2. Fonaments de Probabilitat (2014)

Resumen Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Gestión Aeronáutica - 1º curso
Asignatura Estadística
Año del apunte 2014
Páginas 15
Fecha de subida 10/03/2015 (Actualizado: 10/03/2015)
Descargas 7
Subido por

Descripción

Noció de probabilitat, fórmula de Laplace, freqüències, fórmula de Kolmogorov, nocions de teoria combinatòria, probabilitat condicionada. independència, binomials, variables aleatòries discretes i contínues.

Vista previa del texto

TEMA 2: FONAMENTS DE PROBABILITAT Noció de probabilitat: Sorgeix a partir d’un experiment aleatori.
Exemple: Llançament d’un dau.
Nomenclatura: Esdeveniment  Fet o resultat que mesurem d’un experiment aleatori concret.
- Esdeveniment elemental  No es poden descomposar en esdeveniments més simples. ex: al llançar una moneda pot sortir cara o creu.
Agregació de diferents esdeveniments elementals.
Clàssicament (1776): Molts experiments aleatoris es poden representar pel model uniforme: Suposem un nombre finit de resultats possibles/esdeveniments elementals i cada un d’ells és igualment possible. (Excloents l’un dels altres) 1) Fórmula de probabilitat: Laplace (s.18) p (A) = 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 exemple1: Llancem dues monedes. Quina seria la probabilitat que surtin dos resultats diferents? CC CX XC XX  2 1 p (A) = 4 = 2 Exemple2: Llancem dos daus. Si sumem els dos valors que obtenim en cadascun d’ells, quina probabilitat hi ha que sumin 7? I 4? 36 casos possibles.
Resultat 4 7 Favorables 3 (1+3, 2+2, 3+1) 6 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) 2) Freqüències: (Vist des del punt de vista estadístic) Inicialment és una qüestió experimental.
Repetim un experiment moltes vegades (N).
Contem quants cops apareix un cert resultat (A).
fn (A) = 𝑛 (𝐴) 𝑛 (freqüència relativa de A) S’observa que per a qualsevol esdeveniment, els valors de fn (A) tendeixen a estabilitzar-se.
p (A) = lim 𝑓𝑛 (𝐴) 𝑛→∞ - Propietats: a) 0 ≤ fn (A) ≤ 1  0 ≤ p (A) ≤ 1 b) Ω qualsevol dels resultats possibles fn (Ω) = 1 Ω esdeveniment segur.
c) A, B esdeveniments que s’exclouen mútuament.
fn (A u B) = fn (A) + fn (B) 3) Definició “abstracta” de probabilitat: (Korlmogorov 1933) - “Espai de probabilitat”: Objecte matemàtic on es té en compte: a) Espai mostral: Ω .  Correspon al conjunt d’esdeveniments elementals.
 No cal que sigui finit.
 No cal que hi hagi simetria.
b) La funció de probabilitat: p: P (Ω)  Reals.
* P(Ω): subconjunts de Ω S’ha de complir: a) 0 ≤ P (A) ≤ 1 per a qualsevol A ∊ Ω b) p (Ω) = 1 c) A, B esdeveniments incompatibles (no passen mai a l’hora) ( A ⌒ B = ø) p (A u B) = P(A) + P (B) Exemples: Llançar dues monedes i es conten les cares.
Ω (espai mostral) = [0, 1, 2] Probabilitat que no surti cap cara: 1 P ([0]) = 4 1 P ([2]) = 4 1 P ([1]) = 2 PROPIETATS PER A LA REALITZACIÓ DE CÀLCULS: 1) p (ø) = 0 (probabilitat que no passi res després de fer l’experiment és 0).
Ω=Ωuø Ω⌒ø=ø 2) A ≤ B Ω p (B A) = P (B) – P (A) B = A u (B A) p (B) = p (A) + p (B A) B A 3) p (𝐴̅) = 1-p(A) 4) Si A ≤ B p (A) ≤ p (B) Diagrama de caixes 5) p (A u B) = p (A) + P(B) – p (A ⌒ B) p (A u B) A u B = [ A (A ⌒ B)] U [ B (A ⌒ B)] U (A ⌒ B) A⌒B A B Exercici: Tenim tres diaris A, B, C. La gent que llegeix el diari A és d’un 30%, el diari B un 20% i el diari C un 15%. A i B: 12%, A i C: 9%, B i C: 6%. A i B i C: 3%.
a) Quina és la probabilitat que llegeixi algun diari? (quantes persones llegeixen algun diari): P (AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A⌒B) – P(B⌒C) – P(A⌒C) + P (A⌒B⌒C) = 0,41 b) No llegeixi cap diari? P(𝐴̅ ⌒ 𝐵̅ ⌒ 𝐶̅ ) = 0,59 c) Només llegeixi A? P (A ⌒ 𝐵̅ ⌒ 𝐶̅ ) = 0,06 d) Llegeixi B o C però no A? 4) La teoria combinatòria: Una urna conté n boles i en traiem k.
1) Variacions sense repetició:  Amb ordre i sense repetició  𝑘 𝑛! 𝑉 𝑛 = n · (n-1) · (n-2) ... (n-(k-1)) = (𝑛−𝑘)! Permutacions de n elements: (Si k = n)  = n · (n-1) · (n-2) ... 3 · 2 · 1 = n! Exemple: 100! = (error) 2) Variacions amb repetició:  Traiem k boles amb ordre i repetició.
n · nk ... n = nk 3) Combinacions:  Sense ordre i sense repetició  𝑘 𝑛 𝐶 𝑛 = (𝑘 ) = número binomial o combinatori = 𝑛·(𝑛−1)·…(𝑛−𝑘+1) 𝑘 (𝑘−1) (𝑘−2)… 1 = 𝑛! 𝑘! (𝑛−𝑘)! Propietats: 1) 0! = 1 ( 1! = 1) 2) (𝑛0 ) = 1 = (𝑛𝑛 ) 𝑛 3) (1𝑛 ) = n = (𝑛−1 ) 𝑛 4) (𝑛𝑘 ) = (𝑛−𝑘 ) 7! 7! Exemple: (75 ) = 5!(7−5)! = 5! 2! = 21 Exemple1: En un edifici hi ha 25 vivendes. De quantes maneres diferents es poden elegir el president i el secretari de la comunitat de propietaris? 25 · 24 = 600 Sumari: 𝑘 𝑛! 1) Variacions sense repetició: 𝑉 𝑛 = n · (n-1) · (n-2) ... (n-(k-1)) = (𝑛−𝑘)! 2) Permutacions: Pn = n! 𝑘 3) Variacions amb repetició: 𝑅𝑉 𝑛 = nk 𝑘 𝑛! 4) Combinacions: 𝐶 𝑛 = (𝑛𝑘 ) = 𝑘! (𝑛−𝑘)! Exemple2: Ordenem 6 llibres en una prestatgeria. De quantes maneres ho podem fer? P6 = 6! = 6·5·4·3·2·1 = 720 Exemple3: En les quinieles de 15 apostes, quantes apostes diferents simples es poden fer? 315 = 14.348.907 ≈ 107 Exemple4: Probabilitat d’encertar a la primitiva o 6/49: 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 1 1 = (49 ) = = 7 x 10-8 13.983.816 6 5) Probabilitat condicionada. Independència.
Siguin A i B dos esdeveniments. La probabilitat de A pot quedar modificada si sabem que B s’ha produït. Aquesta nova probabilitat P(A/B) s’anomena probabilitat condicionada de A respecte B i es defineix: P(A/B) = 𝑃 (𝐴 ⌒ 𝐵) 𝑃 (𝐵) Hi ha dues possibilitats: a) P (A/B) ≠ P (A). Diem que A i B són dependents.
b) P (A/B) = P (A). Diem que A i B són independents.
P (A ⌒ B) = P(A/B) P(B) Si A i B són independents = P(A) · P (B) Exemple1: En una baralla de cartes espanyola traiem una carta i considerem A=rei, B=figura, C=copes.
