Integració (2009)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ciencias Ambientales - 1º curso
Asignatura Mates
Año del apunte 2009
Páginas 7
Fecha de subida 25/05/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

1 Integraci´ o Sigui f una funci´o definida en un interval [a, b] amb valors reals. Es tracta de donar un sentit i de calcular l’`area de la regi´o plana limitada pel gr`afic de la funci´o y = f (x), l’eix de les abscisses i les rectes x = a, x = b. La idea b`asica consisteix a aproximar la regi´o mitjan¸cant la uni´o d’un nombre finit de rectangles per als quals es t´e una noci´o natural d’`area.
En un primer pas, si suposem que f ´es una funci´o cont´ınua i positiva, per a tot x ∈ [a, b], aquesta t´e m`axim absolut, M , i un m´ınim absolut, m, sobre l’interval [a, b]. L’`area A de la figura limitada pel gr`afic de la funci´o i l’eix d’abscisses entre els punts a i b es troba compresa entre el valor de l’`area del rectangle de base b − a i al¸cada m i el valor de l’`area del rectangle ´ a dir, de base b − a i al¸cada M . Es m(b − a) ≤ A ≤ M (b − a).
Per reduir l’error comes amb l’aproximaci´o per exc´es o per defecte, es podria subdividir l’interval [a, b] en intervals m´es petits i considerar les `arees dels rectangles que tenen per base cadascun d’aquests intervals i al¸cades el m´ınim (o el maxim) de la funci´o en cadascun d’ells, ´es a dir: Considerar un nombre finit de punts a = x0 < x1 < . . . < xn = b i associar a cada interval [xi−1 , xi ] un rectangle que el t´e per base i que t´e per al¸cada el valor m´ınim de la funci´o en [xi−1 , xi ], que anomenarem mi . La suma de les `arees d’aquests rectangles complira n mi (xi − xi−1 ) ≤ A.
i=1 An`alogament si escollim com al¸cada el valor m`axim de la funci´o en [xi−1 , xi ], que anomenarem Mi , llavors n A≤ Mi (xi − xi−1 ) i=1 En resum tenim que n n mi (xi − xi−1 ) ≤ A ≤ i=1 Mi (xi − xi−1 ).
i=1 El segon punt essencial ´es fer un proc´es de pas al l´ımit en prendre m´es i m´es punts xi ; i definir l’`area de la regi´o com aquest l´ımit.
Definici´ o 1.1. Una partici´o P d’un interval tancat [a, b] ´es una col.lecci´ o d’intervals [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xn−1 , xn ] tals que a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
Per una partici´ o P s’anomena norma o di` ametre de la partici´ o a la longitud maxima dels intervals que la formen, es representa per δ(P ), ´es a dir, δ(P ) = max{x1 − x0 , x2 − x1 , . . . , xn − xn−1 }.
Sigui f : [a, b] → R una funci´o continua i positiva. Fixada una partici´ o P , per a cada interval [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . n) denotarem per Mi a un m` axim absolut de f i per mi a un m´ınim absolut f , tenim aix´ı que mi ≤ f (x) ≤ Mi , per a tot x ∈ [xi−1 , xi ] 1 Es diu suma inferior de la funci´o f respecte de la partici´ o P a la suma de les ` arees dels rectangles que es formen amb els intervals de la partici´ o i d’al¸cada el m´ınim de la funci´ o en aquests intervals: n mi (xi − xi−1 ).
SS (f, P ) = i=1 Es diu suma superior de la funci´o f per la partici´ o P a la suma de les ` arees dels rectangles que es formen amb els intervals de la partici´o i d’al¸cada el maxim de la funci´ o en aquests intervals: n mi (xi − xi−1 ).
SI (f, P ) = i=1 Per tant, per construcci´o, per a tota partici´ o P es t´e SI (f, P ) ≤ A ≤ SS (f, P ).
Quan a partir d’una partici´o P es construeix una altra partici´ o P efectuant particions dels intervals de P s’observa que SI (f, P ) ≤ SI (f, P ) ≤ A ≤ SS (f, P ) ≤ SS (f, P ).
Utilitzant la continu¨ıtat de la funci´o es pot demostrar que les sumes superiors i inferiors tendeixen al mateix l´ımit quan el di`ametre de la partici´ o tendeix a zero. Aquest l´ımit correspon a la idea intuitiva de l’`area A i s’anomena integral de la funci´ o.
En general si f ´es una funci´o cont´ınua en l’interval [a, b], s’anomena integral definida de f sobre [a, b] al valor b f (x)ds = lim SI (f, P ) = lim SS (f, P ).
a δ(P )→0 δ(P )→0 Sumes inferiors i superiors 2 En la figura, es representen en diferent color la difer`encia entre la suma superior i l’`area A i la difer`encia entre A i la suma inferior. Sembla clar que si prenem una partici´o prou *gran* de punts (es a dir amb di`ametre prou petit) podem aconseguir que aquestes zones siguin molt petites, de manera que tant la suma superior com l’inferior siguin arbitr`ariament pr`oximes a l’`area A.
Sumes inferiors, `area i superiors.
Teorema 1.1. (Propietats de la integral) Sigui f una funci´ o continua sobre l’interval [a, b] 1. Per conveni a a f (x)dx = 0 i 2. Si a < c < b b a a b f (x)dx = − b f (x)dx.
c f (x)dx = a b f (x)dx + a 3. Si m ´es una constant f (x)dx.
c b b mf (x)dx = m f (x)dx.
a a 4. Si g : [a, b] → R ´es un altra funci´o continua b b (f ± g)(x)dx = b f (x)dx ± a a g(x)dx a 5. Si f ´es positiva b 0≤ f (x)dx.
a 6. Si g : [a, b] → R ´es un altra funci´o continua, tal que f (x) ≤ g(x) llavors b b f (x)dx ≤ a 7.
g(x)dx.
a b b f (x)dx ≤ a |f (x)|dx.
a 3 1.1 El teorema fonamental del C` alcul En principi, no sembla que hi hagi motiu per pensar que el c`alcul de derivades i el c`alcul d’integrals definides estiguin relacionats. Per`o es pot demostrar que de fet la derivaci´o i la integraci´o s´on *aproximadament* operacions inverses.
Teorema 1.2. (Teorema fonamental del C` alcul) Sigui f una funci´ o continua sobre [a, b], llavors la funci´ o x f (t) dt F (x) = a ´es cont´ınua en tot punt de l’interval [a, b]. A m´es F (x) ´es derivable en tot punt de l’interval (a, b) i, F (x) = f (x).
Una conseq¨ u`encia immediata d’aquest u ´ltim teorema ´es la regla de Barrow, que relaciona el c`alcul de primitives amb el c`alcul d’integrals definides: Teorema 1.3. (Regla de Barrow) Si f ´es una funci´ o cont´ınua en un interval [a, b] i G ´es una primitiva de f (aix`o ´es, G (x) = f (x) per a tot x) llavors b f (x) dx = G(b) − G(a) a Observaci´ o 1.1. (C` alcul d’` arees planes) Si R ´es la regi´ o del pla que queda limitada per les rectes verticals x = a, x = b (a < b), i pels gr`afics de les funcions f i g que s´on continues en [a, b]. Llavors l’` area de R ve donada per b |f (x) − g(x)| dx.
R= a 4 A la practica la integral de |f (x)−g(x)| s’efectua fent una partici´ o de l’interval (a, b) en intervals de manera que en cadascun d’ells es tingui f (x) ≤ g(x) per a tot x o b´e g(x) ≤ f (x).
1.2 C` alcul de primitives Amb la regla de Barrow queda de manifest que el c`alcul d’integrals definides es pot efectuar calculant primitives, veurem a continuaci´o alguns m`etodes per calcular primitives.
Observaci´ o 1.2.
1. Com que la derivada d’una constant ´es 0, si F ´es una primitiva de f , tamb´e ho sera la funci´o G(x) = F (x) + C per a qualsevol constant C 2. Si F, G s´ on dues primitives d’una funci´ o f en un interval I. Llavors existeix una constant C tal que G(x) = F (x) + C per a tot x ∈ I.
3. Pel Teorema Fonamental del C`alcul, la integral d’una funci´ o sobre un interval es pot calcular amb una primitiva de f , aix` o fa que, a vegades, en lloc de dir primitiva d’una funci´ o f es digui integral de f i que es representi per f (x) dx.
Taula de primitives immediates En cada cas f ´es una funci´o derivable en un cert interval amb imatge continguda en el domini de la funci´o amb la qual es composa.
f (x)a+1 + C (a = −1).
a+1 • f (x)a f (x)dx = • f (x) dx = log |f (x)| + C f (x) • ef (x) f (x) dx = ef (x) + C • cos(f (x))f (x) dx = sin(f (x)) + C • sin(f (x))f (x) dx = − cos(f (x)) + C • f (x) dx = tan(f (x)) + C cos2 f (x) • f (x) dx = − cot(f (x)) + C sin2 f (x) • • f (x) 1 − f 2 (x) dx = arcsin(f (x)) + C = − arccos(f (x)) + C f (x) dx = arctan(f (x)) + C 1 + f 2 (x) 5 M` etode d’integraci´ o per parts Aquest m`etode es basa en la propietat de la derivaci´o d’un producte de funcions: si es volen trobar les primitives d’una funci´o de fa forma f (x)g(x) com que (f.g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ⇒ f (x)g(x) = (f.g) (x) − f (x)g (x) per tant f (x)g(x) dx = f (x)g(x) − f (x)g (x) dx.
M` etode del canvi de variable Aquest m`etode es basa en la propietat de la derivaci´o d’una composici´o de funcions (la regla de la cadena): (f ◦ g)(x)g (x) dx.
f (x) dx = A m´es, si Φ ´es funci´o definida en [c, d] amb valors en [a, b], derivable amb derivada continua i tal que Φ(c) = a, Φ(d) = b i f una funci´o continua en [a, b], aleshores es compleix b d (f ◦ Φ)(x)Φ (x) dx.
f (x) dx = a c Integraci´ o de funcions racionals En primer lloc enunciarem un lema algebraic que permet descompondre tota funci´o racional en una suma de funcions racionals m´es senzilles, les integrals indefinides de les quals s´on f`acils de calcular Lema 1.1. Si Q(x) ´es un polinomi de grau n, Q(x) admet una descomposici´ o del tipus Q(x) = (x − a1 )m1 . . . (x − ar )mr (x2 + p1 x + q1 )n1 . . . (x2 + ps x + qs )ns On n = m1 + . . . + mk + 2n1 + . . . + 2ns .
Nosaltres en aquest curs nomes considerarem en cas en que Q(x) es descomposa com Q(x) = (x − a1 )m1 . . . (x − ar )mr (x2 + p1 x + q1 ) . . . (x2 + ps x+qs ) On n = m1 + . . . + mk + 2s.
Lema 1.2. Siguin P (x) i Q(x) polinomis tals que grau P (x) < grau Q(x). Suposem que Q(x) es descomposa com Q(x) = (x − a1 )m1 . . . (x − ar )mr (x2 + p1 x + q1 ) . . . (x2 + ps x + qs ) On n = m1 + . . . + mk + 2s.
Llavors la funci´ o racional P (x)/Q(x) pot escriure’s d’una forma u ´nica com 1 A11 A21 Am P (x) 1 = + + · · · + Q(x) (x − a1 ) (x − a1 )2 (x − a1 )m1 +··· + r A1r A2r Am r + + · · · + + (x − ar ) (x − ar )2 (x − ar )mr M11 x + N11 M21 x + N21 Ms1 x + Ns1 + + · · · + .
(x2 + p1 x + q1 ) (x2 + ps x + qs ) (x2 + ps x + qs ) 6 Una forma d’obtenir aquesta descomposici´o, un cop conegudes les arrels del denominador Q(x), ´es la dels coeficients indeterminats. Consisteix a escriure la descomposici´o anterior, amb els coeficients encara per determinar, reduir al mateix denominador i tot seguit igualar els coeficients dels dos numeradors. La integraci´o de cada tipus de funci´o irracional simple ´es: • A dx = A log |x − a|.
x−a • A 1 A dx = , k = 2, 3, . . . .
(x − a)k k − 1 (x − a)k−1 • Mx + N M 1 x + p/2 dx = log((x + p/2)2 + c2 ) + (N − M p/2) arctan + px + q 2 c c x2 on c = q − p2 /4.
7 ...