Boletín resuelto 1-Conjuntos de nivel (2016)

Apunte Español
Universidad Universidad Santiago de Compostela
Grado Física - 1º curso
Asignatura Métodos matemáticos 3
Año del apunte 2016
Páginas 12
Fecha de subida 13/04/2016
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1) Conjuntos de nivel y gráficas: 1.1) , = + + = ⟹ = − Los conjuntos de nivel son rectas con pendiente -1 y distinta ordenada en el origen.
1.2) , − = = − ⟹ =0⟹ − ≠0⟹1= =0⟹ − + − =0⟹ =± Cuando = 0, los conjuntos de nivel son dos rectas que pasan por el origen. Cuando hipérbolas.
≠ 0, son 1.3) 1.4) , = + <0⟹ í ≥0⟹ + =√ ⟹ =− +√ Cuando < 0, la función nunca toma un valor negativo, por lo que el conjunto de nivel es vacío. Si ≥ 0, los conjuntos de nivel son rectas con pendiente -1 y distinta ordenada en el origen, pero ésta crece cada vez más despacio al ser una raíz cuadrada, por lo que las rectas están cada vez más juntas a medida que crece c.
, + = = = ⟹ ⟹ = Los conjuntos de nivel son hipérbolas.
1.5) 1.6) , = " , = #á | |, | | " = ⟹ = 1 & | |>| |⟹| |= & | |<| |⟹| |= En los valores en que | | > | |, los conjuntos de nivel son rectas paralelas al eje OY con valor c. Cuando | | < | |, son rectas paralelas al eje OX con valor c.
#á | |, | | = ⟹ 1.7) 1.8) , = ( >0 ln + = ln ln Los conjuntos de nivel son hipérbolas. Como el denominador se anula cuando vertical de las hipérboles está en ese punto.
( , = ⟹ = ln 2+ 2 = ln ⟹ = = ⟹ + − =0 + Los conjuntos de nivel son elipses de distinta excentricidad. Cuando conjunto de nivel es la recta = 0 (elipse de excentricidad 1).
=0⟹ = 1, la asíntota = 0. En ese valor, el 1.9) , / # 1 1.10) =- − ( .
= − = , , ⟹ = cos 1 / − = + 1 + ≥0 1 & & =0⟹ ≠0⟹ = cos = 1 1 + + = 1.11) 5 , −1 + = = −1 - 2+ 2 ⟹ + = 1 .
Los conjuntos de nivel son circunferencias de radio 6 1.12) , = .9 + 78 + = ⟹ + =1 16 16 Los conjuntos de nivel son elipses centradas en el origen.
2) Conjuntos de nivel en 0,1: 2.1) , ,; = 3 > ? =0⟹3 =0⟹ 3 = ⟹= > ? =1⟹3 =1⟹ 2.2) + , ,; = +; = + +; > ? ⟹ > ? =0 1 = 3 Son dos planos: =0⟹ + +; =0⟹; =− − =1⟹ + +; =1⟹; =1− − Son dos planos: 2.3) 2.4) , ,; = + +; > ? ⟹ > ? =0⟹ =1⟹ + + +; =0 +; =1 , ,; = + −; > ? ⟹ > ? =0⟹ =1⟹ + + −; =0 −; =1 + + +; = −; = Son dos esferas: 2.5) 2.6) , ,; = +4 +4 + 3; = , , ; = 7 8 IJ8 1 = +; .
+ 3; > ? ⟹ > ? > ? ⟹1 > ? =0⟹ =1⟹ =0⟹ =1⟹ +4 +4 + 3; = 0 + 3; = 1 1 = 0 ⟹ Esto es imposible ⟹ ∅ +; 1 =1⟹ + ; = 1 ⟹ Es un cilindro de radio 1 +; 3) a) ¿Conjuntos de nivel? −2 + sin + = −2 ⟹ b) ¿Conjuntos de nivel? ⟹ W > ? U U = = −1 ⟹ , , = −2 + = −1, 0, 1 −2 + = −1 ⟹ − 1 + = 0 ⟹ Punto 1,0 −2 + = 0⟹ −1 + = 1 ⟹ Circunferencia de radio 1 −2 + = 1⟹ −1 + = 2 ⟹ Circunferencia de radio 2 ⟹ = = sin = + −2 ± √arcsin ⟹ ± 5arcsin −1 ⟹ = = −1, 0, 1 3Y ± X + 2YZ 2 > ? = 0 ⟹ = ± √arcsin 0 ⟹ = ± √YZ V U Y U > ? = 1 ⟹ = ± √arcsin 1 ⟹ = ± - + 2YZ T 2 Son rectas con pendiente 1, que cada vez se aproximan más porque su ordenada en el origen aumenta con √Z.
4) a) El terreno es más ostentoso en el punto B, porque las curvas de nivel están más juntas, y esto implica que hay más inclinación.
b) El punto C se corresponde con un valle entre dos montañas.
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