P (A/B) = 𝑃 (𝐴 ⌒ 𝐵) 𝑃 (𝐵) 4 = 𝑃 (𝑟𝑒𝑖 𝑖 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎) 𝑃 (𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎) 4/48 4 = 12/48 = 12 4 P (A) = 48 ≠ 12 P (A ⌒ B) = P(A) · P(B) = 4 48 P (A/C) = ≠ 12 · 48 48 𝑃(𝐴⌒𝐶) 𝑃(𝐶) 4 = 𝑃 (𝑟𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑒𝑠) 𝑃 (𝑐𝑜𝑝𝑒𝑠) 1/48 1 = 12/48 = 12 Exemple2: En una baralla espanyola traiem 2 cartes successivament. Quina és la probabilitat que...
a) Les dues cartes siguin copes: P (A/B) · P (B) P(A⌒B)= 11 12 P (B/A) · P(A) = 47 · 48 b) La segona sigui copes: P(B) = P(B⌒A) + P(B⌒𝐴̅) = 11 47 · 12 48 + 12 47 · 36 48 = 1 4  Fórmula de les probabilitats totals i Fórmula de Bayes: A produeix 500 articles amb 2% de defectuosos.
B produeix 500 articles amb 4% de defectuosos.
D = 500 · 0,02 + 500 · 0,04 = 30 articles defectuosos.
30 / 1000 = 0,03 = 3% d’articles defectuosos.
A = està fabricat per A B = està fabricat per B D = és defectuós P (D/A) = 0,02 P (A/D) = ? P (A⌒B) = P (A/B) · P (B) P (A⌒B) = P (B/A) · P (A)  P (A/B) = P (A/D) = P(B/A)·P(A) P (B) P(D/A)·P(A) P (D) = (Fórmula de Bayes 1ª Versió) 0,02 · 0,4 0,032 = 1 4 Suposem que H1, H2, ..., Hk són esdeveniments que formen una partició de Ω i es compleixen: 1) Ω = H1 v H2 v ... v Hk 2) Hi ⌒ Hj = ø H i ≠ j P (D) = P (D⌒H1) + P (D⌒H2) + ... + P (D⌒H2) = = P (D/Hi) · P (Hi) + ... + P (D/HR) · P (HR) (Fórmula de Bayes 2ª Versió) En conclusió: 1) F. Bayes: P(B/A)·P(A) P (A/B) = P (B) 2) F. Probabilitats totals: 3) F. Bayes: P (D/Hi) · P (Hi) + ... + P (D/HR) · P (HR) P (Hi/D) = P(D/Hi )·P(Hi ) P (D/Hi )·P(Hi )+ … + P (D/Hk )·P(H𝑘 ) Exemples: - Llancem dues monedes i omplim una urna amb tantes boles blanques com cares i tantes boles negres com creus. Desconeixem la composició de la urna i elegim una bola a l’atzar i resulta ser negre. Quina és la probabilitat que l’altra també sigui negra? U1 = cap bola blanca U2 = una bola blanca U3 = dues boles blanques N = la bola és negre P (U1/N) = = P(N/U1)·P(U1) 1 = = P (N) P(N/U1)·P(U1) = P (N/U1) · P (U1) · P (N/U2)·P (U2)· P (N/U3)·P (U3) 1 1·4 1 1 1 1· 4 +2 · 2+0 · 4 =½ - Llançament d’una moneda.
 P (C) = ½ C̅ = creu  P (C̅) = ½ C = cara S = la resposta és si P (S) = 0.70 = P (S⌒C) + P (S⌒C̅) = P (S/C) · P(C) + P(S/C̅) · P (C̅) = 1 1 2 2 = · - 1 1 x 2 4 2 + x · = +  x = (0,70 – 0,25) · 2 = 0,9 Una malaltia greu afecta a 1 de cada 100000 individus. Un test de detecció precoç és fiable al 99% (Dona positiu amb probabilitat 0,99 si és aplicat a individus amb la malaltia i dona negatiu amb probabilitat 0,99 si s’aplica a individus sense la malaltia) P = el test dona positiu M = tenir la malaltia ̅ /𝑃̅) = ? P (𝑀 P (P/M) = 0,99 ̅ ) = 0,99 P (𝑃̅/𝑀 P (M) = 1 105 99999 0.99 · 100000 ̅ /M ̅ )·P(M ̅) P(P ̅ /𝑃̅) = P (𝑀 = = ̅) ̅ /M ̅ )·P(M ̅ )+ P(P ̅ /M)·P(M) P (P P(P 99 99999 · 100 100000 = 99 99999 1 1 · + · 100 100000 100 100000 = 0,999999898989 P (M/P) = 0,001 6) Esquema binomial Un experiment de Bernouilli és una prova aleatòria que pot presentar dos resultats (positiu o negatiu, èxit o fracàs, es presenta o no una característica...) als que, de manera arbitrària, assignem els valors 1 , 0.
* p = probabilitat d’èxit * 1-p = probabilitat de fracàs X = resultat de l’experiment S = resultat dels possibles valors = {1, 0} p = f(1) = P (X=1) 1-p = q = f (0) = P (X=0) Un experiment binomial consisteix a: 1) La repetició de n proves idèntiques de Bernouilli. (amb p = P(èxit) ) * n = nombre de repeticions 2) Les proves són independents.
3) El resultat és el total d’èxits.
X = nombre d’èxits en el total de les n proves.
S = {0, 1, 2, 3, ..., n} PR = f(k) = P (X-k) = (𝑛𝑘 ) pk (1-p)n-k Exemple: Probabilitat d’obtenir 2 vegades el 5 en el llançament d’un dau 10 vegades.
5̅ 5̅ 5̅ 5 5̅ 5̅ 5̅ 5 5̅ 5̅ 7) Variables aleatòries: Una variable aleatòria és un resultat numèric d’un experiment aleatori.
X:ΩR S = {X1, X2, X3, ..., Xn} variables discretes S = conjunt de resultats possibles S = interval Exemples: a) X = resultat de llançar un dau S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) X = suma de punts al llançar 2 daus S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} c) X = nombre de tirades d’un dau fins obtenir un 5.
d) X = guany obtingut a l’apostar una unitat.
S = {-1, 35} variables contínues e) X = temps de vida d’una bombeta S = [0, +∞) Sigui X una variable aleatòria discreta: S = {X1, X2, ... Xn} el conjunt de valors possibles.
P (X=x) si x ∊ S f(x) = Funció de probabilitat 0 si x ∉ S Esperança de X (o mitjana): E (X) = µ = ∑𝑖 𝑋𝑖 · 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑋𝑖 𝑃( = 𝜒𝑖 ) = ∑ 𝑋𝑖 𝑃𝑖 Variància de X: Var (x) = ơ2 = ∑(𝑋𝑖 − µ)2 f(xi) = E (X2) – E (X)2 ơ = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = desviació típica Exemples: 1) Si X= guany si apostem a la ruleta: S={-a, 35} 35 1 E(X) = (-1) 36 + 35 · 36 = 0 36 1 1 E (X) = (-1) · 37 + 35 · 37 = − 37 = -0,027 2) En un examen tipus test, cada pregunta val 1 punt i hi ha k=4 preguntes correctes.
La puntuació és S={1, -a}.
1 0 = E(X) = 1 · ¼ - a · ¾  a = 3 PROPIETATS: a) E (x+y) = E(x) + E(y) E (a·X) = aE(x) E (X + b) = E (X) + b b) Var (a·X) = a2Var(X) Var (X + b) = V(X) Var (X) = Var (X1) + ... Var(Xn) = n p (1-p) c) Si X i Y són independents llavors Var (X+Y) = Var(X) + Var(Y) 8) Distribucions discretes clàssiques: a. Distribució de Bernouilli: X ∼ B(p) S = {1, 0}, p = f(1) = p (exit), 1-p = q = f(0) E(X)= 1 · p + 0 (1-p) = p Var(X) = 12 + 02 (1-p) – p2 = p (1-p) b. Distribució binomial: X ∼ Bin (n,p) X es pot pensar com X = X1 + X2 + ... Xn on Xi són proves de Bernouilli idèntiques i independents on p = P(èxit) S = {0, 1, 2, ..., n} , f(k) = P(X=k) = (𝑛𝑘 ) pk (1-p)n-k Exemple1: Dau 1 E(X) = E (X1, ..., Xn) = E(X1) + ... + E(Xn) = np = 30 · 6 = 5 Exemple2: Si X=nombre de cares en 30 llançaments de la moneda.
1 E(X) = E (X1, ..., Xn) = E(X1) + ... + E(Xn) = np = 30 · 2 = 15 Exemples: 1) Un lot de 30.000articles en conté un 5% de defectuosos. Si escollim una mostra de 10articles, quina és la probabilitat que: a. Exactament 2 siguin defectuosos? X = nombre d’articles defectuosos en el grup de 10.
X ∼ Bin(n,p) = X ∼ Bin(10, 0,05) (n=nombre de repeticions, p=probabilitat total d’èxits) P(k=2) = ( 10 ) 0.052 · (0.95)10-2 2 2) Un jardiner ven paquets de bulbs de tulipans de 20 unitats. Se sap que el 5% dels bulbs NO germinen. Calculeu la probabilitat que en un paquet: a. Hi hagi tres o més que germinen? X = Nombre de llavors que germinen del grup de 20 S = {0, 1, 2, 3, ..., 20} X ∼ Bin(n,p) = Bin(20, 0.95) P (X≥3) = P (X=3) + P (X=4) + ... + P(X=19) + P(X=20) = 1 - P(X<3) = 20 0 20 1 = 1 – P (X=0) – P (X=1) – P (X=2) = 1 - (20 0 ) · 0.95 · 0.05 - (1 ) · 0.95 20 · 10 2 18 · 0.0519 - (20 2 ) · 0.95 · 0.05 = 2 ·1 = 190 b. Totes les llavors germinen? 20 0 P (X=20) = (20 20 ) · 0.95 · 0.05 = 0.358 3) Quina és la probabilitat que, si comprem 3 paquets (de 20 bulbs cada un) on exactament 2 paquets germinin tots els bulbs.
Y = # de paquets (dels 3 que hem comprat) en els que totes les llavors germinen.
Y ∼ Bin(n, p) = Bin (3, 0.358) P (Y=2) = (𝑛𝑘 ) pk (1-p)n-k = (32 ) 0.3582 (1-0.358)3-2 = 3 · 0.3582 · (0.642) = 0.2468 c. Distribució de Poisson: (llei dels esdeveniments) És el model de fenòmens que, de manera teòrica, es poden pensar com binomials amb n molt gran i p molt petita.
S={0, 1, 2, ...} 𝑛 𝜆𝑘 F(k)= P(X=k) = lim (𝑝) pn · (1-p)n-k  F(k)= 𝑒 −𝜆 · 𝑘! 𝑛→∞ Exemple 1: Una alga unicel·lular està present en les aigües d’un llac amb una concentració mitjana de 2 individus per cm3. Suposm que X = quantitat d’algues en 1cm3. Segueix una llei de poisson. Quina és la probabilitat que en una mostra de 1cm3 trobem 1 alga com a molt? P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)  ƛ=2 e-2 · 20 0! + e-2 · 21 1! = e-2·(1+2) = 3e-2 = 0,406 Exemple 2: V2= Bombes volants sobre Londres. Dividim la regió de Londres en 576 caselles iguals.
