2 i un dielèctric amb una constant dielèctrica de r = 4,0. Carreguem aquest condensador a un potencial V = 6,0 Volt.
a) Dibuixeu un esquema de les càrregues lliures i lligades i un diagrama vectorial dels camps elèctrics que creen aquestes càrregues així com del camp elèctric total.
b) Calculeu la distància que separa les plaques.
c) Calculeu la càrrega lliure emmagatzemada Q i el camp Eo creat per les càrregues lliures.
d) Calculeu el camp elèctric total E.
b) 1,8 mm c) 6,0 nC, 13,6 kV/m d) 3,4 kV/m 3. Medis dielèctrics. Condensador pla. Carreguem un condensador pla paral·lel de plaques quadrades de 10 cm de costat i separades a una distància de 1,0 mm amb Q = 1,010-9 C.
Mantenint la mateixa càrrega introduïm un dielèctric de permitivitat relativa r = 5,0 de manera que ocupa tota la superfície del condensador, però amb un gruix de 3/4 de la separació entre les plaques.
a) Calculeu el valor del camp elèctric dins i fora del dielèctric.
b) Deduïu el potencial en funció de la distància (y) a una de les armadures i de la diferència de potencial total entre les armadures.
Camps electromagnètics en presència de medis materials. Exercicis i Problemes 45 c) Comproveu que la capacitat resultant d’aquest condensador és equivalent a la de dos condensadors connectats en sèrie, l’un amb una separació de plaques d’1/4 del total i sense dielèctric i l’altre ocupat pel dielèctric amb una separació de plaques de 3/4 del total.
a) E0= 11 kV/m, Ed= 2,3 kV/m b) V = 4,5 V (**) 4.- Medis dielèctrics. Condensador pla. Una placa metàl·lica, de gruix h, està carregada amb una densitat superficial de carrega +. Es col·loquen dues plaques metàl·liques paral·lelament a l’anterior a distància a i, a continuació, ambdues plaques es connecten a terra, V = 0.
  a  a  a) Quina és la diferència de potencial entre la placa central i una de les altres dues? b) Calculeu la capacitat, per unitat de superfície, d’aquest sistema de conductors. (ajut: observeu que equival a dos condensadors en paral·lel).
S’introdueix, ara, un dielèctric que ocupa completament l’espai entre les dues plaques inferiors. Es mesura la diferència de potencial entre ambdues; resulta ser la meitat de la que hi havia abans d’introduir el dielèctric.
c) Determineu el camp elèctric en el dielèctric, E.
d) Indiqueu, en el dibuix, els valors de la densitat de càrrega lliure en cada placa.
e) Determineu: el mòdul del vector desplaçament elèctric en el dielèctric, D, i la seva permitivitat dielèctrica relativa r.
f) Determineu el valor de la densitat de carrega induïda o de polarització, en el dielèctric p.
g) Calculeu la capacitat, per unitat de superfície, del nou sistema.
Aplicació numèrica ,  = 8,85 C m-2, a = 2,0 mm.
a) ∆V = 2,0103 V b) CA = 8,8 nF m-2 c) E = 0,50106 V m-1 e) D = 13,310-6 C m-2; r = 3,0 f) p =  gCA = 18 nF m-2 Camps electromagnètics en presència de medis materials. Exercicis i Problemes 46 (*) 5.- Medis dielèctrics. Una esfera conductora de radi R = 10 cm està carregada amb una càrrega Q = +50 nC. Sobre l’esfera conductora es disposa una capa, també esfèrica, d’un material dielèctric (constant dielèctrica r = 3,0), amb un gruix de 10 cm.
a) Representeu les magnituds vectorials següents, en funció de la distància al centre de l’esfera, indicant-ne els valors més significatius: a.1) El camp elèctric E.
a.2) El desplaçament elèctric D.
a.3) La polarització P i el camp E’ que crea.
b) Trobeu la densitat de càrrega induïda a les superfícies de la capa dielèctrica.
