Ex01 Resuelto 2011 (2011)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Algebra
Año del apunte 2011
Páginas 7
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 0

Descripción

Examen Resuelto

Vista previa del texto

` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 08.03.2011 EX01 Q¨ uesti´ o 1: Sigui En un R-espai vectorial amb dimR En = n < +∞, i g ∈ En ∗ .
Definim la base d’En , V = {e1 , ..., en } amb g(ei ) = α = 0 ∀i = 1, ..., n.
Per una altra banda considerem l’endomorfisme f ∈ LR (En ; En ) tal que f (ei ) = ei−1 ∀i = 2, ..., n, amb e1 ∈ Ker f .
Demostreu que {g, g · f, g · f 2 , ..., g · f n−1 } ´es base d’En ∗ . Trobeu la base de la qual l’anterior n’´es dual.
Per comen¸car, observem que ∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., n − 1, f j (ei ) = (f · · · (f (ei ))) = ei−j , cosa que nom´es t´e sentit si i − j ≥ 1. Si i − j < 1 llavors f j (ei ) = 0.
Com que a {g, g · f, ..., g · f n−1 } hi ha tants vectors com la dimensi´ o d’En , si demostrem que s´ on linealment independents ja haurem vist que formen base d’En ∗ . Considerant λ1 , ..., λn ∈ R, λ1 g + λ2 (g · f ) + · · · + λn (g · f n−1 ) = ˜ 0 ∈ En ∗ ∀x ∈ En , (λ1 g + λ2 (g · f ) + · · · + λn (g · f n−1 ))(x) = ˜ 0(x) = 0 Algweb En particular ´es cert per a x = e1 : λ1 g(e1 ) + λ2 g(f (e1 )) + · · · + λn g(f n−1 (e1 )) = λ1 g(e1 ) = λ1 α = 0 =⇒ λ1 = 0 λ2 (g · f ) + · · · + λn (g · f n−1 ) = ˜ 0 =⇒ Aplicant a banda i banda de la igualtat a x = e2 , λ2 g(f (e2 )) + · · · + λn g(f n−1 (e2 )) = λ2 g(e1 ) = λ2 α = 0 =⇒ λ2 = 0 λ3 (g · f 2 ) + · · · + λn (g · f n−1 ) = ˜ 0 =⇒ I aix´ı, successivament anem aplicant l’expressi´o a la resta de vectors de la base e3 , ..., en i anem deduint que λ3 = · · · = λn = 0.
Muntant les matrius associades [g]V {1} i [f ]V ,  0 1 0 0   .. ..
[f ]V =  . .
 0 0 0 0 [g]V {1} = [ α · · · α ] 0 1 ..
.
0 0 ··· ··· ..
.
..
.
···  0 0  ..  .   1 0 j L’estructura de la matriu [f ]V es mant´e de forma similar ∀j = 2, ..., n − 1 a les matrius [f j ]V = [f ]V , de manera que els elements no nuls formen una “sobrediagonal” d’1 que es va despla¸cant amunt a mesura que va creixent j.
Per tant, si muntem la matriu [g · f j ]V {1} , ∀j = 1, ..., n − 1, ens queda [g · f j ]V {1} = [g]V {1} · [f j ]V = [ 0 · · · 0 α(j+1) · · · α ] (els primers j elements s´ on 0 i a partir del lloc j+1-`esim apareixen α) Anomenant N D = {g, g · f, g · f 2 , ..., g · f n−1 }, obtenim la matriu [Id]N D V D amb les transpostes de totes les matrius anteriors per columnes:  [Id]N D V D α α   = α  ..
.
α 0 α α ..
.
0 0 α ..
.
··· ··· ··· ..
.
α α ···  0 0  0  ..  . α Calculem la seva inversa:  α α  α   ..
.
α 0 α α ..
.
0 0 α ..
.
··· ··· ··· ..
.
0 0 0 ..
.
α α ··· α 1 0 0 0 1 0 0 0 1 .. .. ..
. . .
0 0 0 ··· ··· ··· ..
.
···  0 0  0  ..  . 1  ∀j = n, ..., 2 [j] − [j − 1] 1 0 0 ··· 0 1 0 · · ·   ∼ 0 0 1 · · ·  .. .. .. . .
. . .
.
0 0 0 ···  α 0   ∼ 0  ..
.
0 0 α 0 ..
.
0 0 α ..
.
··· ··· ··· ..
.
0 0 0 ..
.
0 0 ··· α 1 0 0 −1 1 0 0 −1 1 ..
.. . .
.
.
.
0 0 ··· 0 0 0 ..
.
1/α −1/α 0 ..
.
0 1/α −1/α ..
.
0 0 1/α ..
.
··· ··· ··· ..
.
0 0 0 ..
.
1 0 0 ··· −1/α 1/α        ´es a dir,  −1 Algweb [Id]N D V D 1 0 0 −1 1 0 1  0 −1 1 =  α  ..
.. . .
 .
.
.
0 0 ··· ··· ··· ··· ..
.
−1  0 0  T 0  = [Id]V D N D = [Id]N V ..  . 1 De manera que si N = {u1 , ..., un } es verifica  1    u 1 = α e1     ui = 1 (ei − ei−1 ) α ∀i = 2, ..., n ··· ··· ··· ..
