TRABAJO MECÁNICA Y ONDAS (UNED) (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED)
Grado Química - 1º curso
Asignatura MECANICA Y ONDAS (UNED)
Profesor E.D.
Año del apunte 2015
Páginas 14
Fecha de subida 14/11/2015
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PEC/TRABAJO MECÁNICA Y ONDAS. ÁNGEL TERCERO FELIPE

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RESPUESTAS PEC II MECÁNICA Y ONDAS.
ÁNGEL TERCERO FELIPE, angelete_10@hotmail.com CA ALBACETE.
Cuestión.
g= 9,81 Si llamamos h a la altura y t al tiempo en caer, podemos llegar a la siguiente ecuación: ℎ= 1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 2 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 2 Del enunciado deducimos que el tiempo que tarda en caer es de 1segundo 1 para recorrer ℎ , por lo tanto sustituyendo en la ecuación 1 llegamos a: 3 2 1 ∙ ℎ = ∙ 𝑔( 𝑡 − 1)2 3 2 2 1 1 ∙ ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 2 = ∙ 𝑔( 𝑡 − 1)2 3 2 2 2 1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 2 = ∙ 𝑔( 𝑡 − 1)2 6 2 1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 2 = 4,905 ∙ ( 𝑡 2 − 2𝑡 + 1) → 3 3,27 ∙ 𝑡 2 = 4,905 𝑡 2 − 9,81𝑡 + 4,905 Resolviendo esta ecuación de segundo orden, ordenando los términos: 0 = 1,635𝑡 2 − 9,81𝑡 + 4,905 De esta ecuación vamos a obtener 2 soluciones; 𝑡1 = 0,55 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 1𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜.
𝑡2 ≈ 5,50 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠, 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 Por lo tanto, podemos determinar la altura requerida en nuestra cuestión sustituyendo en la ecuación 1 con este tiempo 2 obtenido; ℎ= 1 ∙ 9,81 ∙ (5,50)2 = 𝟏𝟒𝟖, 𝟑𝟖 𝒎 2 Se acepta el valor a) por proximidad, posiblemente el error sea al tomar decimales con exactitud, por lo tanto podemos concluir que la respuesta correcta es la a).
EJERCICIO 1. Determinar explícitamente el coeficiente de rozamiento entre dos materiales es, en general una tarea ardua desde el punto de vista teórico. Por ello se recurre con frecuencia a procedimientos experimentales para dar valores empíricos a dicho coeficiente. Una forma sencilla de determinarlo consiste en la siguiente experiencia.
Supongamos un bloque de masa m que parte de una altura h0=0 y asciende con una velocidad inicial vo por un plano inclinado que forma un ángulo 𝝑 con la horizontal. Debido al rozamiento el bloque se detiene tras haber ascendido hasta una altura h y comienza a descender, volviendo al punto inicial h0=0, con una velocidad v. Se pide a) Calcular la altura h a la que llega el bloque. ¿Cuál es la distancia recorrida antes de detenerse? b) Determinar el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado.
En la primera etapa se produce el ascenso por lo tanto: 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎 = 𝐴𝑆𝐶𝐼𝐸𝑁𝐷𝐸 𝑊𝐹𝑅𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∆𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 −𝐹𝑅𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ∙ 𝑥 = 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 2 + 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 2 − 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 1 − 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 1 De esta expresión, Epotencial 1 y Ecinética 2 son 0 por lo que desaparecen de la ecuación: −𝐹𝑅𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ∙ 𝑥 = 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 2 − 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 1 Desarrollando esta ecuación llegamos a: 1 2 −𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜗 ∙ 𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ − ∙ 𝑚 ∙ 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 las masas desaparecen: 2 1 2 −𝜇 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜗 ∙ 𝑥 = 𝑔 ∙ ℎ − ∙ 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ecuación 1 2 De la representación gráfica del problema obtenemos la relación de ángulos que será: 𝑠𝑒𝑛𝜗 = ℎ ℎ →𝑥= 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝜗 Sustituimos este valor en la ecuación 1: −𝜇 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜗 ∙ ℎ 1 2 = 𝑔 ∙ ℎ − ∙ 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑛𝜗 2 Desarrollamos esta ecuación teniendo en cuenta la relación trigonométrica entre cos/sen=cotangente: 1 2 −𝜇 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 ∙ ℎ = 𝑔 ∙ ℎ − ∙ 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 → 2 1 2 𝑣 = 𝑔 ∙ ℎ + 𝜇 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 → 2 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 1 2 𝑣 = 𝑔 ∙ ℎ ∙ (1 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗)𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2.
2 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 De esta ecuación 2 podemos despejar el valor de la altura, que es el valor pedido en el apartado a) : 𝒗𝟐𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒉= 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂 𝒂𝒍𝒄𝒂𝒏𝒛𝒂𝒅𝒂.
𝟐 ∙ 𝒈 ∙ (𝟏 + 𝝁 ∙ 𝒄𝒐𝒕𝒈𝝑) Ahora, podemos determinar la distancia recorrida hasta pararse: 2 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 2 ℎ 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 2 ∙ 𝑔 ∙ (1 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗) 𝒙= = = 𝑠𝑒𝑛𝜗 𝑠𝑒𝑛𝜗 2 ∙ 𝑔 ∙ (1 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗) ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜗 𝒗𝟐𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝟐 ∙ 𝒈 ∙ (𝒔𝒆𝒏𝝑 + 𝝁 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝝑) En la segunda etapa, DESCIENDE, por lo tanto: 𝑊𝐹𝑅𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = ∆𝐸𝑚𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 −𝐹𝑅𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ∙ 𝑥 = 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 2 + 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 2 − 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 1 − 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 1 De esta expresión, Epotencial 2 y Ecinética 1 son 0 por lo que desaparecen de la ecuación: −𝐹𝑅𝑜𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ∙ 𝑥 = 𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 2 − 𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 1 Desarrollando esta ecuación llegamos a: 1 −𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜗 ∙ 𝑥 = −𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ + ∙ 𝑚 ∙ 𝑣 2 las masas desaparecen: 2 −𝜇 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜗 ∙ ℎ 𝑠𝑒𝑛𝜗 1 = −𝑔 ∙ ℎ + ∙ 𝑣 2 ecuación 3 2 Desarrollamos esta ecuación teniendo en cuenta la relación trigonométrica entre cos/sen=cotangente: 1 −𝜇 ∙ 𝑔 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 ∙ ℎ = −𝑔 ∙ ℎ + ∙ 𝑣 2 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 → 2 1 2 𝑣 = 𝑔 ∙ ℎ + 𝜇 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 → 2 1 2 𝑣 = 𝑔 ∙ ℎ ∙ (1 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗) 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 4 2 De donde se obtiene que: 1 2 𝑣 = 𝑔 ∙ ℎ ∙ (1 − 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗)𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5.
2 Para determinar el coeficiente de rozamiento, dividimos la ecuación 2 entre la ecuación 5.
1 2 𝑣 = 𝑔 ∙ ℎ ∙ (1 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗)𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2.
2 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 1 2 𝑣 = 𝑔 ∙ ℎ ∙ (1 − 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗)𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 5 2 De modo que obtenemos: 1 2 2 𝑣 2 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑔 ∙ ℎ ∙ (1 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗) → 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 1 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 1 2 𝑔 ∙ ℎ ∙ (1 − 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗) 𝑣2 1 − 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 𝑣 2 Desarrollamos matemáticamente esta ecuación para despajar el coeficiente de rozamiento: 2 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 (1 − 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗) ∙ = 1 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 → 𝑣2 2 2 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 ∙ = 1 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 → 𝑣2 𝑣2 2 2 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 → ( ) − 1 = 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 ∙ 𝑣2 𝑣2 2 2 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ( ) − 1 = 𝜇 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 ∙ (1 + ( )) → 𝑣2 𝑣2 De aquí se puede obtener la expresión del coeficiente de rozamiento: 𝜇= 2 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ( )−1 𝑣2 2 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜗 ∙ (1 + ( )) 𝑣2 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 2 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 − 𝑣2 𝑡𝑔𝜗 ∙ ( ) 𝒗𝟐𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 − 𝒗𝟐 𝑣2 𝝁= = 𝒕𝒈𝝑 ∙ ( 𝟐 ) 2 𝒗𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 + 𝒗𝟐 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑣2 ( ) 𝑣2 EJERCICIO 2.
Las selecciones de España y Rusia juegan un partido amistoso en el mes de diciembre en Moscú. En el minuto 89, con empate a 2 en el marcador, uno de los jugadores de la selección española lanza el balón, de masa mb=400g, desde el suelo a 28,5 m frente a la portería contrario, con una velocidad vb=20 m/s y formando un ángulo de 45º con la horizontal.
Para intentar evitar que la pelota pueda entrar en la portería, un aficionado del equipo ruso, que está situado justo enfrente del jugador español y detrás de la portería rusa, lanza contra el balón una bola de nueve de masa mn=200 g. La bola se eleva a mayor altura que el balón, contra el que impacta, cayendo desde arriba, cuando este se encuentra en el punto más alto de la trayectoria, quedándose pegada al mismo (se supone que la bola de nueve no se destruye con el choque). En el momento del impacto la velocidad de la bola de nieve es vn=10m/s y su dirección forma un ángulo 𝝑 = 𝟔𝟎° con la horizontal.
a) ¿Posición del balón? Partimos observando la representación gráfica del problema de que: 𝑣𝑦 = 0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒; 0 = 𝑣𝑜𝑦 − 𝑔 ∙ 𝑡 → 0 = 𝑣𝑜 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜗 − 𝑔 ∙ 𝑡 → 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡 𝑓á𝑐𝑖𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑡= 𝑣𝑜 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜗 20 ∙ 𝑠𝑒𝑛45 = = 1,44 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑔 9,8 Voy es la velocidad inicial en “y” Planteamos las ecuaciones correspondientes para cada eje, eje “x” y eje “y”: Para el eje “x”: 𝑣𝑜𝑥 = 𝑣0 ∙ cos 𝜗 𝑥 = 𝑣0 ∙ cos 𝜗 ∙ 𝑡 Para el eje “y”: 𝑣𝑜𝑦 = 𝑣0 ∙ sen 𝜗 − 𝑔 ∙ 𝑡 1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜗 ∙ 𝑡 − ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 2 2 1 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛45 ∙ 𝑡 − ∙ 𝑔 ∙ 𝑡 2 , 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑡 2 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛45 ∙ 𝑣𝑜 ∙ 𝑠𝑒𝑛45 1 𝑣𝑜 ∙ 𝑠𝑒𝑛45 2 − ∙𝑔∙( ) → 𝑔 2 𝑔 Y0=0 𝑣02 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 45 1 𝑣02 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 45 𝑦= − ∙𝑔∙ → 𝑔 2 𝑔2 𝑣02 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 45 1 𝑣02 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 45 2 ∙ 𝑣02 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 45 𝑣02 𝑠𝑒𝑛2 45 𝑦= − ∙ = − = 𝑔 2 𝑔 2∙𝑔 2∙𝑔 𝑣02 𝑠𝑒𝑛2 45 𝑦= 2∙𝑔 A partir de esta ecuación se puede determinar el valor de la altura máxima que el balón podrá alcanzar.
𝑣02 𝑠𝑒𝑛2 45 202 ∙ 𝑠𝑒𝑛2 45 𝑦= = ≈ 𝟏𝟎, 𝟐𝟎 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 2∙𝑔 2 ∙ 9,8 En el eje “x” y sustituyendo el valor de t también obtenemos: 𝑥 = 𝑣0 ∙ cos 𝜗 ∙ 𝑡 = 𝑣0 ∙ cos 𝜗 ∙ 𝑣𝑜 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜗 20 ∙ 𝑠𝑒𝑛45 = 20 ∙ 𝑐𝑜𝑠45 ∙ = 20,40 𝑚 𝑔 9,8 b) ¿velocidad balón-bola? 𝑃𝐴𝑁𝑇𝐸𝑆 = 𝑃𝐷𝐸𝑆𝑃𝑈É𝑆 𝑣𝐵𝐴𝐿Ó𝑁 = 𝑣𝑜𝑥 = 𝑣0 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜗 = 20 ∙ 𝑐𝑜𝑠45 = 14,14𝑚/𝑠 𝑃 𝑋 𝐴𝑁𝑇𝐸𝑆 = 𝑃𝑋 𝐷𝐸𝑆𝑃𝑈É𝑆 0,4 ∙ 14,14 + 0,2 ∙ (−10 ∙ 𝑐𝑜𝑠60) = (0,4 + 0,2) ∙ 𝑣𝑥 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑣𝑥 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑠𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟, 𝑣𝑥 = 7,76𝑚/𝑠 𝑃 𝑌 𝐴𝑁𝑇𝐸𝑆 = 𝑃𝑌 𝐷𝐸𝑆𝑃𝑈É𝑆 0 + 0,2(−10 ∙ 𝑠𝑒𝑛60) = (0,4 + 0,2) ∙ 𝑣𝑦 → 𝑣𝑦 = −2,89 𝑚/𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑏𝑎𝑙ó𝑛 − 𝑏𝑜𝑙𝑎 = 𝑣 = √7,762 + 2,892 = 𝟖, 𝟐𝟖𝒎/𝒔 c) ¿Subirá el gol al marcador de la roja o el aficionado ruso habrá conseguido su objetivo? Para poder saber si el balón va a entrar dentro de la portería o no, necesitaremos conocer la coordenada vertical del balón en el momento en el que su coordenada horizontal coincide con el de la portería, la distancia entre la portería y el jugador/balón es de 28,5 m: ` 𝑥𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑟í𝑎 = 28,5 − 𝑥(𝑡0 ) = 28,5 − 20,40 = 8,1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 Tras el choque, el conjunto formado por el balón y la bola describe otro movimiento parabólico de caída con una velocidad inicial, 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 , y con origen en 𝑦𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 . Las ecuaciones de esta trayectoria van a ser: 𝑥 ` = (𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜗) ∙ 𝑡 𝑡2 ` 𝑦 = 𝑦𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 − (𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜗) ∙ 𝑡 − 𝑔 ∙ 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 2 Por lo tanto, podemos obtener podemos obtener la ecuación de la trayectoria del balón tras el choque a partir de las 2 anteriores: 2 𝑥` 𝑔 ` ` 𝑦 = 𝑦𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 − (𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝜗) − ( ) ∙ 𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜗 2 Como el balón se encuentra en una posición horizontal de la portería, la altura es: ` ` 𝑦𝑏𝑎𝑙ó𝑛 = 𝑦 ` (𝑥𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑟í𝑎 )= 8 )𝑔 8,28 ∙ cos(20,40)2 = 10,20 − (8,1𝑡𝑔( 20,40 )) − 2 = 10,20 − 3,01236 − 5,3976 ≈ 1,79 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 ( Como la altura de la portería es de 2,4 metros: 𝟏, 𝟕𝟗 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 < 𝟐, 𝟒 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 Podemos concluir que el balón entra dentro de la portería a pesar del esfuerzo del aficionado ruso.