c) En col·locar la capa esfèrica de material dielèctric, l’energia electrostàtica augmenta o disminueix? b) int = -265 nC/m2, ext = +66 nC/m2 c) Disminueix (**) 6.- Medis dielèctrics. Un condensador pla conté successives capes de materials dielèctrics, de forma que podem suposar una permitivitat dielèctrica variable gradualment amb la distància de la forma següent:   1    2  1  x d on 1  10 0 ,  2  40 0 on x és la distància a una de les plaques i la separació entre elles és d = 0,10 mm. (x = 0 és la posició de la placa de l'esquerra). Si l’àrea de les plaques és A = 3,0 cm2 i el condensador s’ha carregat de forma que la densitat superficial de càrrega lliure és  = 2,0 10-5 Cm-2 a) b) c) d) e) f) obteniu RAONADAMENT el desplaçament elèctric D en el dielèctric, obteniu el camp elèctric E(x) i el vector de polarització P(x), calculeu la densitat de volum i la densitat superficial de càrrega lligada, calculeu la diferència de potencial entre les plaques, calculeu la seva capacitat, calculeu l’energia emmagatzemada.
a) D = 2,0  10-5 C/m2, uniforme b) E(x) = 2 0-5/(10 ε0 +30x ε0 /d) V/m P(x) = 2,0  10-5(1-1/(10+30 x/d)) C/m2 -5 2 c) b = -dP/dx 1b = -1,810 C/m 2b = 1,9510-5 C/m2 d) V = 10,4V e) C = 0,58 nF f) U = 31 nJ 7.- Medis dielèctrics, condicions de contorn. Dos blocs dielèctrics, de constants dielèctriques 3,00 i 5,00 s’estrenyen l’un contra l’altre col·locant-los en un camp elèctric. En el primer medi E val 300 V/cm i forma un angle de 30º amb la normal a la superfície de separació dels dos dielèctrics.
Trobeu les components normal i tangencial de E en el segon medi si a la superfície de separació no hi ha càrrega lliure.
(156,150) V/cm Camps electromagnètics en presència de medis materials. Exercicis i Problemes 47 8.- Medis dielèctrics, condicions de contorn. Una superfície plana descarregada separa dos medis dielèctrics de constants 1 i 2. Comproveu que els angles 1 i 2 que formen les línies de camp elèctric amb la normal a la superfície satisfan la relació següent: tan 1 /tan 2 = 1 /2 .
9.- Medis dielèctrics, condicions de contorn. Una superfície plana situada a z=0 i carregada amb una densitat superficial  = 0,20 Cm-2 separa l’aire, r ≈ 1 (z>0) d’un dielèctric de permitivitat relativa r =2 (z<0). Si a la superfície de separació, a la part de l’aire, el vector desplaçament val D1 = 3,0 i +4,0 j + 3,0 k C/m2, calculeu el vector desplaçament D2 a la part del dielèctric.
D2 = 6,0 i +8,0 j + 2,8 k C/m2 10.- Medis dielèctrics, condicions de contorn. La superfície de separació entre dos dielèctrics és troba a x = 1m. El camp elèctric val E1(r) = 2 sin(πx/3) (i + j) V/m i E2(r) = exp(-πx/2) (i + a j) V/m, en el primer i segon medi respectivament. Sabent que el primer medi és el buit (εr1=1) , trobeu εr2 i el valor de a εr2 = 8,33 , a = 8,33 11.- Medis magnètics. Es construeix un imant cilíndric de radi R = 1,0 cm i longitud L, amb una magnetització uniforme M= 105 A/m paral·lela al seu eix.
a) Calculeu aproximadament els camps magnètic H i B al centre de l’ imant si la longitud L és 1,0 mm.
b) Calculeu aproximadament els camps magnètic H i B al centre de l’ imant si la longitud L fos 1,0 m.
a) H ≈ - 9,5 104 A/m, B ≈ 6,3 mT b) H ≈ 0 A/m, B ≈ 0.13 T 12.- Medis magnètics. Disposem d’un tor fet d’un material ferromagnètic que té una imantació mitjana de M = 1,005 A/m (dirigida al llarg del tor). Si suposem que no està travessat per corrents elèctrics, calculeu: a) El camp magnètic B a l’ interior del tor.
b) Quina seria la densitat de corrent de magnetització (per unitat de longitud) si al seu voltant es fa circular un corrent que produeix en l' enrotllament una densitat de corrent de 10.000 A/m sense que s’alteri la imantació.
c) Quin és ara el camp B ? 13.- Medis magnètics. Un tor prim de ferro recuit de 0,30 m de circumferència mitjana, 10 cm2 de secció i d'una permeabilitat relativa de 500 porta un enrotllament compacte de 500 voltes. Si hi circula un corrent de 1,5 A, calculeu en el sí del nucli: a) El camp H.
b) El camp B.