.
−1  0 ·1/α 0  ·1/α 0  ·1/α ∼ ..  ..
. .
1 ·1/α ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 08.03.2011 EX01 Q¨ uesti´ o 2: Sigui (E, < | >) espai euclidi` a. Demostreu que ∀x, y ∈ E, |<x|y>|= x · y ⇐⇒ {x, y} s´ on linealment dependents ⇐=) Distingirem dos casos: cas 1) x = 0: en aquest cas, 0 = | < 0 | y > | = 0 · y cas 2) x = 0: llavors ∃λ ∈ K tal que y = λx. Aleshores, | < x | y > | = | < λy | y > | = |λ| · | < y | y > | = |λ| · y · y = λy · y = x · y Algweb =⇒) Distingirem dos casos: cas 1) x = 0: en aquest cas, {x, y} s´ on linealment dependents.
cas 2) x = 0: anomenant c el coeficient de Fourier de y respecte de x i aplicant el teorema de Pit` agores, y 2 = y − cx + cx 2 = y − cx 2 2 + cx = y − cx 2 + |c|2 x 2 = y − cx 2 + I ara, tenint en compte la igualtat de la hip` otesi, [∗] = y − cx =⇒ y − cx I per tant, {x, y} s´on linealment dependents.
2 2 + =0 y x 2 2 =⇒ x 2 = y − cx y − cx = 0 2 + y =⇒ 2 y = cx | < y | x > |2 x x 4 2 = [∗] ` ALGEBRA I GEOMETRIA E.T.S.E.C.C.P.B.
08.03.2011 Àlgebra i Geometria Grau en Enginyeria Civil EX01 Q¨ uesti´ o 3: Sigui V = {e1 , e2 , e3 , e4 } una base de l’espai vectorial real E, i f un endomorfisme definit en E, que verifica:  f (e1 ) = 3e1 + e2 + 2e3 + 3e4    f (e ) = 2e + e + e + e 2 1 2 3 4  f (e ) = −e + 2e − 3e − 8e4 3 1 2 3    f (e4 ) = e1 + 3e2 − 2e3 − 7e4 Trobeu N i M bases de E, tal que: [f ]N M  1 0 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0  0 0  0 0 Algweb M`etode 1: Via operacions elementals de fila i columna A partir de la matriu [f ]V fem operacions elementals de fila i de columna per aconseguir la forma proposada a l’enunciat:       0 −1 −7 −8 ·(−1) 0 −1 −7 −8 3 2 −1 1 −3[2] 1 1 1 1 0 −5 −5 1 2 3 2 3  ↔ [1] ∼   +[1]   [f ]V =  2 1 −3 −2 −2[2] ∼ 0 −1 −7 −8 −[1] ∼ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −2 −14 −16 −2[1] 3 1 −8 −7 −3[2]       1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 −5 −5  0 1 7 8 0 1 0 0 0 1 7 8  ∼ ∼ ∼ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Apliquem les  1 0  0 0 operacions de fila a la   0 0 0 −3[2] 1 0 1 0 0  ∼ 0 1 0 −2[2] 0 0 0 0 1 −3[2] +5[1] + 5[1] −7[2] − 8[2] matriu I4 :   1 −3 0 −3 0 0  1 −2 0 +[1] 1 0 0  ∼ −1 1 1 −2 1 0 −[1] −2 3 0 −3 0 1 −2[1] Apliquem les operacions de columna  1 0 0 1  0 0 0 0 a la matriu I4 :   1 0 0 0 0 0 ∼ 1 0 0 0 0 1 +5[1] + 5[1] 0 1 0 0 5 0 1 0   1 5 0 0 ∼ 0 0 0 1 0 1 0 0   1 −2 0 0 ·(−1) −1 ↔ [1] 3 0 0  ∼ −1 1 1 0 −2 3 0 1  5 5 −7 −8  1 0 0 1 = N ot  0 0  0 1 B −7[2] − 8[2] D’aquesta manera, A · [f ]V · B = [Id]V M · [f ]V · [Id]N V = [f ]N M Calculem [Id]V−1M = [Id]M V aprofitant les operacions anteriors (i fent      0 1 0 0 0 ·(−1) 0 −1 0 0 1  −[1] 0 1 0 0 ↔ [1] 1 0 0 0    ∼ ∼ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 +[1] 0 0 0 0 1 +2[1] 0 0 0 1 les inverses en sentit contrari):   3 2 0 −1 0 0 +3[2] 1 1 0 1 0 0  ∼ −1 1 0 +2[2] 2 1 1 −2 0 1 +3[2] 3 1 0 de manera que M = {(3, 1, 2, 3)V , (2, 1, 1, 1)V , (0, 0, 1, 0)V , (0, 0, 0, 1)V } N = {(1, 0, 0, 0)V , (0, 1, 0, 0)V , (5, −7, 1, 0)V , (5, −8, 0, 1)V }  0 0  0 1 = N ot A M`etode 2: Via bases de Ker f i Im f Busquem una base del Ker f :  3 2 1 1 [f ]V =  2 1 3 1   0 −1 1 −3[2] 1 2 3  ∼ −3 −2 −2[2] 0 0 −8 −7 −3[2] =⇒   0 −1 −7 −8 1 +[1] 1 2 3  ∼ 0 −1 −7 −8 −[1] 0 −2 −14 −16 −2[1] ∀xV = (x, y, z, t) ∈ Ker f, =⇒   1 0 −1 −7 −8 ·(−1) 0 1 ↔ [1] 