Examen Final Enero 2013 (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Cálculo I
Año del apunte 2013
Páginas 13
Fecha de subida 16/09/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

` EXAMEN FINAL CALCUL ETSETB 21 de gener de 2013 Temps: 3h Codi de la prova: 230-00001-01–0 Notes provisionals: 22 de gener a Atenea Per´ıode d’al·legacions: fins el 23 de gener de 2013 5. La soluci´o de l’equaci´o diferencial x (t) + x(t) = δ(t − 1), ´es (a) u(t − 1)e−t (c) u(t − 1)e−(t−1) (b) δ(t − 1)e−t (d) (t − 1)δ(t − 1) 6. Considereu les integrals impr`opies seg¨ uents: +∞ I1 = sinh 1 1 dx, x +∞ 1 − cos I2 = 1 1. Quina de les seg¨ uents integrals ´es convergent? +∞ +∞ √ dx x √ (a) (b) dx 3 x +√1 x 1 1 +∞ +∞ 3 dx x √ (d) √ dx (c) x+ x 1+x x 1 1 x(0) = 0 2 x dx.
Es compleix que: (a) I1 i I2 s´on convergents.
(b) I1 ´es convergent i I2 ´es divergent.
(c) I1 ´es divergent i I2 ´es convergent.
(d) I1 i I2 s´on divergents.
2x 1 dt. La recta tanln(e + t) 0 gent a la gr`afica de la funci´o f en x = 0 ´es: (a) y = x (b) y = 2x (c) y = x + 1 (d) y = 2x + 1 2. Sigui f (x) = √ 3 3. La s`erie n≥1 si: (a) λ > −6 (c) λ > 6 n2λ + 1 √ convergeix si, i nom´es nλ + 2 (b) λ < −6 (d) λ ≤ 6 4. Dues funcions f i g cont´ınues i derivables en R s´on tals que f (0) = 0, f (1) = 1, g(0) = 1 i g(1) = 0. Definim les funcions R(x) = f (x) − g(x) i S(x) = f (x) + g(x).
Llavors podem assegurar que existeixen punts c, d ∈ (0, 1) tals que: (a) R(c) = 0 i S(d) = 0 7. L’`area del recinte tancat delimitat per f (x) = x2 + x − 3 i g(x) = 2x − 1 ´es igual a: 11 37 31 9 (a) (b) (c) (d) 2 6 6 2 8. Per k > 0 sigui f : (0, +∞) → R una funci´o cont´ınua tal que: f (x) = ln(x2 ), 1 + ln x, Aleshores: (a) k = e √ (b) k = 1 √ 1 + 1 + 4e 1 − 1 + 4e (c) k = (d) k = 2 2 9. Sigui f una funci´o positiva i derivable. La derivada de g(x) = f (x)f (x) ´es: (a) g (x) = g(x) (f (x) + ln f (x)) (b) g (x) = g(x) (b) R(c) = 0 i S (d) = 0 (c) R (c) = 0 i S(d) = 0 (d) R (c) = 0 i S (d) = 0 si 0 < x < k si x ≥ k (c) g (x) = g(x) f (x) + f (x) f (x) f (x)2 f (x) (d) g (x) = g(x)f (x)(1 + ln f (x)) 10. El domini de la funci´o f (x) = ln x − 1 x ´es (a) (−1, 1) (b) (0, +∞) (c) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)(d) (−1, 0) ∪ (1, +∞) 11. De la funci´o f (x) = x |x| podem afirmar: (a) utilitzant la definici´o de derivada en x = 0 es dedueix que f ´es derivable en aquest punt.
(b) la funci´o f no ´es derivable en x = 0 ja que el valor absolut no ´es derivable en x = 0.
(c) la funci´o f ´es derivable en x = 0 perqu`e ´es producte de dues funcions derivables en aquest punt.
(d) la funci´o f no ´es derivable en x = 0 perqu`e no ´es cont´ınua en aquest punt.
π 12. La integral 1 3 cos3 x dx val: (b) − 2 3 (c) 1 3 (d) 2 3 1 i la suma d’una 1 + x2 s`erie geom`etrica, es pot deduir que el valor de arctg(1/2) ´es igual a: 13. Utilitzant (arctg x) = (−1)n (a) n≥0 (−1)n (b) n≥0 (c) (−1) (d) (−1)n n≥0 22n+1 2n + 1 1 (2n + 1) · 22n+1 1 22n+1 14. El valor de lim x→0 (c) 2 3 (d) 2 5 1 . En quin dels inx−π tervals seg¨ uents el teorema de Bolzano assegura l’exist`encia d’alguna soluci´o de l’equaci´o f (x) = 0? π π 3π (a) 0, (b) , 2 2 2 3π 5π (c) , 2π (d) 2π, 2 2 16. Sigui f (x) = sin x − 17. Sigui la funci´o f donada per f (x) = e−x sin x.
El seu polinomi de Taylor d’ordre 3 en x = 0 ´es: x3 (a) x − x2 (b) x + x2 + 3 x2 x3 x3 2 (c) 1 + − (d) x − x + 2 3 3 (a) un m´ınim local o relatiu i cap punt d’inflexi´o.
(b) un m´ınim local o relatiu i un punt d’inflexi´o.
(c) un m`axim local o relatiu i cap punt d’inflexi´o.
1 19. La integral definida 1/x2 ´es: (a) e1/3 (b) e1/6 (c) e−1/3 (d) e−1/6 arctg x dx 0 val: π (a) − ln 4 2 π 1 (c) − ln 2 4 2 2n + 1 sin x x (b) +∞ (d) un m`axim local o relatiu i un punt d’inflexi´o.
3 2n+1 n 2 n≥0 (a) 0 1 18. La funci´o f (x) = 2 + x3 t´e en el seu domix ni: π/2 (a) − ex − (x + 1) cos x val: x→0 xe2x − ln(1 + x) 15. El lim π − ln 4 4 √ π (d) − ln 2 2 (b) 20. El domini (o camp) de converg`encia de la (−1)n n s`erie de pot`encies x ´es: n+3 n≥0 (a) R (c) (−1, 1] (b) (−1, 1) (d) [−1, 1) 21. Quant val la integral impr`opia 1 dx ? x2 + 4x + 3 0 ´ divergent (a) Es (b) 12 1 (c) 2 ln 3 (d) 12 1 − ln 13 +∞ 23. Si feu servir la definici´o de transformada de Laplace per calcular el valor de la inte+∞ gral impr`opia niu: (a) 22. La transformada de Laplace de la funci´o f (t) = 3t e2t si 0 ≤ t < 1 si t ≥ 1 ´es: (a) 3 + e−s s2 (b) 3 + e−2s s2 (c) 3 + e−s s2 (d) 3 + e−2s s2 e2 3 3 − − s − 2 s2 s e2 3 3 − 2− s−2 s s 1 3 − 2 s−2 s 1 3 − 2 s−2 s (x + sin x)e−3x dx obte- 0 19 90 (b) 3 2 (c) 9 20 (d) 37 90 24. La soluci´o de l’equaci´o diferencial x + x = e−t amb x(0) = x (0) = 1 t´e transformada de Laplace igual a: (a) 3 2 1 − − s s + 1 (s + 1)2 (b) 1 3 3 + + s s + 1 (s + 1)2 (c) 3 2 1 − + s s + 1 (s + 1)2 (d) 1 2 3 − − s s + 1 (s + 1)2 ` EXAMEN FINAL CALCUL ETSETB 21 de gener de 2013 Temps: 3h Codi de la prova: 230-00001-01–1 Notes provisionals: 22 de gener a Atenea Per´ıode d’al·legacions: fins el 23 de gener de 2013 1. De la funci´o f (x) = x |x| podem afirmar: (a) la funci´o f no ´es derivable en x = 0 ja que el valor absolut no ´es derivable en x = 0.
(b) utilitzant la definici´o de derivada en x = 0 es dedueix que f ´es derivable en aquest punt.
(c) la funci´o f no ´es derivable en x = 0 perqu`e no ´es cont´ınua en aquest punt.
(d) la funci´o f ´es derivable en x = 0 perqu`e ´es producte de dues funcions derivables en aquest punt.
