SFE_2.2 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

2.2 Velocitat d’escapament. Calculeu quina fracci´o de mol`ecules d’un gas (en condicions normals, sobre la superf´ıcie d’un planeta) tenen velocitat superior a la velocitat d’escapament. Compareu el resultat per a H2 i O2 a la terra i a la lluna.
Soluci´ o: La velocitat d’escapament es defineix com la velocitat m´ınima que ha de tenir un cos per escapar de l’atracci´ o gravitat`oria d’un planeta. De la conservaci´o de l’energia: 1 GM m mv 2 ≠ = 0 + 0 =∆ v = 2 R Û 2GM , R (0.194) essent M la massa del planeta i R el radi del mateix. En aquest problema volem trobar quina ´es la fracci´ o de mol`ecules amb v > vesc = Û 2GM .
R (0.195) Considerem la distribuci´ o de Maxwell-Boltzmann en esf`eriques (a = m/(2kB T )), g(v) = 3 43/2 a fi 2 (0.196) e≠av .
La fracci´ o de mol`ecules amb v > vesc ser`a N 3 43/2 ⁄⁄⁄ Œ a 2 e≠av v 2 sin ◊dvd◊dÏ fi vesc f (v > vesc ) = = 3 43/2 ⁄⁄⁄ Œ a ≠av 2 2 N e v sin ◊dvd◊dÏ fi 0 Per calcular la integral resultant feim el canvi x = Û 16a3 fi ´es a dir, ⁄ Œ vesc 2 ≠av 2 v e dv = Û 16a3 fi ⁄ Œ Ô avesc Ô ⁄ Œ Ô avesc 16a3 fi av, dx = x2 ≠x2 dx Ô = e a a 4 f (v > vesc ) = Ô fi Û Ú 16 fi Ô ⁄ Œ (0.197) adv, llavors es t´e ⁄ Œ Ô vesc 2 v 2 e≠av dv.
avesc 2 x2 e≠x dx, (0.198) 2 x2 e≠x dx.
(0.199) 2 Aquesta darrera integral la podem calcular per parts: u = x æ du = dx, dv = xe≠x dx 2 æ v = ≠e≠x /2. Per tant 4 f (v > vesc ) = Ô fi A - B 2 2 ⁄ Œ e≠x --Œ e≠x ≠x + dx .
Ô 2 -Ôavesc avesc 2 (0.200) Agrupant una mica els termes, finalment s’arriba a la seg¨ uent expressi´o: 2 Ô 2 1Ô 2 f (v > vesc ) = Ô avesc e≠avesc + erfc( avesc ) fi (0.201) Ô On erfc( avesc ) ´es la funci´ o error complement`aria. Un l´ımit que podem fer (una mica absurd potser), ´es quan vesc æ Œ =∆ f (v > Œ) æ 0, no hi ha cap mol`ecula amb velocitat major que Œ.
39 Ara podem fer n´ umeros. En condicions normals: T = 273.15 K. Tamb´e es necessita: ≠23 kB = 1.38 · 10 J/K, G = 6.69 · 10≠11 m3 /(kg·s2 ), MT = 5.97 · 1024 kg, RT = 6.38 · 106 m, ML = 7.35 · 1022 kg, RL = 1.74 · 106 m. I les masses de les mol`ecules: mH2 = 3.34 · 10≠27 kg, mO2 = 5.32 · 10≠26 kg. Llavors tenim T vesc = 11189 m/s, aH2 = 4.43 · 10≠7 kg/J, L vesc = 2377 m/s, aO2 = 7.06 · 10≠6 kg/J.
(0.202) Finalment, T f (v > vesc )H2 = 6.96 · 10≠24 , L f (v > vesc )H2 = 0.17, T f (v > vesc )O2 = 4.65 · 10≠383 L f (v > vesc )O2 = 3.43 · 10≠17 40 (0.203) ...