Derivación de la ecuación de movimiento del M.A.S. (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad de Córdoba
Grado Física - 2º curso
Asignatura Mecánica
Año del apunte 2013
Páginas 3
Fecha de subida 28/03/2015
Descargas 1
Subido por

Descripción

En este texto se deduce paso a paso la ecuación del Movimiento Vibratorio Armónico Simple a través de dos métodos distintos.

Vista previa del texto

Método A: Resolución de la ecuación diferencial La segunda ley de Newton postula que la fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración que este adquiere. Matemáticamente: F = ma Y como la aceleración es la segunda derivada de la posición respecto del tiempo, queda: F=m d2 x dt2 De este modo, esta expresión permite obtener la ecuación de movimiento si conocemos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo estudiado.
En la versión más simplificada del movimiento vibratorio armónico simple, la única fuerza que causa la oscilación del sistema es de la forma: F = − kx Se denomina fuerza recuperadora ya que, al oponerse al sentido de la elongación, hará que el cuerpo regrese a la posición de equilibrio. Se trata, asimismo, de una fuerza central.
Sustituyendo en la ecuación de la segunda ley de Newton resulta: −kx = m d2 x d2 x k ⟶ = − x dt2 dt2 m Con el fin de simplificar la ecuación diferencial obtenida, introduciremos una constante ω cuyo valor es: ω=� k m Por lo tanto: d2 x = −ωx dt2 Un método que nos brinda la solución a esta ecuación es presuponer que esta es del tipo: x = 𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽 Calculamos su segunda derivada.
d2 x = 𝛽𝛽 2 𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽 dt2 MARTÍN DE LA ROSA DÍAZ DICIEMBRE 2013 Y sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene que: 𝛽𝛽 2 𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽 = −ω𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽 Despejamos 𝛽𝛽: Siendo 𝑖𝑖 = √ 𝛽𝛽 2 = −ω ⟶ 𝛽𝛽 = ± −ω = ±𝑖𝑖ω √ −1 Así pues, x es ya conocida: x1 = 𝑒𝑒𝑖𝑖ω𝑡𝑡 x2 = 𝑒𝑒−𝑖𝑖ω𝑡𝑡 La solución general a la ecuación diferencial vendrá dada por la suma de x1 y x2 , multiplicadas por sendas constantes arbitrarias: x = C1 𝑒𝑒𝑖𝑖ω𝑡𝑡 + C2 𝑒𝑒−𝑖𝑖ω𝑡𝑡 Ahora bien, si recurrimos a la llamada fórmula de Euler: 𝑒𝑒𝑖𝑖𝜃𝜃 = cos 𝜃𝜃 + 𝑖𝑖 sin 𝜃𝜃 Podemos reescribir la solución del siguiente modo: C1 𝑒𝑒𝑖𝑖ω𝑡𝑡 + C2 𝑒𝑒−𝑖𝑖ω𝑡𝑡 = C1 (cos ω𝑡𝑡 + 𝑖𝑖 sin ω𝑡𝑡) + C2 (cos ω𝑡𝑡 − 𝑖𝑖 sin ω𝑡𝑡) Y finalmente, haciendo C1 + C2 = M y 𝑖𝑖(C1 − C2 ) = N, obtenemos la siguiente expresión: x = M cos ω𝑡𝑡 + N sin ω𝑡𝑡 No obstante, la versión más empleada de la ecuación de movimiento del M.A.S. es x = A cos(ω𝑡𝑡 + 𝜑𝜑0 ). Para llegar a ella habremos de realizar una segunda transformación.
M = A cos 𝜑𝜑0 N = −A sin 𝜑𝜑0 De este modo: x = M cos ω𝑡𝑡 + N sin ω𝑡𝑡 = A cos 𝜑𝜑0 cos ω𝑡𝑡 − A sin 𝜑𝜑0 sin ω𝑡𝑡 A la hora de trabajar con el producto de cosenos o senos, aplicaremos las relaciones que siguen: 1 cos 𝛼𝛼 cos 𝛽𝛽 = [cos(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽) + cos(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽)] 2 1 sin 𝛼𝛼 sin 𝛽𝛽 = [cos(𝛼𝛼 − 𝛽𝛽) − cos(𝛼𝛼 + 𝛽𝛽)] 2 MARTÍN DE LA ROSA DÍAZ DICIEMBRE 2013 Por consiguiente: x= 𝐴𝐴 𝐴𝐴 [cos(𝜑𝜑0 + ω𝑡𝑡) + cos(𝜑𝜑0 − ω𝑡𝑡)] − [cos(𝜑𝜑0 − ω𝑡𝑡) − cos(𝜑𝜑0 + ω𝑡𝑡)] 2 2 Desarrollando los productos, resulta: x = A cos(ω𝑡𝑡 + 𝜑𝜑0 ) Método B: Relación M.C.U. y M.A.S.
Una de las formas de definir el movimiento armónico simple es a través de su conexión con el movimiento circular uniforme. Si imaginamos una partícula que describe un M.C.U. sobre una circunferencia de radio A, el movimiento de la proyección de dicha partícula sobre el diámetro de la misma circunferencia es armónico simple.
Es posible relacionar la elongación (la distancia entre el punto proyectado y el centro de la circunferencia) con el radio del siguiente modo: x = A cos 𝜑𝜑 Donde 𝜑𝜑 es el ángulo formado entre el diámetro y un vector dirigido desde el centro hasta la partícula que describe el M.C.U. (vector de posición).
Y, partiendo de la fórmula que define al movimiento circular uniforme: ω= 𝜑𝜑 − 𝜑𝜑0 𝑡𝑡 Despejando 𝜑𝜑 y sustituyendo en la ecuación de movimiento se concluye que: x = A cos(ω𝑡𝑡 + 𝜑𝜑0 ) MARTÍN DE LA ROSA DÍAZ DICIEMBRE 2013 ...

Tags: