Problemes Oscil·lacions esmorteides i forcades (2013)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2013
Páginas 23
Fecha de subida 10/08/2014
Descargas 3
Subido por

Vista previa del texto

Sessió 5 (7-11/10/2013) II. Oscil·lacions: oscil·lacions esmorteïdes i forçades Física I 1er GEEIA, GEE, GET i GEI Física I Índex 2.1 Nocions bàsiques. Moviments periòdics.
2.2 Oscil·lador harmònic simple. Equació model.
Freqüència i periode. Equació i constants del moviment.Energia del moviment harmònic simple 2.3 Oscil·lacions esmorteïdes. Equació model de l'oscil·lador esmorteït. Moviment infraesmorteït i sobreesmorteït. Esmorteïment crític.
Factor de qualitat.
2.4 Oscil·lacions forçades. Ressonància.
2.21 Física I 2.3 Oscil·lacions esmorteïdes  La fricció atura el moviment periòdic, que idealment podria durar per sempre. Les oscil.lacions reals són per tant esmorteïdes.
http://www.lon-capa.org/~mmp/applist/damped/d.htm  Això pot ser un problema o una sort... En moltes situacions, les oscil·lacions han d'esmorteir-se, i com abans millor: Gratacels a Taipei 2.22 Física I Quin és l'efecte de l'esmorteïment? L'energia del moviment es va dissipant per la fricció amb el medi.
http://www.edumedia-sciences.com/en/a230-damped-oscillator 2.23 Física I Equació model k F=F el +F R =−kx −bv m m x=−kx−b x˙ ¨ b m x¨ +b x˙ +kx=0 2 0 x¨ +2 β x˙ +ω x=0 On hem definit b = constant de fricció quines són les unitats de b ? Equació model de l'oscil·lador esmorteït √ k b −1 β≡ (s ) ω0 ≡ 2m m ω0 és la freqüència natural de l'oscil·lador, és a dir, sense esmorteïment ➢ β és el paràmetre d'esmorteïment ➢ 2.24 Física I Tipus de m.h. esmorteït Segons els valors de β tenim tres casos:  β< ω0: esmorteïment feble o infraesmorteïment  β= ω0: esmorteïment crític  β> ω0: sobreesmorteïment Quina és la forma funcional de x(t) per a cadascun d'aquests casos? 2.25 Física I Esmorteïment feble  β< ω0: esmorteïment feble o infraesmorteïment x (t )= A 0 e−βt cos(ω a t +ϕ0 ) amb ωa ≡√ ω20 −β2 −βt v (t )=− A0 e (ωa sin( ωa t +ϕ 0)+βcos (ω a t +ϕ 0 )) x A(t)= A0 e-βt L'amplitud decreix amb el temps. També ho fa l'energia de l'oscil·lador: t T = 2π/ωa l'energia decreix a un ritme doble que l'amplitud 1 2 −2β t < E el >T = k A 0 e 4 1 < E c >T = m ω20 A 20 e−2β t 4 1 < E >T = m ω20 A20 e −2 βt ≡E0 e−2 βt 2 E0 2.26 Física I Temps de relaxació τ 1 A(t)= A0 e-βt A/A0 <E>T /E0 1/e <E>T= E0 e-2βt temps de relaxació 1/β t temps de relaxació 1/ 2β 1 igual al temps de relaxació Es defineix: τ= 2β de l'energia <E> τ T 2.27 Física I Factor de qualitat Q  Es defineix Q com la raó entre l'energia emmagatzemada i la dissipada (en promig, per cada cicle) degut a la fricció: energia emmagatzemada Q=2 π pèrdua d'energia per cicle  Què significa un Q elevat? Sistema oscil·lant la Terra (ones sísmiques) corda de piano àtom excitat nucli excitat Q 250-1400 10³ 10⁷ 10¹² 2.28 Física I Factor de qualitat Q  El podem calcular < E> T Q=2π < P >T T on <P>T representa la potència mitjana dissipada en un cicle: d<E> 1 1 −t / τ < P >= =− τ E 0 e =− τ < E > dt ωa <E> Q=2π =ωa τ= < E> 2 π 2β τ ωa 2.29 Física I Esmorteïment crític i sobreesmorteïment  β= ω0: esmorteïment crític amb A0, A1 constants del −β t x (t )=(A 0 +A1 t)e moviment, que es troben amb les condicions inicials. És el que més ràpidament tendeix a l'equilibri (no oscil·la). Com a exemple, és el que utilitzen les suspensions dels cotxes.
 β> ω0: sobreesmorteïment x (t )= A 1 e−ω t +A2 e−ω t 1 2 ω1=β+√ β2 −ω20 ω2=β− √ β2−ω20 Tampoc no hi ha oscil·lacions. A1, A2 són les constants del moviment.
 Per a les mateixes condicions inicials, els osci.ladors de la figura de la pàg. 6 mostren el comportament característic dels tres tipus d'esmorteïment que hem explicat 2.30 Física I Oscil·lacions forçades  Per compensar la pèrdua d'energia que ocasiona l'esmorteïment, i que així el moviment persisteixi en el temps, hem d'afegir una força impulsora.