Camps electromagnètics en presència de medis materials. Exercicis i Problemes 48 c) d) e) f) g) El camp Bo produït pels corrents lliures.
El camp B' que produirien els corrents ficticis.
La imantació o magnetització M.
La densitat de corrent fictici o d’Ampère (per unitat de longitud).
La densitat d’energia magnètica emmagatzemada.
a) H =2500 A/m e) M =1,25106 A/m b) B= 1,57 T f)  =1,25106 A/m c) B0=0,0031 T g)  = 1,96103 J/m3 d) B’=1,57 T (**) 14.- Magnetisme a la matèria. Sobre un tor enrotllem dues bobines de manera uniforme. En un instant t1 el corrent que circula per la primera bobina és nul, i el fem créixer fins que, en un instant t2, el corrent assoleix un determinat valor I. A la segona bobina connectem un integrador, amb el qual es mesura la quantitat total de càrrega que ha circulat des de l’instant t1 fins a t2 . Si anomenem Qo a la càrrega que ha passat en fer aquest procés quan el tor és buit, i Q quan és ple d'un determinat material magnètic (anella de Rowland), demostreu que la susceptibilitat d’aquest material és igual a: m = Q/Qo - 1 (**) 15.- Mesura de la susceptibilitat. Un cub d’alumini de 10 g (densitat de 2,70 g/cm3) es troba en un camp magnètic no uniforme orientat segons l’eix y, en una regió en què B és 18.000 G i el gradient (dB/dx) del camp és 1.100 G/cm. Si la força exercida sobre la mostra és de 2,4·10 -4 N, calculeu la susceptibilitat de l’alumini.
Nota: cal tenir en compte que aquesta força equival al moment magnètic de la mostra pel gradient del camp B en la zona on es troba.
= 4,10-6 (*) 16.- Un magnetó de Bohr és el moment magnètic elemental produït per l’spin d’un electró i val 9,270-24Am2. Per al Fe, el nombre de magnetons de Bohr per àtom és 2,22 i la densitat d’àtoms és 8,5028 per metre cúbic. Per al Co és 1,72 i 8,81028. Per al Ni és de 0,62 i 9,1028. Calculeu per a cadascuna de les tres substàncies: a) El moment magnètic m de cada àtom.
b) El vector magnetització M de saturació.
c) El camp magnètic de saturació Bs.
Per al Fe: a) 20,60-24 Am2 b) 17,505 A/m c) 2,20 T (**) 17.- Camp coercitiu. El camp coercitiu d'un material ferromagnètic és Hc = 4,4104 A/m.
Amb aquest material hem construït un toroide de 15 cm de longitud, al voltant del qual hi ha enrotllades 600 voltes d'un fil de coure. Si prèviament hem imantat el toroide tot al llarg de la seva circumferència, quin és el mínim corrent necessari per invertir el sentit de la imantació? I = 11 A Camps electromagnètics en presència de medis materials. Exercicis i Problemes 49 (**) 18.- Medis magnètics. Per tal de construir una bobina tenim un nucli de ferrita, de permeabilitat relativa r = 500, de secció 1,00 cm2 i de longitud 10,0 cm.
a) Si poséssim una sola volta de fil al voltant del nucli, i hi féssim passar un corrent d’1,00 A, determineu el valor del camp H, del camp B i del flux magnètic  a través d’una secció del nucli.
b) Quin és el coeficient d’autoinducció L1 de la bobina si només té una volta? Quantes voltes haurem de posar-hi per tal que l’autoinducció de la bobina sigui de L = 20 mH ? a) H= 10,0 A/m b) L1 = 0,63 10-6 H B = 6,28 10-3 T N = 178 voltes  = 0,6310-6 Wb 19.- Medis magnètics, condicions de contorn. El mòdul del camp magnètic B a l’exterior d’un material magnètic de superfície plana val 0,50 T i forma un angle de 30o amb la normal. El camp a l’interior del medi forma un angle de 60o amb la normal. Si per la superfície no circulen corrents lliures, calculeu: a) la permeabilitat magnètica relativa del medi, b) el mòdul del camp magnètic B a l’interior del material magnètic, c) els corrents de magnetització superficial si suposem que la superfície de separació està al pla z=0 i que el camps B només tenen components x i z.
a,b) r = 3 Bint = 0,866 T c) JSM = -0,410-6 j A/m 20.- Medis magnètics, condicions de contorn. Un material magnètic de μr = 5 té forma de cilindre de radi R= 7,0 cm amb l’eix del cilindre coincidint amb l’eix Z. Suposarem que la part de fora del cilindre és aire amb una permeabilitat magnètica relativa μr ≈ 1. Per la superfície del cilindre circula un corrent superficial JS = 0,30 k A/m. Si al punt de la superfície (7,0 cm, π/2, 0,0) escrit en coordenades cilíndriques, el camp magnètic H per la part del medi magnètic és Hin = (2,0 i – 1,0 j – 3,0 k ) A/m calculeu el camp magnètic Hout al mateix punt però per la part de fora del cilindre.
Hin = (1,7 i – 5,0 j – 3,0 k ) A/m Camps electromagnètics en presència de medis materials. Exercicis i Problemes 50 Seminari Ones electromagnètiques Exercicis i Problemes 51 52 Exercicis i problemes de suport a la teoria 1.- Ones planes uniformes. Tenim un pols de radiació que es propaga en el buit. El camp elèctric en règim temporal arbitrari d’aquest pols pot ser descrit per una funció gaussiana de la forma:  E ( z, t )  E0 exp  ( z / z0  t / t0 ) 2 yˆ o on a) b) c) d) b) c) d) z 0 i t 0 descriuen la longitud i duració d’aquest pols respectivament.
Per què és una ona plana? Per què és uniforme? Quina relació hi ha d’haver entre les constants z 0 i t 0 ? Calculeu el camp magnètic associat.
Calculeu el vector de Poynting.
z0 / t0 = v  t H (z, t)  0 E 0 exp[ (z/z 0  t/t 0 ) 2 ]xˆ μz 0  t P (z, t)  0 E 02 exp[ 2(z/z 0  t/t 0 ) 2 ]zˆ μz 0 2.- Ones planes uniformes en RSP. Trobar la longitud d’ona i el nombre d’ona per les següents freqüències assumint que estem en el buit.
a) f = 270 KHz, (LW) b) f = 92,5 MHz, (FM) c) f = 440 MHz, (UHF) d) f = 2,5 GHz. (microones) e) f = 5·1014 Hz (llum visible) f) Què li passaria al nombre d’ona i longitud d’ona si en comptes de propagar-se en el buit ho fes en un medi amb εr=9? a) 0= 1111 m k0 = 0,0056 m-1 b) 0= 3,24 m k0 = 1,94 m-1 c) 0= 0,68 m k0 =9,21 m-1 d) 0= 0,12 m k0 = 52,36 m-1 e) 0= 0,6 μm k0 = 10,5 106 m-1 3.- Ones planes uniformes en RSP. Una ona plana uniforme que viatja en l'aire en la direcció de l'eix Z té associat un vector d’intensitat de camp magnètic amb amplitud H0 = 1/πA/m, dirigit en ˆ . La freqüència de l'ona es de 100 MHz.
la direcció donada pel vector xˆ + y a) Escriu l’expressió del camp magnètic instantani.
b) Troba el fasor camp elèctric.
c) ¿Quina densitat de potència mitjana transporta l'ona? Ones electromagnètiques. Exercicis i Problemes 53  a) H (z, t)  1 (xˆ  yˆ ) cos(2πf t  2π 2π  j z 120 b) E ( z )  (xˆ  yˆ ) e 3 2 c) <P> = 19 zˆ W/m2 2π z) 3 4.- Ones planes uniformes en RSP. El fasor corresponent a una ona plana uniforme que es propaga en un medi dielèctric amb índex de refracció n = 3 és  j  2x  E  r   Dxˆ  6 1  j yˆ   3  j zˆ  e 3y  2z  V/m Trobeu: a) Direcció de propagació.
b) Valor de D (component x) c) Longitud d’ona, freqüència i període.
d) El camp elèctric instantani.
e) El fasor camp magnètic.
f) Vector de Poynting mitjà.