0 −5 −5  ∼ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x = 5z + 5t, y = −7z − 8t  −5 −5 7 8  0 0 0 0 ∀z, t ∈ R Ker f =< (5, −7, 1, 0)V , (5, −8, 1, 0)V >R Completem aquesta base amb dos vectors linealment independents qualssevol i ja tenim una base N possible: N = {(1, 0, 0, 0)V , (0, 1, 0, 0)V , (5, −7, 1, 0)V , (5, −8, 0, 1)V } Algweb Busquem les imatges dels dos primers vectors d’aquesta base N :     3 1 0 1    [f ]V [f ]V  0 = 2 3 0     2 0 1 1  =  0 1 1 0 Determinem la base M prenent aquests dos vectors com a primers vectors, i completant amb dos vectors linealment independents qualssevol: M = {(3, 1, 2, 3)V , (2, 1, 1, 1)V , (0, 0, 1, 0)V , (0, 0, 0, 1)V } ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 08.03.2011 EX01 Problema I: Considerem la forma bilineal sim`etrica g definida sobre l’espai vectorial real R4 que t´e per matriu associada en la base can`onica C:  0  2 [g]C =  −1 1 2 4 0 0  −1 1 0 0  −1 0 0 1 Sobre un subespai vectorial F de R4 amb dimR F = 2 definim gF com la restricci´ o de g sobre F : gF : F × F (x, y) −→ −→ R = g(x, y) gF (x, y) def Es demana: Algweb a) Trobeu una base N en la que g pren la forma normal.
b) Determineu F (que anomenarem F1 ) de manera que gF sigui producte escalar.
c) Determineu F (que anomenarem F2 ) de manera que gF sigui definida negativa no degenerada.
d) Comproveu que F1 ⊕ F2 = R4 .
a) Per Reducci´ o Gaussiana,  0 2  2 4  −1 0 1 0     1 1 0 0 1 −1 1 ↔ [4]  0  2 4 0 0 0 0    ∼ −1 0 −1 0 ∼ 0 −1 0 0 2 −1 1 0 1 1 ↔ [4]    1 0 0 0 1 0 4 0 0 0 ·1/2     ∼ ∼ 0 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 4 0 2   0 1 1 0 0 2  ∼ 0 −1 −1 −1 0 −[1] − 1/2[2] − [3] 0   0 0 0 1  2 0 0  ∼ 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 ·1/2 0 1 0 0 0 4 0 0  0 1 0 2 ∼ −1 −1 0 −1 −[1] − 1/2[2] − [3]  0 0 0 0  −1 0 0 −1 I ara, aplicant les operacions de fila a la matriu I4 ,  1 0  0 0 0 1 0 0 0 0 1 0   0 0 ↔ [4] 0 0  ∼ 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0   0 1 0 0  ∼ 0 0 1 0 −[1] − 1/2[2] − [3] 0 1 0 −1/2    0 0 0 1 0 1  0 0 0 0  = [Id]T  ·1/2 ∼ 0 1/2 NC 0 0 1 0 1 0 1 −1/2 −1 −1 −1 −1 I aix´ı, una base N en la que g pren la forma normal ´es N = {(0, 0, 0, 1), (0, 1/2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, −1/2, −1, −1)} b) Si volem que la restricci´ o gF sigui producte escalar (definida positiva i no degenerada), caldr` a que prengui la forma normal exclusivament amb 1 a la diagonal. Si ens fixem amb la matriu obtinguda a l’apartat anterior, aix`o passar`a si definim F com, per exemple, F1 =< (0, 0, 0, 1), (0, 1/2, 0, 0) >R . Anomenant W a aquesta base, tenim que [gF ]W = 1 0 0 1 c) Si volem que la restricci´ o gF sigui definida begativa i no degenerada, caldr` a que prengui la forma normal exclusivament amb -1 a la diagonal. Si ens fixem amb la matriu obtinguda a l’apartat a), aix` o passar` a si definim F com, per exemple, F2 =< (0, 0, 1, 0), (1, −1/2, −1, −1) >R . Anomenant B a aquesta base, tenim que [gF ]B = −1 0 0 −1 Algweb d) Fixem-nos que la base N est` a formada exactament pels vectors que despr´es han determinat bases de F1 i F2 . Aix`o vol dir que el subespai vectorial F1 + F2 t´e N com a base, i per tant F1 + F2 = R4 . Com que els 4 vectors s´on linealment independents tenim garantida la suma directa de F1 i F2 . Amb les dues condicions queda vist que F1 i F2 s´on suplementaris.
...

Tags: