Diagonalizacion de matrices (2017)

Apunte Español
Universidad Universidad Complutense de Madrid (UCM)
Grado Matemáticas y Estadística - 1º curso
Asignatura Algebra lineal
Año del apunte 2017
Páginas 2
Fecha de subida 09/07/2017
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como diagonalizar una matriz mediante autovalores

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DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES Sea la matriz: 3 1 A = (1 3 1 1 1 1) 3 Para obtener el polinomio característico restamos T a la diagonal y obtenemos: 3−𝑇 P(T) = | 1 1 1 3−𝑇 1 1 1 | = −𝑇 3 + 9𝑇 2 − 24𝑇 + 20 3−𝑇 Descomponiendo el polinomio característico por Ruffini, tenemos: P(T) = (2 − 𝑇)2 (5 − 𝑇) Así pues, los autovalores de A y sus multiplicidades algebraicas (α) son: 𝑇1 = 2 ; 𝛼1 = 2 𝑇2 = 5 ; 𝛼2 = 1 ¿Cómo obtener las multiplicidades algebraicas? Nos fijamos en la descomposición del polinomio característico. Las multiplicidades algebraicas son las veces que tenemos repetidos el autovalor o el numero al que esta elevado nuestra raíz del polinomio. En este caso, el autovalor 2 esta dos veces por lo que tenemos la raíz elevada a dos: (2 − 𝑇)2 . En el caso del autovalor 5 solo esta una vez: (5 − 𝑇)1 .
Para calcular las multiplicidades geométricas: 1 1 𝑑1 = 3 − 𝑟𝑔(𝐴 − 2𝐼) = 3 − 𝑟𝑔 (1 1 1 1 1 1) = 3 − 1 = 2 1 𝑑2 = 3 − 𝑟𝑔(𝐴 − 5𝐼) = 3 − 2 = 1 Formula general : 𝑑 = 𝑑𝑖𝑚 − 𝑟𝑔(𝐴 − 𝑇𝐼) Resumiendo tenemos: 𝑇1 = 2 𝑇2 = 5 𝛼1 = 2 𝛼2 = 1 𝑑1 = 2 𝑑2 = 1 Como la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométricas en ambos autovalores, la matriz es diagonalizable y su forma diagonal es: 2 0 𝐷 = (0 2 0 0 0 0) 5 Para calcular la matriz de paso necesitamos calcular bases de los subespacios propios: 1 1 (𝐴 − 2𝐼) = (1 1 1 1 1 1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑉2 ↔ (1 1 1 1 1 1) 1 1 𝑋 0 1) (𝑌 ) = (0) ↔ {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 1 𝑍 0 Pasamos a paramétricas: 𝑉2 ≡ { 𝑥 = −𝜇 − 𝛾 𝑦= 𝜇 𝑧= 𝛾 Y de aquí obtenemos la base de 𝑉2 : (son dos vectores por la multiplicidad algebraica) {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)} De igual forma: −2 1 1 𝐴 − 5𝐼 = ( 1 −2 1 ) 1 1 −2 −2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 −2 1 1 𝑋 0 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑉5 ↔ ( 1 −2 1 ) (𝑌 ) = (0) ↔ { 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0 1 1 −2 𝑍 0 𝑥−𝑧=0 ↔ { 𝑦−𝑧 = 0 Paramétricas de 𝑉5 : 𝑥= 𝛿 𝑉5 ≡ {𝑦 = 𝛿 𝑧= 𝛿 Y por tanto la base es: (solo un vector por multiplicidad algebraica) {(1, 1, 1)} Por tanto la base formada por los vectores propios es: {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1), (1,1,1)} Y la matriz de paso resultante es: −1 −1 1 𝑃= (1 0 1) 0 1 1 ...

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