  ˆ  2zˆ / 3 m-1 a) kˆ  2xˆ  3y b) D   j 2 V/m c)  = 2/3 m, f = 150 MHz, T = 6,6 ns  ˆ  3zˆ cos  t   2x  3y  2z   d) E  r , t   6y            2xˆ  6yˆ  zˆ sin  t   2x  3y  2z     j  2x  3y  2z  1  e) H  r   A/m  3  5  3j xˆ  6yˆ  6  2  3j zˆ  e   120 1 f)  P  2xˆ  3yˆ  2zˆ W / m2 10   5.- Polarització d’ones planes uniformes en RSP. Determina la polarització dels següents fasors corresponent a ones planes uniformes:   ˆ e a) E  r   4 xˆ  e j / 3 y  jk 0 z b) H r  =  4jxˆ + 3jyˆ  e A/m jk 0 z c) H r   H0  2zˆ  5j yˆ  e d) E  r   E0 V/m  jk 0 x  j  1 xˆ  jyˆ  e jk 0 z Ones electromagnètiques. Exercicis i Problemes 54  j   e) E  r   E 0 e  2 1  3j xˆ  8 e 3 yˆ  e  j3 z     j  j  ˆ   2e 4  2xˆ  yˆ   e jk0z V/m f) E  r    2e 4  xˆ  2y   j  2   a) El·líptica a dretes d) el·líptica a dretes b) lineal e) lineal c) el·líptica a esquerres f) circular a dretes 6.- Polarització d’ones planes uniformes en RSP. Determina la polarització dels següents camps instantanis corresponent a ones planes uniformes:   ˆ V/m b) E (r, t)  2cos( ωt  kz  π 3)xˆ  2sen(ω t  kz  π 6) y   ˆ A/m c) H (r, t)  2sin(ω t  k 0 z  π 4)xˆ  2cos(ω t  k 0 z  π 3) y  ˆ )  5cos(ω t  kz  π 2)(xˆ  2 yˆ ) V/m d) E (r, t)  5cos(ω t  kz)(xˆ  y a) E ( r, t)  E 0 (cos(ω t  kx  π)zˆ  3cos(ω t  kx  π/2) yˆ a) El·líptica a dretes b) lineal c) el·líptica a dretes d) el·líptica a esquerres 7.- Polarització d’ones planes uniformes en RSP. Donat el fasor camp elèctric:   E  Ec xˆ  e j yˆ e jk0z Descriu (dibuixa) l’orientació de les el·lipses de polarització i el sentit de gir en funció de la fase φ.
8.- Polarització d’ones planes uniformes en RSP. Una ona plana uniforme es propaga per un medi no magnètic d'índex de refracció n = 2, amb una freqüència f = 36 KHz. El fasor del camp elèctric ve donat per l’expressió:  E  E0 j xˆ  A     3yˆ  zˆ exp  j y  3z    on A és un nombre complex (A = a + j b ) i E0 =30V/m. L'ona transporta una densitat de potència mitjana de Pm = 15W/m2. Calcular: a)  b) |A| c) La polarització i sentit de gir de l’ona en els dos casos següents: c.i) b = 0 , a > 0 c.ii) E(r 0, t 0) 0 5 1 a)   24 10 m b) A  0, 5 c) c1) circular a dretes Ones electromagnètiques. Exercicis i Problemes c2) lineal 55 9.- Polarització d’ones planes uniformes en RSP. Donat el següent fasor corresponent a una ona plana uniforme propagant-se en el buit,  2 j j    j 2y  z E  r    4xˆ  2e 3 yˆ  4e 3 zˆ  e     Trobeu: a) Freqüència i longitud d’ona.
