Examen Parcial Primavera 2012 (2012)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Circuitos Lineal
Año del apunte 2012
Páginas 9
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Examen Parcial de Circuits Lineals Departament de Teoria del Senyal i Comunicacions Professor: Jorge García Maig 2012 1. En aquest primer problema abordarem el circuit de la figura 1. És un circuit que pot analitzar-se per parts, estudiant dos circuits per separat.
Figura 1.
1.a. [6 punts] Calculeu la impedància d’entrada Z (s) del circuit de la figura 2. Per trobar-la podeu utilitzar una font de tensió de prova.
Figura 2.
Per trobar la impedància d’entrada Z (s) dibuixem el circuit en el domini transformat, sense condicions inicials, i afegim la font de tensió Vg (s).
Figura 1.1.
La impedància Z (s) serà el quocient Vg (s) /I (s). Per poder trobar el corrent I (s) necessitem calcular la tensió VA (s) i un cop coneguda serà I (s) = (Vg (s) − VA (s)) G on G = 1/R.
Analitzant per nodes trobem a l’únic node on plantejem equació, el node A: VA (s) (Cs + 2G) − Vo (s) Cs = Vg (s) G i per curt circuit virtual, a més: Vo (s) = Vg (s) Per tant, podem trobar fàcilment VA (s) en funció de Vg (s) com: VA (s) = Vg (s) (Cs + G) Cs + 2G i d’acord amb l’equació (1) tenim: I (s) = Vg (s) 1 − Cs + G G2 G = Vg (s) Cs + 2G Cs + 2G Finalment, Z (s) = Vg (s) Cs + 2G = I (s) G2 que també podem expressar multiplicant per R2 a dalt i a baix com: Z (s) = R2 Cs + 2R 1.b. Considereu ara el circuit de la figura 3, amb una impedància Z (s) Z (s) = R2 Cs + 2R + 1 Cs (1) Figura 2.
1.b.i. [6 punts] Calculeu la funció de xarxa H (s) = V0 (s) /Vi (s) i demostreu que és: H (s) = s2 + [(2R − R1 ) / (R2 C)] s + 1/ (RC)2 s2 + [(2R + R1 ) / (R2 C)] s + 1/ (RC)2 Aquest exercici el podem abordar de dues maneres diferents, amb un anàlisi per nodes o també com un configuració tipus restador amb dues fonts d’entrada iguals.
1.b.i.A. Anàlisi per nodes. El que necessitem es poder expressar Vo (s) en funció de Vg (s). Dibuixem el circuit en el domini transformat sense condicions inicials i realitzem un anàlisi per nodes: Figura 2.1.
Node A: VA (s) 2G1 − Vo (s) G1 = Vg (s) G1 Node B: VB (s) [G + Y (s)] = Vg (s) G1 VA (s) = VB (s) per curt circuit virtual on la admitància Y (s) és: Y (s) = 1 Z (s) El sistema a resoldre és de dues equacions amb dues incògnites VA (s) i Vo (s) que podem resoldre de moltes maneres. Si ho fem per Cramer: −G1 2G1 [G + Y (s)] 0 VA (s) Vo (s) = G1 Vg (s) G1 Vg (s) i per tant Vo (s) = Vg (s) [G − Y (s)] 2G1 [G1 Vg ] − [G + Y (s)] G1 Vg (s) = G1 [G + Y (s)] [G + Y (s)] La funció de xarxa serà: H (s) = G − Y (s) G + Y (s) que podem expressar en funció de Z (s) = 1/Y (s) com: H (s) = Z (s) − R1 Z (s) + R1 (2) i amb Z (s) = R2 Cs + 2R + 1/ (Cs) tenim: H (s) = R2 Cs + 2R + 1/ (Cs) − R1 R2 Cs + (2R − R1 ) Cs + 1 = R2 Cs + 2R + 1/ (Cs) + R1 R2 Cs + (2R + R1 ) Cs + 1 que finalment podem expressar com: H (s) = s2 +[(2R−R1 )/(R2 C )]s+1/(RC)2 s2 +[(2R+R1 )/(R2 C)]s+1/(RC)2 com volem demostrar.
1.b.i.B. Amplificador operacional restador.
Al nostre circuit podem reconèixer una estructura tipus restador com la de la figura 2.2.
Figura 2.2.
El circuit restador presenta una tensió a la sortida donada per l’expressió: v0 (t) = Rg Rg + R2 1+ Rf R1 v2 (t) − Rf v1 (t) R1 i al domini transformat V0 (s) = Rg Rg + R2 1+ Rf R1 V2 (s) − Rf V1 (s) R1 (3) on ara les resistències poden ser substituïdes per impedàncies al domini transformat. Per tant, podem considerar el nostre circuit com l’anterior restador però amb: Vi (s) = V1 (s) = V2 (s) R1 = R2 Rg = Z (s) i per tant la relació entre la tensió a la sortida i l’entrada al domini transformat és substituint a l’equació (3): V0 (s) = és a dir: V0 (s) = Z (s) Z (s) + R1 1+ R1 R1 Vi (s) − R1 Vi (s) R1 2Z (s) Z (s) − R1 Vi (s) − Vi (s) = Vi (s) Z (s) + R1 Z (s) + R1 i per tant H (s) = Z (s) − R1 Z (s) + R1 que és una expressió idèntica a la de l’equació (2), que podem desenvolupar de la mateixa manera per acabar l’exercici.