Quantitat de V2 0 1 2 3 4 (o més) Nombre de caselles 229 211 93 35 8 E (X) = ∑ 𝑋𝑖 · 𝑓(𝑋𝑖) = ∑ 𝑘 · 𝑓(𝑘) = 229 211 93 35 8 = 0 · 576 + 1 · 576 + 2 · 576 + 3 · 576 + 4 · 576 = 0.927 Model de Poisson prediu: k=0 n · f(0) = 576 · e-0.927 · k=1 n · f(1) = 576 · e-0.927 · k=2 k=3 k=4  = 97,94  = 30,26  = 7,01 0.9270 0! 0.9271 1! = 227,95 = 211,31 9) Variables aleatòries contínues: Una variable aleatòria es diu contínua si hi ha funció f=f(x) tal que 𝑥 P(X≤x) = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 F(x)=P(X≤x) = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 *F = Funció de distribució de X *f = Funció de densitat de probabilitat PROPIETATS: a) 0 ≤ f(x) , 0 ≤ F(x) ≤ 1 b) P(a<X<b) = P(a≤X<b) = P(a<X≤b) = P(a≤X≤b) = F(b) – F(a) i P(X=a) = 0 Distribució exponencial: Una variable aleatòria X té distribució exponencial si la seva funció de densitat és: 𝜆 · 𝑒 −𝜆𝑥 si x≥0 0 si x<0 1 − 𝑒 −𝜆𝑥 si x≥0 0 si x<0 f(x) = F(x) = 1 1 Poisson 𝜆  Exp  𝜆 µ = E(x)= (mitjana) 𝜆 ơ2=Var(x)= 1 𝜆2 Exemple: La durada d’un cer tipus de bombeta segueix una llei exponencial amb vida mitja = 1000hores. Calculeu la probabilitat que una bombeta: a) Duri entre 100 i 1000 hores 1000 P(100<X≤1000) = ∫100 𝜆 · 𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 = F(1000)-F(100)= 1 1 𝜆 100 µ=1000=  1 = 1 1 (1 − 𝑒 −1000·1000) – (1 − 𝑒 −1000·100 ) = 0,7373 ∞ P(X≥1000) = P(1000≤X≤∞) = ∫1000 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 F(∞)-F(100)= 1 - (1 − 𝑒 −1000·1000 ) = 0.367879 Distribució normal: Una variable contínua té distribució normal si la seva funció de densitat és: f(x) = 1 𝜎·√2𝜋 ·𝑒 − (𝑥−𝜇)2 2𝜎2 Escrivim: X ∼ N(µ, ơ2) Propietats: si X ∼ N (µ, ơ2) 1) E(x) = µ , Var(x) = ơ2 2) La distribució és simètrica respecte de µ 3) P(µ-ơ < X < µ + ơ) ≈ 0.68 P(µ-2ơ < X < µ + 2ơ) ≈ 0.95 P(µ-3ơ < X < µ + 3ơ) ≈ 0.997 4) Si X ∼ N (µ, ơ2) X−E(x) X−μ Z= = ∼ N (0,1) (Triplicació o estandardització) σ √Var(x) *Taula de la Llei Normal Exemples:  Si Z ∼ N (0, 1) - P(Z≤2) = F(2) = 0.9772 - P(Z≤2.73) = 0.9968 - P(Z>2) = 1 – F(2) = 1 – 0.9772 = 0.0228 - P(Z<a) = 0.9958  0.9957=263 i 0.9959=264 a=2.635 - P(Z>a) = 0.3527 P(Z<a) = 1-0.3527 = 0.6473 a≈0.38 - P(-a<Z<a) = 0.95 P(Z<a) = 0.975  a=1.96 - P(-a<Z<a) = 0.90 a=1.64∼1.65 - P(-a<Z<a) = 0.99 a=2. 57∼2.58 En el cas general, si X∼N(µ, ơ2) Z= X−μ σ ∼ N(0,1) Exemple1: Les notes de l’examen d’admissió al MIR, X, segueixen aproximadament una distribució normal amb µ=75 i ơ=10. Quina proporció de notes està entre 80 i 90 punts? X ∼ N (µ, ơ2) = N(75, 102) 80−75 X−μ 90−75 P(80<x<90) = P( 10 < Z= < ) = P(0.5<Z<1.5) = P(Z<1.5) – P(Z<0.5)= σ 10 (tipificació) = F(1.5) – F(0.5) = 0.9332 – 0.6915 = 0.2417 Exemple2: L’any 1965, X=altura d’un noi en edat militar ∼ N (µ, ơ2) = N(167, 62) P(x<150) = ? Z= X−μ σ ∼ N (0, 1) 150−167 P( 6 > X−μ σ =Z) = P(-2.83>Z) = F(-2.83) = 0.0023 P(x<150) = 0.0023 ...

Tags: