2RLS Ejercicio resuelto (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura Estadística 2
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 11/09/2014
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Estadística II EJERCICIO Tipo del Tema 2: RLS 1. Los siguientes datos nos dan las alturas (X, en cm) y los pesos (Y, en Kg) de una muestra de 10 chicas de 18 años.
X Y 169,6 71,2 166,8 58,2 157,1 56,0 181,1 64,5 158,4 53,0 165,6 52,4 166,7 56,8 156,5 49,2 168,1 55,6 165,3 77,8 a. Representa estos datos gráficamente i ajusta a ojo una recta de regresión. Qué datos necesitarías para ajustar una recta de regresión lineal simple? Podrías adivinar unos valores posibles para βˆ0 i βˆ1 i R2? b. Sabiendo que x = 165,52 , y = 59,47 ; d.
e.
f.
g.
h.
2 = 472,076 ; = 731,961 , ∑ ( x − x )( y − y ) = 274,786 Obtén estimaciones de la pendiente y del intercepto para la recta de regresión y=f(x).
Interpreta el significado de β0 y β1. En qué unidades se han medido? Cuáles son las unidades de SR? Halla los valores previstos y los residuos. Halla el valor de SR.
Halla las desviaciones típicas de β0 y β1 Haz los contrastes de hipótesis que te permitan comprobar si β0 = 0 y β1= 0.
Halla intervalos de confianza del 95% para β0 y β1. Confirman los resultados lo que habías decidido en el punto f.? Halla la tabla ANOVA, el valor de R2 y realiza el test F para la regresión.
Demuestra numéricamente que t2 = F, donde t es el estadístico de prueba utilizado en el punto f.
∑ (y − y) c.
∑ (x − x ) 2 Solución 80 75 Y 70 65 60 55 50 155 160 165 170 175 180 X b. βˆ1 = ∑ (x i − x )( y i − y ) = 274,786 = 0,5821 2 ∑ (x i − x) 472,076 βˆ0 = y − βˆ1 ⋅ x = -36,88 La recta de regresión es: y i = -36,88 + 0,5821x i + e i c. β1 es la pendiente, es lo que se incrementa la y cuando la x aumenta 1 unidad (1 centímetro.) sus unidades, en este problema, son kg/cm β0 es la ordenada al origen o intercepto. Es el valor previsto para la y cuando la x vale 0. En este caso no tiene significado físico, puesto que no puede haber personas de altura 0cm. Sus unidades son kg (como la y) ei tiene las mismas unidades que la y (Kg). La SR tiene las mismas unidades que los residuos, Kg. La variancia residual es el cuadrado, sus unidades serán Kg2.
d. Valor previsto: yˆ i = βˆ0 + βˆ1 xi ( Residuo: ei = yi − yˆ i = yi − βˆ0 + βˆ1 xi X 169,6 166,8 157,1 181,1 158,4 165,6 166,7 156,5 168,1 165,3 Y 71,2 58,2 56,0 64,5 53,0 52,4 56,8 49,2 55,6 77,8 Valores Previstos 61,84 60,22 54,57 68,54 55,33 59,52 60,16 54,22 60,97 59,34 ) ei 9,36 -2,02 1,43 -4,04 -2,33 -7,12 -3,36 -5,02 -5,37 18,46 S R2 = ∑ e =71,50 2 i n−2 e.
sR2 sβˆ = = 0,3892 2 1 ∑ (xi − x ) s R2 n sβˆ = 0 f.
∑x ∑ (x i 2 i − x) 2 = sR x2 1 + = 64,47 n ∑ ( xi − x )2 H0: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0 βˆ − 0 t= 1 = 1,50 en las tablas vemos que el área de cola para este valor de t y s βˆ 1 8 GL está entre 0,1 y 0,05. Además, como la H1 es β1 ≠ 0, hay que multiplicar esta área por 2 para hallar el p-valor. En resumen, p-valor > 0,05, no podemos rechazar la H0, y, por lo tanto, β1 = 0 H0: β0 = 0 H1: β0 ≠ 0 βˆ − 0 t= 0 = -0,57 s βˆ en las tablas vemos que el área de cola para este valor de t 0 y 8 GL es mayor que 0,25. Además, como la H1 es β0 ≠ 0, hay que multiplicar esta área por 2 para hallar el p-valor. En resumen, p-valor > 0,05, no podemos rechazar la H0, y, por lo tanto, β0 = 0 g. Intervalo del 95% para β1. Como 1- α = 0,95; α = 0,05 y α/2 = 0,025 βˆ1 ± tα 2 s =0,5821±2,3060*0,3892 ˆ ; n− 2 β1 2,3060 lo hemos obtenido en las tablas de la t-student para 8 GL y área de cola de 0,025 βˆ0 ± t α 2 s =-36,88±2,3060*64,47 ˆ ;n− 2 β 0 Los dos IC contienen el 0, por lo tanto, confrman lo obtenido en el punto f.: que tanto β1 como β0 = 0.
h.
Tabla ANOVA Source Regression Residual Error Total DF 1 8 9 SS 159,95 572,01 731,96 MS 159,95 71,50 F 2,24 P 0,173 Como rellenarla? Una posible opción seria: Empezamos por la fila Total. Tenemos 10 datos, los Grados de Libertad serán 10-1=9 2 La SCT nos viene dada por enunciado: ∑ ( y − y ) = 731,961 La fila de la parte no explicada por la regresión (residual): sabemos que los Grados de Libertad son n-2 = 8 y conocemos la variancia residual S2R = 71,50.
La SCR se obtiene multiplicando los GL por la S2R La fila de la parte explicada por la regresión la podemos obtener por resta: Total – Residual R2=SCE/SCT = 159,95/731,96 = 0,219 , es decir, del 21,9% F es el cociente entre los cuadrados medios de la regresión (159,95)/ los cuadrados medios de los residuos (71,50) = 2,24 El p-valor es el mismo que el obtenido para la prueba realizada en el apartado f.
Vemos como 2,24 = 1,502 ...