2. Considereu un circuit de segon ordre amb la següent funció de xarxa: 4 · 106 Vo (s) H (s) = = 2 Vi (s) 2s + 2 · 103 s + 2 · 106 2.a. [2 punts] Sabent que un polinomi de segon grau es pot expressar en forma normalitzada com s2 + 2ζω 0 s + ω 20 calculeu els paràmetres ω 0 i ζ corresponents al polinomi denominador de H (s).
El polinomi del denominador el podem expressar com: 2 s2 + 103 s + 106 Igualant els coeficients amb els de s2 + 2ζω 0 + ω 20 obtenim: ω 20 = 106 =⇒ ω 0 = 103 2ζω 0 = 103 =⇒ 2ζ103 = 103 =⇒ ζ = 0,5 2.b. [4 punts] Dibuixeu amb detall el diagrama de pols i zeros de H (s).
A la vista de la H (s) és evident que no hi ha zeros. Per trobar els pols hem de resoldre l’equació: s2 + 103 s + 106 = 0 Si la resolem els pols apareixen són complexes conjugats, com esperaven amb ζ = 0,5 √ p1,2 = −500 ± j · 500 3 = −500 ± j · 866,03 = 1000 ± 1200 i els representem.
Figura 3. Representació de pols i zeros.
2.c. [6 punts] Doneu la forma de la resposta natural d’aquest circuit, i calculeu la durada aproximada del règim transitori.
La forma de la resposta natural ve determinada pel tipus de pols introduïts pel circuit, que són els de la funció de xarxa. En el nostre cas com que només n’hi ha dos i son un parell conjugat amb part real negativa, la resposta natural serà una funció de tipus sinusoïdal esmorteïda, de la forma √ A · exp (−500t) · cos 500 3 · t + φ on es veu que l’exponent de l’exponencial és la part real dels pols i la freqüència del cosinus correspon a la part imaginaria d’aquests mateixos pols. Les constants A i φ depenen dels residus i varien en cada cas segons l’excitació concreta del circuit.
La durada del transitori és aproximadament 5 vegades la constant de temps τ d’aquests pols, on τ és la inversa de la part real, en valor absolut, dels dos pols esmentats. Per tant Durada= 5 · τ = 5 |Re(p1,2 )| = 5 500 = 10 ms 2.d. [8 punts] Determineu la expressió completa de la resposta del circuit a una excitació contínua vi (t ≥ 0) = a.
Per determinar la resposta completa cal ajudar-nos de la transformada de Laplace: trobarem al resposta transformada i calcularem la seva transformada inversa.
La resposta transformada, al no haver condicions inicials, és el producte de la funció de xarxa del circuit per la transformada de Laplace del l’excitació: Vo (s) = H (s) Vi (s) Substituint les funcions H (s) i Vi (s) pels seus valors i descomponent en fraccions simples, queda: Vo (s) = 2 · 106 a k1 k2 k2∗ √ √ + = + (s2 + 103 s + 106 ) s s s + 500 − j · 500 3 s + 500 + j · 500 3 Calculant els valors dels residus obtenim: k1 = k2 = 2 · 106 a s2 + 103 s + 106 = 2a s=0 2 · 106 a √ · s + 500 + j · 500 3 s √ s=−500+j·500 3 √ 3 = a −1 + j 3 2 = √ a 1500 3 Així, finalment, la resposta completa és: vo (t ≥ 0) = 2a + √4 a exp (−500t) cos 3 √ 500 3 · t + 56 π 2.e. [8 punts] Considereu que aquest circuit té una impedància de sortida zero. L’exciteu amb un senyal sinusoïdal vi (t) d’amplitud 1 V i de freqüència variable, i connectem a la sortida del circuit una càrrega ZL formada per un resistor de 100 Ω en paral·lel amb un capacitor de 1 nF. Ompliu els espais en blanc de la taula següent.
Al tenir el circuit caracteritzat per la H (s) una impedància de sortida zero, la càrrega ZL que li posem a la sortida no modifica la relació entre Vo (s) i Vi (s). Per resoldre aquest apartat caldrà fer els següents passos: 2.e.i. Determinar l’amplificació a cadascuna de les dues freqüències que ens demanen. Per això caldrà calcular el valor de la variable |H (jω)| a cada freqüència tenint en compte que: 2 · 106 H (jω) = H (s)|s=jω = (106 − ω 2 ) + j103 ω S’ha de tenir present que ω = 2πf i per tant |H (jω)| = |H (j2πf )| = 2 · 106 106 − (2πf )2 2 + 106 (2πf )2 2.e.ii. Una vegada es té l’amplificació, la tensió de sortida es troba amb: Vo = |H (jω)| · Vi i com ens diu l’enunciat Vi = 1 V.
2.e.iii. Sabent la tensió a la sortida, la potència dissipada a la càrrega ZL és únicament la potència dissipada al resistor, atès que el capacitor no dissipa potència. Com que els dos elements estan en paral·lel, la potència dissipada val: 2 Vo PL = 2RL Amb tot això ja podem omplir els blancs de la taula.
Freqüència ( Hz) 0 Hz 241,5 Hz Amplificació |H (jω)| = Vo /Vi 2 1 Tensió sortida Vo 2V 1V Potència dissipada a la càrrega ZL 20 mW 5 mW ...