 Això dóna lloc al moviment oscil.latori esmorteït i forçat http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm k m F b m x¨ +b x˙ +kx=F (t) F (t) x¨ +2 β x˙ +ω x= m 2 0 F (t) x¨ +2 β x˙ +ω x= m 2 0 Equació model de l'oscillador esmorteït i forçat 2.31 Física I Equació del moviment esmorteït i forçat F (t) x¨ +2 β x˙ +ω x= m 2 0 equació diferencial del moviment F(t) és la força impulsora. En el cas més simple i interessant, F (t )=F 0 cos ω t és a dir, es tracta d'una força periòdica amb una freqüència arbitrària que no ha de per què coincidir ni amb ω0 (la natural de l'oscil·lador) ni amb ωa (la de les oscil·lacions esmorteïdes). L'equació del moviment, solució de l'equació diferencial anterior amb F(t) = F0 cos ωt té dos termes, un de transitori i un altre de permanent: x (t )=x tran (t)+A cos (ω t+δ) 2.32 Física I Terme permanent x (t )=x tran (t)+A cos (ω t−δ)=xtran (t )+x P (t ) amb A= F 0 /m √(ω −ω ) +4β ω 2 0 2 2 2 El terme xP(t) del règim permanent representa un moviment harmònic simple. Fixem-nos que entre la força impulsora i aquest terme hi ha un defasatge δ.
2 2 βω tan δ= 2 2 ω0 −ω F(t) F0 δ A xP(t) x 2.33 Física I Terme transitori x (t )=x tran (t )+A cos (ω t+δ) El terme xtran(t) del règim transitori representa el moviment esmorteït de l'oscil·lador (com quan F=0).
cos (ω a t +ϕ 0 ) si β< ω0 (esmorteïment feble) −βt si β= ω0 (esmorteïment (A +A t )e xtran (t)= 0 1 crític) β> ω0 A1 e−ω 1t +A 2 e−ω2 t si (sobreesmorteïment) −βt A0 e on les constants A0, A1, A2 i Φ0 s'ajusten amb les condicions inicials, i les ω0, ωa , ω1 i ω2 són les definides per al m.h. esmorteït.
2.34 Física I Activitat AEn un dels més simples i millors applets en línia sobre el tema, http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm Bes pot jugar amb els diferents paràmetres del sistema i veure la corba del moviment forçat en funció del temps.
2.35 Física I ATenint en compte que la gràfica en blau representa el moviment de l'oscil.lador, x(t), mentre que la vermella representa el terme de forçament sinusoïdal,observeu: ➢ la distinció entre el règim transitori i el règim periòdic: a temps llarg, la gràfica de x(t) es sinusoïdal sigui quin sigui el valor dels paràmetres ajustables, vol dir que s'ha assolit el règim periòdic; ➢ la força impulsora i l'elongació x(t) mai no es troben en fase; ➢ quan el paràmetre d'esmorteïment (attenuation) és baix comparat amb la freqüència natural de l'oscil·lador, ω0 =√ k /m , el règim transitori dura més. En canvi, quan es puja l'atenuació, s'assoleix el règim periòdic més depressa; ➢ quan la freqüència de la força impulsora s'acosta a la natural, amb una atenuació petita (infraesmorteïment), l'amplitud de les oscill·lacions del sistema creix sensiblement: és la ressonància 2.36 A Física I Ressonància En el règim permanent, l'amplitud del moviment harmònic esmorteït i forçat és A, x (t )=x P = A cos (ω t−δ) A= F 0 /m √(ω −ω ) +4β 2 0 2 2 2 ω 2 Observem que, per a un mateix valor de F0, l'amplitud varia en funció de la freqüència de la força impulsora.
Podem veure que com a funció de ω, A té un màxim quan ⇨ només hi dA 2 2 haurà =0 ⇒ωres= ω0 −2β dω màxim si β < ω0/√2 ωres F /m √ A res = 0 2β ωres tan δ res= β 2.37 Física I Ressonància 2.38 Física I Exemples Hi ha molts exemples de ressonància, els més coneguts, per espectaculars, són els que impliquen vibracions mecàniques en estructures, però el fenomen és comú en tots els àmbits de la física.
➢ Per exemple, l'impuls que es dóna a un gronxador aprofita el fenomen de la ressonància: http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/shm3.php ➢ El col·lapse del pont de Tacoma Narrows: http://science.howstuffworks.com/29833-understanding-tacoma-narrows-bridge-video ➢Ressonància estructural amb excitació sonora: http://www.youtube.com/watch?v=PlKYVnEo-jg 2.39 Física I Ressonància en la potència transferida Es pot demostrar que la potència promig (en 1 cicle) transferida per la força a l'osci·lador ve donada per 2 2 β↓ β ω ( F0 / m) <P> < P >T = 2 0 2 2 2 (ω −ω ) +4 β ω 2 <P>T té un màxim en ω = ω0 , independentment del valor de β.
T ω0 ω Aquesta freqüència és la que triaríem per a la ω0 d'un sistema esmorteïdor de la ressonància, connectat al sistema forçat a freqüència ω. És a dir, dissenyaríem el sistema de manera que ω0 = ω (i després triaríem β=ω0 per fer l'esmorteïment crític!) 2.40 Física I Resum     En la 2ª part del tema II, primer hem estudiat les oscil·lacions esmorteïdes. Hem vist els diferents tipus de moviment en funció del paràmetre d'esmorteïment β: esmorteïment dèbil, crític i sobreesmorteïment, i hem definit els paràmetres que els caracteritzen.
Hem definit el temps de relaxació i el factor de qualitat Q per a un oscil·lador dèbilment esmorteït.
Hem estudiat l'oscil·lador harmònic esmorteït i forçat, caracteritzat per una força impulsora periòdica de tipus sinusoïdal, i hem vist com l'equació del moviment de l'oscil·lador té un terme transitori i un de periòdic.
Hem definit el fenòmen de ressonància en l'amplitud i hem vist alguns exemples clàssics.
2.41 Fi de la presentació ...