Problemas Tema 5 (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Introducción a las Comunicaciones
Año del apunte 2014
Páginas 15
Fecha de subida 13/11/2014
Descargas 5
Subido por

Vista previa del texto

ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 Introducción a las Comunicaciones (ICOM) ETSETB-UPC Tema V – Modulaciones Digitales sobre Canales limitados en banda Maig, 2013 1 ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 2 EJERCICIOS DE ISI Ejercicio 1.
Se considera el siguiente esquema de comunicaciones digitales banda base: a k  yR (t )  hc (t ) p (t ) y (t ) y (tk ) hR (t ) Detector aˆ  k  w(t ) La secuencia de símbolos estadísticamente independientes a  k  corresponde a una codificación de 2 niveles Unipolar: am  0,  A , de símbolos equiprobables. El pulso elegido en el transmisor, p  t  , es rectangular, de duración igual al tiempo de símbolo T y de energía unidad.
El canal es ideal  hc (t )    t   , w(t) es un ruido blanco, Gaussiano, estacionario, de media 0, y densidad espectral S w ( f )  N0 . El instante de muestreo es tk   k  1 T .
2 Se pide: a) Obtenga Eb , la energía media transmitida por bit.
Si el filtro receptor utilizado es hR  t   1 T   ; t  T2' T' T '  1    T ; 0    0.5 b) Obtenga la expresión de la señal a la salida del filtro receptor y dibuje la forma del pulso resultante en este punto. Identifique en las muestras y  t k  , el término útil, ISI si hay y término de ruido. Caracterice estadísticamente el término de ruido.
c) Dé las dos funciones de densidad de probabilidad de las muestras obtenidas condicionadas f y  y 0 , f y  y A y diseñe el umbral de decisión óptimo.
En los 3 apartados restantes considere que el filtro receptor utilizado es d) hR  t   1 T   ; t  T2 ' T' T '  1    T ; 0    0.5 Obtenga la expresión de la señal a la salida del filtro receptor y dibuje la forma del pulso resultante en este punto.
Identifique en las muestras y  t k  , el término útil, ISI si hay y término de ruido.
Caracterice estadísticamente el término de ruido.
e) Dé las dos funciones de densidad de probabilidad de las muestras obtenidas condicionadas f y  y 0 , f y  y A y diseñe el umbral de decisión óptimo.
f) Calcule la probabilidad de error en función del cociente de energías Eb / N 0 .
ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 3 Ejercicio 2.
Se considera el siguiente esquema de comunicaciones digitales banda base: a k  yR (t )  hc (t ) p (t ) y (t ) y (tk ) p (t ) aˆ  k  Detector w(t )  a  k  corresponde a una codificación binaria polar de símbolos equiprobables y estadísticamente independientes, con am   A,  A  hc (t )  1 (t  t1 )   2 (t  t2 )  p (t )   t sinc   T T 1 w(t) es un ruido blanco, Gaussiano, estacionario, de media 0, y con S w ( f )  N0 2 a) Sabiendo que la autocorrelación de una modulación PAM s (t )    a  n p(t  nT ) n  se puede expresar como Rs (t   , t )    k   Ra  k   p (t     n  k  T ) p (t  nT ) n  , calcule la densidad espectral de potencia de la señal a la salida del conformador de pulso p(t) en transmisión.
b) Dé la expresión de la señal a la salida del canal y la de su densidad espectral de potencia.
c) Dé la expresión de la señal a la salida del filtro receptor p(t) y la de su densidad espectral de potencia.
d) Considerando 1   2 dé los instantes óptimos de muestreo tk . Dé la expresión de la señal y (t k ) e indique los términos de señal útil, de interferencia inter-símbolos y de ruido.
e) Particularice el resultado anterior para t 2  t1  2T . Dé en este caso la función de densidad de probabilidad de y (tk ) condicionada al símbolo enviado.
f) Utilizando el umbral sistema.
 0 para el detector de símbolo, calcule la BER de este ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 4 Ejercicio 3.