2. L’`area del recinte tancat delimitat per f (x) = x2 + x − 3 i g(x) = 2x − 1 ´es igual a: 37 11 9 31 (a) (b) (c) (d) 6 2 2 6 1 3. La funci´o f (x) = 2 + x3 t´e en el seu domix ni: 4. La soluci´o de l’equaci´o diferencial x + x = e−t amb x(0) = x (0) = 1 t´e transformada de Laplace igual a: (a) 1 3 3 + + s s + 1 (s + 1)2 (b) 3 2 1 − − s s + 1 (s + 1)2 (c) 1 2 3 − − s s + 1 (s + 1)2 (d) 3 2 1 − + s s + 1 (s + 1)2 5. El domini de la funci´o f (x) = ln x − ´es (a) (−1, 1) (b) (0, +∞) (c) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)(d) (−1, 0) ∪ (1, +∞) 6. Sigui f una funci´o positiva i derivable. La derivada de g(x) = f (x)f (x) ´es: (b) un m´ınim local o relatiu i cap punt d’inflexi´o.
(c) un m`axim local o relatiu i un punt d’inflexi´o.
(d) un m`axim local o relatiu i cap punt d’inflexi´o.
f (x) + f (x) f (x) (a) g (x) = g(x) (b) g (x) = g(x) (f (x) + ln f (x)) (c) g (x) = g(x)f (x)(1 + ln f (x)) (d) g (x) = g(x) f (x)2 f (x) 2x 1 dt. La recta tanln(e + t) 0 gent a la gr`afica de la funci´o f en x = 0 ´es: (a) y = x (b) y = 2x (c) y = x + 1 (d) y = 2x + 1 7. Sigui f (x) = 1 8. La (a) un m´ınim local o relatiu i un punt d’inflexi´o.
1 x integral definida arctg x dx 0 val: π π (a) − ln 4 (b) − ln 4 2 4 √ π 1 π (c) − ln 2 (d) − ln 2 4 2 2 √ 3 n2λ + 1 √ 9. La s`erie convergeix si, i nom´es λ+2 n n≥1 si: (a) λ > −6 (b) λ < −6 (c) λ > 6 (d) λ ≤ 6 ex − (x + 1) cos x val: x→0 xe2x − ln(1 + x) (a) +∞ (b) 0 (c) 1 i la suma d’una 1 + x2 s`erie geom`etrica, es pot deduir que el valor de arctg(1/2) ´es igual a: 15. Utilitzant (arctg x) = 10. El lim 2 5 (d) 2 3 (a) (−1)n 1 (2n + 1) · 22n+1 (−1)n 22n+1 2n + 1 n≥0 11. Considereu les integrals impr`opies seg¨ uents: +∞ I1 = 1 1 − cos 1 n≥0 1 sinh dx, x +∞ I2 = 2 x (b) (c) (−1)n n≥0 dx.
(−1)n (d) Es compleix que: n≥0 1 22n+1 3 2n+1 2 2n + 1 (a) I1 ´es convergent i I2 ´es divergent.
(b) I1 i I2 s´on convergents.
(c) I1 i I2 s´on divergents.
(d) I1 ´es divergent i I2 ´es convergent.
16. El domini (o camp) de converg`encia de la (−1)n n s`erie de pot`encies x ´es: n+3 n≥0 sin x x 12. El valor de lim x→0 (a) R (c) (−1, 1] 1/x2 ´es: (a) e1/6 (b) e1/3 (c) e−1/6 (d) e−1/3 13. Si feu servir la definici´o de transformada de Laplace per calcular el valor de la inte+∞ gral impr`opia niu: (a) (x + sin x)e−3x dx obte- 0 3 2 (b) 19 90 (b) (−1, 1) (d) [−1, 1) (c) 37 90 (d) 9 20 14. Sigui la funci´o f donada per f (x) = e−x sin x.
El seu polinomi de Taylor d’ordre 3 en x = 0 ´es: x3 (a) x − x2 (b) x + x2 + 3 x2 x3 x3 2 (c) 1 + − (d) x − x + 2 3 3 17. Quina de les seg¨ uents integrals ´es convergent? +∞ +∞ √ dx x √ (a) (b) dx 3 x +√1 x 1 1 +∞ +∞ 3 dx x √ (d) √ dx (c) x+ x 1+x x 1 1 18. La soluci´o de l’equaci´o diferencial x (t) + x(t) = δ(t − 1), ´es (a) u(t − 1)e−t (c) u(t − 1)e−(t−1) x(0) = 0 (b) δ(t − 1)e−t (d) (t − 1)δ(t − 1) 19. La transformada de Laplace de la funci´o si 0 ≤ t < 1 si t ≥ 1 3t e2t f (t) = 22. Dues funcions f i g cont´ınues i derivables en R s´on tals que f (0) = 0, f (1) = 1, g(0) = 1 i g(1) = 0. Definim les funcions R(x) = f (x) − g(x) i S(x) = f (x) + g(x).
Llavors podem assegurar que existeixen punts c, d ∈ (0, 1) tals que: ´es: e2 3 3 − 2− s−2 s s (a) 3 + e−2s s2 (b) 3 + e−s s2 e2 3 3 − − s − 2 s2 s (c) 3 + e−2s s2 1 3 − s − 2 s2 (d) 3 + e−s s2 1 3 − s − 2 s2 π (a) R(c) = 0 i S (d) = 0 (b) R(c) = 0 i S(d) = 0 (c) R (c) = 0 i S (d) = 0 (d) R (c) = 0 i S(d) = 0 cos3 x dx val: 20. La integral π/2 (a) − 2 3 (b) − 1 3 (c) 2 3 (d) 1 3 21. Per k > 0 sigui f : (0, +∞) → R una funci´o cont´ınua tal que: f (x) = ln(x2 ), 1 + ln x, 1 . En quin dels inx−π tervals seg¨ uents el teorema de Bolzano assegura l’exist`encia d’alguna soluci´o de l’equaci´o f (x) = 0? π π 3π (a) 0, (b) , 2 2 2 3π 5π (c) , 2π (d) 2π, 2 2 23. Sigui f (x) = sin x − si 0 < x < k si x ≥ k Aleshores: (a) k = e √ (b) k = 1 √ 1 + 1 + 4e 1 − 1 + 4e (c) k = (d) k = 2 2 24. Quant val la integral impr`opia 1 dx ? x2 + 4x + 3 0 ´ divergent (a) Es (b) 12 (c) 12 ln 3 (d) 12 1 − ln 13 +∞ ` EXAMEN FINAL CALCUL ETSETB 21 de gener de 2013 Temps: 3h Codi de la prova: 230-00001-01–2 Notes provisionals: 22 de gener a Atenea Per´ıode d’al·legacions: fins el 23 de gener de 2013 4. De la funci´o f (x) = x |x| podem afirmar: (a) la funci´o f ´es derivable en x = 0 perqu`e ´es producte de dues funcions derivables en aquest punt.
(b) la funci´o f no ´es derivable en x = 0 perqu`e no ´es cont´ınua en aquest punt.
(c) utilitzant la definici´o de derivada en x = 0 es dedueix que f ´es derivable en aquest punt.
(d) la funci´o f no ´es derivable en x = 0 ja que el valor absolut no ´es derivable en x = 0.
1. La soluci´o de l’equaci´o diferencial x (t) + x(t) = δ(t − 1), ´es (a) u(t − 1)e−t (c) u(t − 1)e−(t−1) x(0) = 0 (b) δ(t − 1)e−t (d) (t − 1)δ(t − 1) 5. Quant val la integral impr`opia 1 dx ? x2 + 4x + 3 0 ´ divergent (a) Es (b) 12 (c) 12 ln 3 (d) 12 1 − ln 13 +∞ √ 3 6. La s`erie n≥1 1 2. Sigui f (x) = sin x − . En quin dels inx−π tervals seg¨ uents el teorema de Bolzano assegura l’exist`encia d’alguna soluci´o de l’equaci´o f (x) = 0? π π 3π (a) 0, (b) , 2 2 2 3π 5π (c) , 2π (d) 2π, 2 2 n2λ + 1 √ convergeix si, i nom´es nλ + 2 si: (a) λ > −6 (c) λ > 6 (b) λ < −6 (d) λ ≤ 6 7. Sigui f una funci´o positiva i derivable. La derivada de g(x) = f (x)f (x) ´es: (a) g (x) = g(x) f (x)2 f (x) (b) g (x) = g(x)f (x)(1 + ln f (x)) (c) g (x) = g(x) (f (x) + ln f (x)) (d) g (x) = g(x) 3. Per k > 0 sigui f : (0, +∞) → R una funci´o cont´ınua tal que: f (x) = ln(x2 ), 1 + ln x, si 0 < x < k si x ≥ k Aleshores: (a) k = e √ (b) k = 1 √ 1 + 1 + 4e 1 − 1 + 4e (c) k = (d) k = 2 2 f (x) + f (x) f (x) 1 8. La integral val: π (a) − ln 4 2 π 1 (c) − ln 2 4 2 definida arctg x dx 0 π − ln 4 4 √ π (d) − ln 2 2 (b) 9. Considereu les integrals impr`opies seg¨ uents: +∞ I1 = sinh 1 1 dx, x +∞ I2 = 1 13. La transformada de Laplace de la funci´o 1 − cos 2 x 3t e2t f (t) = si 0 ≤ t < 1 si t ≥ 1 ´es: dx.
Es compleix que: (a) I1 ´es divergent i I2 ´es convergent.
(a) 3 + e−s s2 (b) 3 + e−2s s2 (c) 3 + e−s s2 (d) 3 + e−2s s2 (b) I1 i I2 s´on divergents.
(c) I1 i I2 s´on convergents.
(d) I1 ´es convergent i I2 ´es divergent.
1 3 − 2 s−2 s 1 3 − 2 s−2 s e2 3 3 − − s − 2 s2 s e2 3 3 − − s − 2 s2 s ex − (x + 1) cos x val: x→0 xe2x − ln(1 + x) 2 2 (a) (b) (c) 0 3 5 14. El lim 10. L’`area del recinte tancat delimitat per f (x) = x2 + x − 3 i g(x) = 2x − 1 ´es igual a: 31 9 11 37 (a) (b) (c) (d) 6 2 2 6 1 11. La funci´o f (x) = 2 + x3 t´e en el seu domix ni: (a) un m`axim local o relatiu i cap punt d’inflexi´o.
(b) un m`axim local o relatiu i un punt d’inflexi´o.
(c) un m´ınim local o relatiu i cap punt d’inflexi´o.
(d) un m´ınim local o relatiu i un punt d’inflexi´o.
(d) +∞ 15. Quina de les seg¨ uents integrals ´es convergent? +∞ +∞ √ dx x √ (a) (b) dx 3 x + 1 x 1 1 √ +∞ +∞ 3 dx x √ (d) √ dx (c) x+ x 1+x x 1 1 2x 1 dt. La recta tanln(e + t) 0 gent a la gr`afica de la funci´o f en x = 0 ´es: (a) y = x (b) y = 2x (c) y = x + 1 (d) y = 2x + 1 16. Sigui f (x) = 17. Sigui la funci´o f donada per f (x) = e−x sin x.
El seu polinomi de Taylor d’ordre 3 en x = 0 ´es: x3 (a) x − x2 (b) x + x2 + 3 x2 x3 x3 2 (c) 1 + − (d) x − x + 2 3 3 18. Si feu servir la definici´o de transformada de Laplace per calcular el valor de la inte+∞ 12. El valor de lim x→0 sin x x (a) e−1/3 (b) e−1/6 gral impr`opia 1/x2 ´es: (c) e1/3 (d) e1/6 niu: (a) (x + sin x)e−3x dx obte- 0 9 20 (b) 37 90 (c) 19 90 (d) 3 2 19. El domini de la funci´o f (x) = ln x − 1 x ´es (a) (−1, 1) (b) (0, +∞) (c) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)(d) (−1, 0) ∪ (1, +∞) 1 i la suma d’una 1 + x2 s`erie geom`etrica, es pot deduir que el valor de arctg(1/2) ´es igual a: 22. Utilitzant (arctg x) = (a) (−1) 3 2n+1 n 2 n≥0 (−1)n (b) n≥0 π 20. La integral (c) (−1)n n≥0 cos3 x dx val: π/2 1 (a) 3 2 (b) 3 1 (c) − 3 2 (d) − 3 21. La soluci´o de l’equaci´o diferencial x + x = e−t amb x(0) = x (0) = 1 t´e transformada de Laplace igual a: (−1)n (d) n≥0 2n + 1 1 22n+1 22n+1 2n + 1 1 (2n + 1) · 22n+1 23. Dues funcions f i g cont´ınues i derivables en R s´on tals que f (0) = 0, f (1) = 1, g(0) = 1 i g(1) = 0. Definim les funcions R(x) = f (x) − g(x) i S(x) = f (x) + g(x).
Llavors podem assegurar que existeixen punts c, d ∈ (0, 1) tals que: (a) R (c) = 0 i S(d) = 0 (b) R (c) = 0 i S (d) = 0 3 2 1 (a) − + s s + 1 (s + 1)2 (b) 1 2 3 − − s s + 1 (s + 1)2 (c) 3 2 1 − − s s + 1 (s + 1)2 (d) 1 3 3 + + s s + 1 (s + 1)2 (c) R(c) = 0 i S(d) = 0 (d) R(c) = 0 i S (d) = 0 24. El domini (o camp) de converg`encia de la (−1)n n s`erie de pot`encies x ´es: n+3 n≥0 (a) R (c) (−1, 1] (b) (−1, 1) (d) [−1, 1) ` EXAMEN FINAL CALCUL ETSETB 21 de gener de 2013 Temps: 3h 5. Sigui f una funci´o positiva i derivable. La derivada de g(x) = f (x)f (x) ´es: (a) g (x) = g(x)f (x)(1 + ln f (x)) Codi de la prova: 230-00001-01–3 (b) g (x) = g(x) Notes provisionals: 22 de gener a Atenea Per´ıode d’al·legacions: fins el 23 de gener de 2013 f (x)2 f (x) (c) g (x) = g(x) f (x) + f (x) f (x) (d) g (x) = g(x) (f (x) + ln f (x)) 1. Per k > 0 sigui f : (0, +∞) → R una funci´o cont´ınua tal que: ln(x2 ), f (x) = 1 + ln x, 6. El domini (o camp) de converg`encia de la (−1)n n s`erie de pot`encies x ´es: n+3 n≥0 (a) R (c) (−1, 1] si 0 < x < k si x ≥ k Aleshores: (a) k = e √ (b) k = 1 √ 1 + 1 + 4e 1 − 1 + 4e (c) k = (d) k = 2 2 (b) (−1, 1) (d) [−1, 1) π 7. La integral cos3 x dx val: π/2 2. Si feu servir la definici´o de transformada de Laplace per calcular el valor de la inte+∞ gral impr`opia niu: 37 (a) 90 (b) 1 3 (c) − 2 3 (d) − 1 3 (x + sin x)e−3x dx obte- 0 9 (b) 20 2 (a) 3 3 (c) 2 19 (d) 90 3. El domini de la funci´o f (x) = ln x − 1 x ´es (a) (−1, 1) (b) (0, +∞) (c) (−∞, −1) ∪ (1, +∞)(d) (−1, 0) ∪ (1, +∞) 8. Dues funcions f i g cont´ınues i derivables en R s´on tals que f (0) = 0, f (1) = 1, g(0) = 1 i g(1) = 0. Definim les funcions R(x) = f (x) − g(x) i S(x) = f (x) + g(x).
Llavors podem assegurar que existeixen punts c, d ∈ (0, 1) tals que: (a) R (c) = 0 i S (d) = 0 (b) R (c) = 0 i S(d) = 0 (c) R(c) = 0 i S (d) = 0 1 . En quin dels inx−π tervals seg¨ uents el teorema de Bolzano assegura l’exist`encia d’alguna soluci´o de l’equaci´o f (x) = 0? π π 3π (a) 0, (b) , 2 2 2 3π 5π (c) , 2π (d) 2π, 2 2 4. Sigui f (x) = sin x − (d) R(c) = 0 i S(d) = 0 9. L’`area del recinte tancat delimitat per f (x) = x2 + x − 3 i g(x) = 2x − 1 ´es igual a: 9 31 37 11 (a) (b) (c) (d) 2 6 6 2 10. La transformada de Laplace de la funci´o f (t) = si 0 ≤ t < 1 si t ≥ 1 3t e2t ´es: 1 3 − 2 s−2 s 1 14. La funci´o f (x) = 2 + x3 t´e en el seu domix ni: (a) un m`axim local o relatiu i un punt d’inflexi´o.
(a) 3 + e−2s s2 (b) 3 + e−s s2 1 3 − 2 s−2 s (c) un m´ınim local o relatiu i un punt d’inflexi´o.
(c) 3 + e−2s s2 e2 3 3 − − s − 2 s2 s (d) un m´ınim local o relatiu i cap punt d’inflexi´o.
(d) 3 + e−s s2 e2 3 3 − − s − 2 s2 s (b) un m`axim local o relatiu i cap punt d’inflexi´o.
√ 3 11. La s`erie n≥1 n2λ + 1 √ convergeix si, i nom´es nλ + 2 si: (a) λ > −6 (c) λ > 6 (b) λ < −6 (d) λ ≤ 6 12. El valor de lim x→0 (a) e−1/6 sin x x 1/x2 15. Quina de les seg¨ uents integrals ´es convergent? +∞ +∞ √ dx x √ (a) (b) dx 3 x +√1 x 1 1 +∞ +∞ 3 dx x √ (d) √ dx (c) x + x 1 + x x 1 1 16. Quant val la integral impr`opia 1 dx ? x2 + 4x + 3 0 ´ divergent (a) Es (b) 12 (c) 12 ln 3 (d) 12 1 − ln 13 +∞ ´es: (b) e−1/3 (c) e1/6 (d) e1/3 13. De la funci´o f (x) = x |x| podem afirmar: (a) la funci´o f no ´es derivable en x = 0 perqu`e no ´es cont´ınua en aquest punt.
(b) la funci´o f ´es derivable en x = 0 perqu`e ´es producte de dues funcions derivables en aquest punt.
(c) la funci´o f no ´es derivable en x = 0 ja que el valor absolut no ´es derivable en x = 0.
(d) utilitzant la definici´o de derivada en x = 0 es dedueix que f ´es derivable en aquest punt.
1 17. La integral definida val: π (a) − ln 4 2 π 1 (c) − ln 2 4 2 arctg x dx 0 π − ln 4 4 √ π (d) − ln 2 2 (b) 18. Sigui la funci´o f donada per f (x) = e−x sin x.
El seu polinomi de Taylor d’ordre 3 en x = 0 ´es: x3 (a) x − x2 (b) x + x2 + 3 x2 x3 x3 2 (c) 1 + − (d) x − x + 2 3 3 19. La soluci´o de l’equaci´o diferencial x (t) + x(t) = δ(t − 1), ´es (a) u(t − 1)e−t (c) u(t − 1)e−(t−1) x(0) = 0 (b) δ(t − 1)e−t (d) (t − 1)δ(t − 1) 20. La soluci´o de l’equaci´o diferencial x + x = e−t amb x(0) = x (0) = 1 t´e transformada de Laplace igual a: (a) 1 2 3 − − s s + 1 (s + 1)2 (d) 1 i la suma d’una 1 + x2 s`erie geom`etrica, es pot deduir que el valor de arctg(1/2) ´es igual a: 1 3 3 + + s s + 1 (s + 1)2 (−1)n (a) 3 2 1 − − s s + 1 (s + 1)2 n≥0 (b) 21. Considereu les integrals impr`opies seg¨ uents: +∞ I1 = sinh 1 1 dx, x +∞ I2 = 1 (d) 0 23. Utilitzant (arctg x) = 3 2 1 (b) − + s s + 1 (s + 1)2 (c) ex − (x + 1) cos x val: x→0 xe2x − ln(1 + x) 2 2 (a) (b) (c) +∞ 5 3 22. El lim 1 − cos 2 x (−1) 3 2n+1 n 2 n≥0 (c) (−1)n n≥0 dx.
(−1)n (d) n≥0 1 22n+1 2n + 1 1 (2n + 1) · 22n+1 22n+1 2n + 1 Es compleix que: (a) I1 i I2 s´on divergents.
(b) I1 ´es divergent i I2 ´es convergent.
(c) I1 ´es convergent i I2 ´es divergent.
(d) I1 i I2 s´on convergents.
2x 1 dt. La recta tanln(e + t) 0 gent a la gr`afica de la funci´o f en x = 0 ´es: (a) y = x (b) y = 2x (c) y = x + 1 (d) y = 2x + 1 24. Sigui f (x) = Respostes test de CÀLCUL 21 de gener 2013 Preg 0 1 2 3 1 D B C A 2 B C D D 3 B A A D 4 B B C D 5 C D C A 6 C C B C 7 D B B C 8 A C C C 9 D B A A 10 D C B D 11 A D D B 12 B C B A 13 B B C D 14 D D B C 15 D A D D 16 D C B C 17 D D D C 18 B C C D 19 C B D C 20 C A D D 21 C A C B 22 A A D A 23 A D D C 24 A C C B ...