Otra manera de plantearlo consiste en calcular antes el tiempo ya que a 8,14 metros, la distancia del impacto viene dada por: 8,14 𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 ∙ 𝑡 → 8,14 = 7,76 ∙ 𝑡 → 𝑡 = = 1,049 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 7,76 Sustituyendo este valor de t en la ecuación 1, obtenemos: 𝑡2 𝑦 = 𝑦𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 − (𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜗) ∙ 𝑡 − 𝑔 ∙ = 2 2 1,049 𝑦 ` = 10,20 − (8,28 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜗) ∙ 1,049 − 𝑔 ∙ 2 = 10,20 − 3,028 − 5,3975 = 1,7745 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 ` Como la altura de la portería es de 2,4 metros: 𝟏, 𝟕𝟕𝟒𝟓 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 < 𝟐, 𝟒 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 Podemos concluir que el balón entra dentro de la portería a pesar del esfuerzo del aficionado ruso. El resultado varía ligeramente del realizado por el otro procedimiento posiblemente por el uso de las cifras decimales y por el redondeo, pero en ambos casos se obtiene que el balón entra dentro de la portería.
EJERCICIO 3.
Un planeta esférico de masa M, radio R y periodo de rotación T, orbita en un sistema sola determinado.
Su eje de rotación está dirigido en la dirección positiva del eje z, k.
a) Obtenga el momento angular de rotación de dicho plantea, expresándolo en función de los datos conocidos.
Masa: M radio R periodo rotación T 𝑤0 = 2 ∙ 𝜋 𝑇 ⃗𝑳 = 𝑰 ∙ 𝑾 ⃗⃗⃗⃗ 𝑰= 2 ∙ M ∙ R2 5 Por lo que se obtiene fácilmente el valor de L, sustituyendo en la ecuación anterior: 2 2∙𝜋 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑀 ∙ 𝑅2 2 𝐿 = ∙𝑀∙𝑅 ∙ = 5 𝑇 5∙𝑇 b) Obtenga el nuevo valor del periodo de rotación del planeta, T.
𝐿𝐴𝑁𝑇𝐸𝑆 = 𝐿𝐷𝐸𝑆𝑃𝑈É𝑆 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑀 ∙ 𝑅2 2 𝑅 ∙ 𝑚 ∙ 𝑣0 + = ( ∙ 𝑀 ∙ 𝑅2 + 𝑚 · 𝑅2 ) · 𝑊 ` 5∙𝑇 5 Desarrollando esta ecuación obteneos el valor de T` que será el nuevo periodo de rotación del planeta: 𝑅 ∙ (𝑚 ∙ 𝑣0 + 4∙𝜋∙𝑀∙𝑅 2 2∙𝜋 ) = 𝑅 ∙ ( ∙ 𝑀 ∙ 𝑅 + 𝑚 · 𝑅) · 5∙𝑇 5 𝑇` Desarrollando esta ecuación llegamos a: (𝑚 ∙ 𝑣0 + 4∙𝜋∙𝑀∙𝑅 2 2∙𝜋 ) = ( ∙ 𝑀 ∙ 𝑅 + 𝑚 · 𝑅) · 5∙𝑇 5 𝑇` Y a partir de esta ecuación podemos obtener el valor de T` despejando; 2 𝑅 ( ∙ 𝑀 + 𝑚) ∙ 2 ∙ 𝜋 5 𝑇` = 4∙𝜋∙𝑀∙𝑅 𝑚 ∙ 𝑣0 + 5∙𝑇 c) Para que 𝑇 ` > 𝑇 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑡 𝑦 𝑣0 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑇= 2𝜋𝑅 𝑣𝑡 𝑣𝑡 = 𝑤 ∙ 𝑅 = 2𝜋 ∙𝑅 𝑇 Por lo tanto vt y v0 deben ser diferentes, no pueden presentar el mismo valor.
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