Considere un sistema de comunicación digital que transmite la señal PAM s(t )    a[n]  p(t  nT ) n  donde a[k ]   A equiprobables, T es el período de símbolo y el pulso conformador utilizado es p(t )  1 T  t  T2  T    La señal PAM se transmite por un canal ideal con atenuación L y retardo tc, y con un ruido w(t) aditivo, estacionario, Gaussiano, de media nula, densidad espectral de potencia S w ( f )  N20 e incorrelado con la señal transmitida. El esquema del receptor es el siguiente.
w(t) s(t) CANAL hC(t) + tk Filtre Adaptat p(T-t) y (tk ) y (t ) Detecció de símbol â[k] Estimador de sincronisme a) Indique la expresión de la señal detectada, y(t), en función de la autocorrelación del pulso.
b) Suponiendo que el sistema de sincronismo no estima correctamente el instante de muestreo de manera que tk  tc  (k  1)T  0, 2  T , obtenga la expresión de y  tk  identificando el término de señal útil, de ISI y ruido. Caracteriza el ruido resultante.
Nota: un dibujo de la autocorrelación del pulso puede ser de utilidad.
c) Suponiendo que el umbral del sistema detector de símbolo está en el origen,   0 , encuentre la probabilidad de error en detección y exprésela en función de la Eb / N 0 .
d) Para resolver este apartado, asuma que L=1. Sabiendo que la probabilidad de error cuando no hay error de sincronismo es Q probabilidad de error para Eb / N 0  4,5 .
  2 NEb0 , compare las dos funciones de ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 5 Ejercicio 4.
En comunicaciones digitales en banda base con ISI nula, se hace necesario reducir la velocidad de símbolo r  1 T por debajo de la banda disponible 2 B para disponer de filtros en el receptor y transmisor que sean realizables. Una posible solución consiste en introducir una ISI controlada en el transmisor que permite alcanzar la velocidad de 2 B , que proporciona el ancho de banda disponible. Un ejemplo es la codificación correlativa.
En la codificación duobinaria (Figura 1) se considera una fuente binaria con bits independientes y equiprobables que se codifican en primer lugar con una señal PAM polar de 2 niveles, es decir, a[n] A / 2 y con un pulso conformador p(t)  r  sinc(r t) cuya autocorrelación es Rp ( )  sinc(r ) .
Posteriormente, la señal PAM se correla consigo misma tal y como se muestra en la figura obteniendo la señal a transmitir, s(t) .
Font binària 101… a[k] Codificador de símbolo 2PAM Polar Conformador de Pulso s(t) + Retardo T p(t) Figura 1. Esquema del transmisor a) Demuestre que la señal resultante a la salida del correlador es igual a s(t)    a[n] p(t  nT ) .
Demuestre que a[n]  a[n]  a[n  1] . Indique los n  distintos niveles de símbolos que se transmiten, a[n] am  m  1,..., M , junto con su probabilidad de símbolo.
b) Halle la autocorrelación de los símbolos Ra [k]  E a[n  k] a[n].
c) Calcule la densidad espectral de potencia de la señal s(t) . Haga un dibujo e indique el ancho de banda.
Nota: Rs ( )  La autocorrelación  promedio de una señal 1  Ra [k]  Rp (  kT ) , siendo T el periodo de símbolo y T k   autocorrelación del pulso.
PAM es Rp ( ) la ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 6 Suponga ahora que la señal s(t) se transmite por un canal ideal con atenuación L en potencia, retardo nulo y con ruido aditivo w(t) estacionario, blanco con Sw ( f )  N0 / 2 , de media nula e independiente de la señal transmitida. La siguiente figura incluye también el sistema receptor.
Considere que la respuesta del filtro adaptado es p( t ) .
w(t) tk s(t) Canal + Filtro Adaptado y(t) y(tk) Detector de símbolo aˆ [k] Sistema Decorrelador ˆ a[k] Figura 2. Esquema del canal y receptor.
d) Obtenga la señal a la salida del filtro adaptado, y(t) , en función de los símbolos am . ¿Qué valor escogerá para los instantes de muestreo tk ? Indique el valor que toma y(t k ) , identificando la parte de señal útil y la parte de ruido.
e) Diseñe los umbrales óptimos de detección de los símbolos am .
f) Halle la probabilidad de error de detección de los símbolos am  a la salida del detector de símbolo en función de la Eb / N0 en transmisión, cuando se utilizan los umbrales de decisión calculados en el apartado anterior.
g) Diseñe el sistema decorrelador que obtiene los símbolos aˆ[ n] a partir de los detectados aˆ '[n] . Comente qué ocurre cuando se produce un error en la detección de un símbolo aˆ[ n] en un instante dado.
ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 7 EJERCICIOS DE PULSOS LIMITADOS EN BANDA Y DE ISI NULA Ejercicio 5.
Un sistema de comunicaciones banda base con constelación 4-PAM de amplitudes 3, 1, 1, 3 y símbolos equiprobables utiliza como a pulso conformador, p(t )  Ap ·(sin c(2 Rs t  1/ 2)  sin c(2 Rs t  1/ 2)) Para la señal transmitida s T  t     a  k p  t  kT  k  donde T  1/ Rs constituye el período de símbolo.
Se pide, a) Calcule y dibuje detalladamente el espectro de densidad de potencia promedio S xT ( f ) , indicando los niveles i frecuencias significativos. Déjelo en función de A p y Rs .
b) Calcule la potencia transmitida ST y la energía de bit E b .
c) Trabajando exclusivamente en el dominio temporal, demuestre que el pulso g (t ) a la salida del filtro adaptado p (t ) es un pulso de Nyquist, libre de Interferencia Intersimbólica (ISI).
d) Trabajando exclusivamente en el dominio frecuencial, demuestre que g (t ) es un pulso de Nyquist.
Ejercicio 6.
En este ejercicio se estudia la modulación digital paso-banda QPSK (o 4QAM) en presencia de canal ideal con ruido aditivo blanco Gaussiano. Dicha modulación s(t ) , de frecuencia portadora fo , se define a partir de su equivalente paso-bajo del siguiente modo:  bs (t )  A  c  k  p(t  kT ) k  donde c  k   a  k   jb  k  y ak  1, 1 , bk  1, 1 . El pulso p(t ) es un pulso real de ancho de banda limitado a B p con energía unidad E p  1 . Los símbolos a  k  y b  k  corresponden a las secuencias de bits pares e impares, respectivamente, de una secuencia binaria emitida por una fuente. Los bits son equiprobables e independientes.
a) Escriba la expresión de s(t ) en función de a  k  y b  k  .
b) Si dispone de un ancho de banda de 100kHz, ¿cuál es el valor de T y el máximo flujo de información (bits/segundo) que se puede transmitir sin ISI? ¿Qué pulso p(t ) utilizaría para transmitir el máximo flujo de información sin ISI? c) El esquema del receptor óptimo tiene el siguiente diagrama de bloques: ICOM: Ejercicios Tema 5 FILTRO PASO BANDA s (t ) 17/05/13 GENERACIÓN FASE Y CUADRATURA 8 FILTRO ADAPTADO FILTRO ADAPTADO tm DECISOR DECISOR b k  tm RUIDO Describa cada uno de los bloques del diagrama anterior.
d) Determine el valor de A en función de la energía media por bit Eb . Halle la BER (o probabilidad de error de bit) en cada rama en función de la Eb / N0 .
e) Suponga que la señal x(t ) presenta un error de fase de portadora de e   / 8 , lo que provoca una degradación de la BER en el receptor. Escriba la señal a la entrada del decisor asociado a la componente en fase, y calcule la BER exacta. Evalúe aproximadamente la pérdida equivalente de Eb / N0 causada por el error de fase.
ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 9 EJERCICIOS DE ECUALIZACIÓN Y DE DETECCIÓN SECUENCIAL Ejercicio 7.
Considere la transmisión por un canal de comunicaciones con propagación multicamino: y (t ) Transmisor Canal hc (t ) y k  Decisor Filtro tk  kT w(t ) La señalización es binaria, con pulso conformador p T (t ) de duración no superior al tiempo de bit (T) y con niveles a  k   ( A, A) equiprobables. El receptor utiliza un filtro adaptado al pulso de respuesta impulsional pT (t ) . El ruido w(t ) , es blanco y Gaussiano, de densidad espectral de potencia N o / 2 .
En particular se estudia el caso en que únicamente hay dos caminos de propagación, pudiendo entonces modelar la respuesta impulsional del canal como: hc (t )   (t )   (t   ) 0   T  0 El camino secundario llega al receptor con una inversión de signo y con un retardo  inferior al tiempo de bit (T) de la señal digital transmitida, lo cual en la práctica produce un desvanecimiento de la señal, además de interferencia intersimbólica (ISI).
a) Demuestre que las muestras de la señal a la entrada del decisor pueden definirse como: y  k   a  k  E p    a  k  Rp    a  k  1 Rp T      n  k  siendo R p (t ) la función de autocorrelación del pulso transmitido p T (t ) .
b) Halle la potencia del ruido detectado, n  k  .
Para el resto del ejercicio considere   T / 2 y pulso transmitido igual a un pulso rectangular de duración T.
c) Obtenga los niveles de señal a la entrada del decisor.
d) Obtenga la BER del sistema de forma exacta en función de la Eb / N 0 de transmisión y .
e) Obtenga el canal discreto equivalente del sistema, c  k  , definido según la figura: ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 10 nk  a k  y k  c k  f) Diseñe un ecualizador forzador de ceros de infinitos coeficientes, a insertar a la entrada del decisor.
g) Obtenga la nueva BER en función de la Eb / N0 de transmisión y . En concreto, para , obtenga aproximadamente la ganancia equivalente en términos de Eb / N0 , con respecto a la BER obtenida en d).
 1 k para 1    1 Nota:    1  k 0 Ejercicio 8.
Se requiere transmitir una secuencia de bits equiprobables e independientes a una velocidad de rb  1000bps , sobre un canal que presenta distorsión lineal. Para ello se modula en banda base una secuencia de pulsos en amplitud (PAM) a 4 niveles, eligiendo una señalización polar de separación A volts. entre símbolos.
s(t)   a[k]p(t  kT) k  La energía del pulso transmitido p(t) es E= p 2 (t ) dt. En recepción se diseña un filtro adaptado  hFA (t ) al pulso p(t) a fin de obtener pulsos de Nyquist p (t ) , 0% rolloff (=0).
p (t )  p0 (t )  p(t ) * hFA (t ) El ruido que presenta el canal w(t), es estacionario blanco Gaussiano y de media nula N Sw ( f )  0 2 La distorsión lineal que presenta el canal se puede modelar mediante la siguiente respuesta impulsional hC (t ) .
 hC (t )   ei   t  iT  0   1 i 0 siendo T el periodo de símbolo. La ecualización del canal se realiza mediante un filtro FIR de 2 coeficientes colocado a la salida del filtro adaptado.
El esquema resultante se muestra en la siguiente figura: w(t ) s (t ) y (t ) y[n] ˆ a[n] ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 11 a) Obtenga las expresiones temporales y frecuenciales del pulso transmitido p(t) y de la respuesta del filtro adaptado hFA (t ) . ¿Cuál es el ancho de banda de transmisión necesario? b) Calcule la potencia de ruido a la salida del filtro adaptado. Calcule la potencia de ruido a la salida del filtro FIR en función de los coeficientes del mismo.
c) Calcule las muestras de la señal y(t) a la salida del filtro adaptado en los instantes de muestreo tk  kT . Distinga el término de ISI y el término de ruido.
d) Calcule las muestras de la señal yo (t ) a la salida del filtro FIR en los instantes de muestreo tk  kT . Distinga el término de ISI y el término de ruido, en función de los coeficientes del filtro si es necesario.
e) Plantee el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes del filtro FIR mediante un criterio de mínimo error cuadrático medio (solución de Wiener), en función de la potencia de ruido a la salida del filtro adaptado  n2 , de la varianza de los símbolos transmitidos  a2 , y de la constante del canal  . Considere el error como la diferencia entre las muestras a la salida del filtro FIR, yo (kT ) y los símbolos transmitidos ak .
f) Resuelva el sistema anterior para el caso particular de que no hubiera ruido (  n2 =0) y compruebe que en esta situación el error cuadrático medio resultante es nulo y la ISI remanente a la salida del filtro FIR es nula.
Ejercicio 9.
Considere una transmisión digital binaria de rb bits/sec con niveles 0 y A y pulso rectangular de duración T  1/ rb .
 s (t )  A  b  k  pT  t  kT  A 1 1 1 k  0 T 2T 3T b  k  es la secuencia de bits (0 y 1) y las probabilidades de cada bit son P(1) y P(0), siendo P(1)   P(0) con  <1. Considere que el ruido es Gaussiano y blanco de densidad N0 .
2 a) Diseñe el receptor óptimo detallando la respuesta impulsional de los filtros y el instante óptimo de muestreo. Calcule el umbral óptimo de decisión en función de A,  y Eb / N0 .
Considere en adelante que el umbral se sitúa en el punto medio de los dos niveles.
b) Si  =1/9, ¿qué pérdida equivalente de Eb / N0 supone dicha ubicación del umbral, aproximadamente? ¿Es dicha pérdida importante para una Eb / N0 de 10dB? ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 12 c) Halle la energía media de bit. Obtenga la BER en función de la Eb / N0 . ¿Para qué valores de  las prestaciones del sistema son superiores a las correspondientes a una señalización con niveles A y -A? Considere que el canal de transmisión presenta la siguiente respuesta impulsional: h(t )  (1   ) (t )   (t  T / 2) 0   1 Considere en adelante que los símbolos son equiprobables.
d) Si la pérdida de Eb / N0 máxima tolerada es de 3dB, halle el máximo valor de  ,  max , que puede tolerar el sistema.
e) Diseñe un forzador de ceros de 3 coeficientes. Halle la ISI y el ruido residual a la salida del mismo. Compruebe que para  =  max (hallada en el apartado anterior) las prestaciones han mejorado.
Para evitar la necesidad de ecualización, se utiliza un pulso de duración T/2 y de amplitud doble, manteniendo la velocidad de bit:  s (t )  2 A  b  k  pT /2  t  kT  1 1 1 2A k  0 T 2T 3T El receptor utilizado, sin embargo, continúa siendo el mismo.
f) Halle la BER en función de Eb / N0 . Discuta en general las ventajas y desventajas de esta solución.
ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 13 Ejercicio 10.
Sea la modulación binaria de símbolos estadísticamente independientes entre sí y equiprobables.
s t     a  n p  t  nT ; n  a  n   A2 ; Rp  nT     n N0 2 y respuesta impulsional igual a: hc  t     t   0.5  t  T  . En recepción se utiliza un pulso La señal se transmite por un canal AWGN de ruido w(t) Gaussiano de media nula, S w ( f )  adaptado a p  t  y un ecualizador FIR forzador de ceros de dos coeficientes según la figura.
a  k    A2 p t  hc (t ) s t   p  t  y t  w t  y k  y  k  1 z 1 Det. MAP h0 h1 aˆ  k  v k   Se pide: a) Halle los dos coeficientes h0 , h1 .
b) Si se realiza la detección de los símbolos a  k  a partir de la variable v k y se aplica el criterio MAP, dibuje las dos zonas de decisión así como el espacio de señal recibida en ausencia de ruido. Sobre la figura anterior identifique y dé el valor de la distancia más cercana al umbral de un punto de señal recibida en ausencia de ruido.
Como alternativa a la ecualización se propone realizar la detección del símbolo a  k  a partir del  yk    . A partir de este punto se vector formado por una secuencia de dos muestras: y  k     y  k  1  considera un espacio de señal de dimensión 2 para realizar la detección. El nuevo esquema es: a  k    A2 p t  hc (t ) p  t  w t  s t  Se pide  y k  y t  Det. MAP z 1 aˆ  k  y  k  1 c) Halle las dos funciones de densidad de probabilidad del vector y k condicionadas:     f y y a  k    A2 ; f y y a  k    A2 ; d) Dibuje el espacio de señal recibida en ausencia de ruido en función de las dos coordenadas  y  k  , y  k  1 . Sobre la figura anterior, dibuje la frontera entre las dos zonas de decisión aplicando un criterio de distancia euclídea mínima. Identifique y dé el valor de la distancia más cercana a la frontera de un punto de señal recibida en ausencia de ruido. ¿Puede afirmar a partir del conocimiento de la menor distancia a la frontera cual de los dos esquemas producirá una BER menor? ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 14 Ejercicio 11.