ˆ1 i eˆ 2 ) per descriure la polarització.
b) Una base vectorial adequada ( e c) Escriu el fasor en funció de la nova base.
d) Determina la polarització.
a)  = 0,89 m, b) eˆ 1  xˆ f = 335,4 MHz eˆ 2   yˆ  2zˆ  / 5  c) E  r    4eˆ 1  2 5e j   3  eˆ 2  e j  5kˆ  r d) El·líptica a dretes 10.- Polarització d’ones planes uniformes en RSP. Tenim una ona plana uniforme que es propaga en el buit amb fasor        j x  2y  z  E  E0 3  j 3 xˆ  1  j 3 yˆ  1  j 3 zˆ e  Trobeu: a) Freqüència i longitud d’ona.
b) Una base vectorial adequada ( eˆ 1 i eˆ 2 ) per descriure la polarització.
c) Escriu el fasor en funció de la nova base.
d) Determina la polarització.
a)  = 0,82 m, f = 367,4 MHz b) eˆ 1   xˆ  zˆ  / 2 eˆ 2   xˆ  yˆ  zˆ  / 3    c) E  r    2 2eˆ 1  2 3e 3 eˆ 2  e  j  j  x  2y - z   d) El·líptica a esquerres 11.- Polarització d’ones planes uniformes en RSP. Una ona plana que es propaga en el buit segons la direcció donada per = 30º i θ= 60º té polarització el·líptica a dretes. La seva freqüència és de 880 MHz, transporta una densitat de potència mitjana de 0.5/W/m2 i el valor mínim del camp, que s’assoleix en la direcció horitzontal, és de 5 V/m. Escriu l’expressió fasorial del camp elèctric per aquesta ona.
Ones electromagnètiques. Exercicis i Problemes 56 Els paràmetres que defineixen l'ona són:  kˆ  0, 25 3xˆ  3yˆ  2zˆ eˆ 2   1 xˆ  3yˆ 2 E01  95   eˆ 1  k  5, 87 m1  1  3xˆ  yˆ  2 3zˆ 4 E02  5 Vm      2 12.- Polarització d’ones planes uniformes en RSP. Un polaritzador és un element que deixa passar, de les ones que hi incideixen, únicament la component de camp elèctric paral·lela al seu propi eix, i que absorbeix o reflexa la component perpendicular a aquest. Una ona plana viatja en la direcció positiva del eix Z i incideix normalment sobre un polaritzador. El seu fasor camp elèctric és: E  E0   xˆ  yˆ   j  xˆ  yˆ   e jkz a) ¿Quina és l’expressió del camp elèctric a la sortida del polaritzador? b) Es vol afegir un segon polaritzador perquè la potència de l’ona resultant final quedi reduïda a la quarta part de la inicial. Quin haurà de ser l’angle entre els eixos dels dos polaritzadors? Denominem  a l'angle que forma el polaritzador amb l'eix de les X.
ˆ  e jkz a) Eout  r   E0 1  j cos   1  j sin   cos  xˆ  sin  y b) El primer polaritzador pot estar en qualsevol posició. El segon polaritzador ha d'estar girat 45º respecte el primer.
13.- Incidència normal sobre medis dielèctrics. Una ona plana de freqüència f = 300 MHz amb polarització circular a dretes, propagant-se en el buit i amb densitat de flux de potencia 1W/m2 incideix sobre un dielèctric amb índex de refracció n2=2. Escriu l’expressió de l’ona reflectida i l’ona transmesa.
Er  r   6, 47e j  xˆ  jyˆ  e j2 z E t  r   12, 9 e j  xˆ  jyˆ  e j 4 z , amb  per determinar 14.- Incidència normal sobre medis dielèctrics. Una ona plana amb polarització lineal incideix normalment des de l'aire sobre un dielèctric d'índex de refracció n2. L'ona transmesa conserva tan sols el 75 % de la potència incident. Quin és el valor de n2? n2 =3 Ones electromagnètiques. Exercicis i Problemes 57 15.- Incidència obliqua sobre medis dielèctrics. Una ona electromagnètica de freqüència f = 300 MHz es propaga en un medi dielèctric amb índex de refracció n1 = 2 , i incideix obliquament sobre un medi d'índex n2  2 . El fasor camp elèctric de l'ona incident és:   E i r   E 0     6 yˆ  zˆ   3 3  j xˆ e  jk i r Trobar: a) El fasor camp elèctric transmès.
b) El fasor camp elèctric reflectit.