Considere una transmisión digital binaria por un canal discreto equivalente de respuesta impulsional: c  k   [1, 2 ,3 2 ] Como consecuencia de la distorsión introducida por el canal, las muestras a la salida del filtro adaptado del receptor son r  k   a  k   c  k  , siendo a  k  los símbolos de valores A y –A, y  el operador convolución. Considere ruido aditivo blanco Gaussiano de densidad N0 / 2 .
a) Diseñe un forzador de ceros de tres coeficientes en el receptor, q  k  , k  0,1, 2 .
b) Halle el canal discreto equivalente total c '(k )  c(k )  q(k ) , y una cota de la BER.
c) Demuestre que puede expresar la transformada Z del ecualizador como Q( z )  1   z 1  , e indique cuál es el valor de  .
2 d) Usando la propiedad anterior, diseñe dos filtros terminales de dos coeficientes en el transmisor  qT  k  , k  0,1  y en el receptor  qR  k  , k  0,1  de tal modo que no se modifique el canal equivalente total ni la energía de los símbolos transmitidos.
e) Halle una cota de la BER y evalúe la mejora de los filtros terminales con respecto a la ecualización en términos de ganancia equivalente de Eb / N0 .
Ejercicio 12.
Sea una modulación QPSK de símbolos equiprobables i estadísticamente independientes entre sí: s (t )  Ac   i   i    I i  p(t  iT ) cos(2f c t ) Ac  Qi  p(t  iT ) sen(2f c t )  is (t ) cos(2f c t )  q s (t ) sen(2f c t ) Considere : Símbolo I[i] Q[i] 1 +1 +1 2 -1 +1 3 -1 -1 4 +1 -1 N t Pulso base p(t )    y se cumple f c  Nr  ; N  1 T T  a) De una expresión para las componentes en fase y cuadratura de la señal s(t). Es decir, identifique las señales is (t ), qs (t ) en la expresión dada para s(t). Dibuje el espacio de señal.
ICOM: Ejercicios Tema 5 17/05/13 15 b) Dibuje el esquema receptor óptimo resultante. Si la señal se transmite por un canal N ideal de ruido aditivo blanco y Gaussiano w(t), S w ( f )  0 , obtenga la Probabilidad 2 de error Pe en función de Eb / N0 , siendo Eb la energía media que se transmite por bit.
c) Suponga a partir de ahora que el canal por el que se transmite esta señal produce distorsión que se puede modelar mediante el siguiente equivalente paso bajo para su respuesta impulsional: bh (t )  (2  j 0.5) (t )  0.5 (t  T ) d) Halle el equivalente paso bajo y las componentes en fase y cuadratura de la señal recibida.
e) Para la hipótesis de haber transmitido el símbolo 1, calcule la expresión de las muestras de señal recibidas y dibújelas en ausencia de ruido sobre el espacio de seña.
Sobre las muestras distinga entre el término de señal útil y el término de ISI producida por el canal.
f) Considerando que el espacio de señal resultante es simétrico en los 4 cuadrantes y que por tanto la Pe total coincide con la probabilidad de error condicionada al símbolo 1  Pe / I1  jQ1  , calcule de nuevo la Pe en función de la Eb / N0 . Para ello utilice las mismas regiones de decisión del apartado b y la misma definición para Eb (Energía media transmitida por bit).
g) Diseñe un ecualizador complejo (Forzador de ceros) de dos coeficientes C0 , C1 que disminuya la ISI, los coeficientes deben verificar las ecuaciones de diseño: 1 n  0 h  n  *  C0  n   C1  n  1   0 n  1 donde h[n] representa el canal discreto equivalente entre I[i]  jQ[i] y las muestras de salida del filtro adaptado. Calcule los dos coeficientes complejos: C0 , C1 .
h) Obtenga el término de ISI residual i) Calcule la f.d.p del nuevo término de ruido a la salida del ecualizador. ¿Continúa el término de ruido cumpliendo la propiedad de simetría circular? Justifique la respuesta. NOTA: En este apartado obtenga los resultados en función de C0  C0 R  jC0 I y C1  C1R  j C1I y sustituya por su valor numérico únicamente al final.
j) Para justificar la mejora de la Pe dibuje de nuevo la representación de los puntos de señal ecualizada en ausencia de ruido para el caso de haber transmitido el símbolo 1.
Calcule el aumento de la distancia entre puntos de señal y límites de la correspondiente región de decisión. Compare con la situación sin ecualizar del apartado e.
...