Fig. 1 Canvi de medi i orientacions de les components paral·lela i perpendicular al pla d'incidència de les tres ones: incident, reflectida i transmesa.
  yˆ  32  2 6 a) E t r   E 0   213 j 33  xˆ  e 3zˆ   j2π  3y  z       2 3  yˆ  zˆ   3  j 3 1  3 xˆ  e  j2πz y  b) E r r   E 0  6 1 3   2 3   16.- Incidència obliqua sobre medis dielèctrics. Una ona plana uniforme de freqüència f = 150 MHz té associat un camp elèctric el fasor del qual es pot escriure com:  5 5   jki  r Ei  r   E 0  2  2zˆ  yˆ   j xˆ  e 2   segons la mateixa referència de coordenades del problema anterior (veure la Fig. 1). L'ona incideix des d'un medi dielèctric no magnètic d'índex de refracció n1  2 sobre la superfície de separació amb l'aire ( n2  1 ).
a) Obteniu el valor dels angles d'incidència ( i ) i de refracció ( t ).
b) Escriviu les expressions dels vectors d'ona de les tres ones: incident, reflectida i transmesa.
c) Identifiqueu el tipus de polarització de l'ona incident.
d) Quin és el valor de l'angle de Brewster per una ona plana que incideix des del dielèctric sobre l'aire? e) Obteniu el valor dels coeficients de reflexió i transmissió corresponents a ones amb polarització paral·lela i perpendicular al pla d'incidència.
f) Quin és el valor de l'angle crític per aquesta interfície? Ones electromagnètiques. Exercicis i Problemes 58 g) Escriviu la expressió de la mateixa ona incident quan incideix sobre la superfície de separació del dielèctric amb un angle de 60º respecte de la normal.
,56 º a) i 26 b) k i  2 5 ;  2yˆ  zˆ  t  6,43º 2 kr  ;  2yˆ  zˆ  ; 5 kt   5  yˆ  2zˆ  c) El·líptica a esquerres d) Bi  26, 56º 3 ; 5 f) ic  30º e)      ||  0 ;    ˆ j g) Ei  r   E 0  5 zˆ  3y  8 ; 5  ||  2 5 5   j  y  3z  xˆ  e 2  17.- Incidència obliqua sobre medis conductors. Una ona plana amb polarització lineal incideix obliquament sobre un pla conductor en la forma que es mostra la figura.
a) Calcula les densitats superficials de càrrega i de corrent que s'indueixen en el conductor.
b) Repeteix l'apartat anterior per a una ona plana amb polarització lineal paral·lela al pla d’incidència.
c) Què s'observa pel que fa a la direcció en què circula el corrent induït? Agafant y normal a la superfície de separació i x normal al pla d’incidència, el resultat queda a)  |s  0 ; J |s  2 b)  |s  2 0 Eic sin i e Eic  cos i e  jkz sini ;  kz sini xˆ J |s  2 Eic  e  jkz sini zˆ c) Té la mateixa direcció que la component tangencial del camp elèctric de l'ona.
Ones electromagnètiques. Exercicis i Problemes 59 18.- Incidència obliqua sobre medis conductors.
Una ona plana amb polarització circular a esquerres incideix sobre un pla conductor perfecte inclinat 45º respecte als eixos de coordenades, tal com es mostra a la figura.
a) Obtingueu l'expressió del camp elèctric associat a la ona reflectida.
b) De quin tipus és la polarització d'aquesta ona? c) La polarització de l'ona reflectida, depèn de l'angle d'incidència? ˆ  jzˆ  e jkx a) E r  r    jEc  y b) Polarització circular a dretes (l’ona incident és a esquerres).
c) No, ja que el coeficient de reflexió és constant (   1 ) i, per tant, no hi ha cap tipus de dependència de l’ona reflectida respecte l'angle d'incidència.
Ones electromagnètiques. Exercicis i Problemes 60 ...