Parcial Primavera 2013 Josep Fabrega (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Telemática - 2º curso
Asignatura PPEE
Año del apunte 2013
Páginas 3
Fecha de subida 02/12/2014
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

ETS d’Enginyeria de Telecomunicació Probabilitat, Processos Estocàstics i Estadística 11 d’abril de 2013 Control grup 40 Temps: 1h 50m 1. Tres jugadors tiren alternativament un dau just. Guanya el joc el primer que treu un 5 o un 6. Calculeu la probabilitat que té cada jugador de guanyar.
Resolució: Diem A, B i C als tres jugadors i siguin P(A), P(B) i P(C) les respectives probabilitats de guanyar el joc, suposant que comença A, després llança el dau B i després C. Denotem per An l’esdeveniment “A guanya el joc i el dau s’ha llançat n vegades”. Així, tenim: ∞ A3k+1 .
A = A1 ∪ A4 ∪ A7 ∪ · · · = k=0 A més, A3k+1 ∩ A3k +1 = incompatibles). Per tant, si k = k (la unió anterior és d’esdeveniments dos a dos ∞ ∞ P(A3k+1 ) = P(A) = k=0 k=0 2 3 3k 1 1/3 9 = = .
3 1 − (2/3)3 19 Anàlogament, si Bm denota l’esdeveniment “B guanya el joc i el dau s’ha llançat m vegades”, aleshores ∞ B3k+2 , B = B2 ∪ B5 ∪ B8 ∪ · · · = k=0 i ∞ ∞ P(B3k+2 ) = P(B) = k=0 k=0 2 3 3k+1 1 2 6 = P(A) = .
3 3 19 Finalment, P(C) = 1 − P(A) − P(B) = 4 .
19 També podem resoldre l’exercici condicionant i aplicant repetidament el teorema de la probabilitat total. Sigui X l’esdeveniment “el dau mostra un 5 o un 6”.
P(A) = P(A | X)P(X) + P(A | X)P(X) = 1 2 + P(A | X).
3 3 1 2 2 P(A | X, X) + P(A | X, X) = P(A | X, X).
3 3 3 1 2 2 P(A | X, X) = P(A | X, X, X) + P(A | X, X, X) = P(A).
3 3 3 P(A | X) = Per tant, P(A) = d’on P(A) = 9/19.
1 2 + 3 3 3 P(A), D’altra banda, P(B) = (2/3)P(A) = 6/19 (per què?). Finalment, P(C) = 1 − P(A) − P(B) = 4/19.
Una resolució encara més curta és la següent. Podeu veure que s’ha de complir P(B) = (2/3)P(A) i P(C) = (2/3)2 P(A) (per què?). Per tant 1 = P(A) + P(B) + P(C) = 1+ 2 2 + 3 3 2 P(A) = 19 P(A), 9 d’on, de nou, P(A) = 9/19.
2. Es tenen dues urnes A i B. L’urna A conté dues boles blanques i quatre boles negres.
L’urna B conté tres boles blanques i dues boles negres. Es passen dues boles a l’atzar de la urna A a la B i després, també a l’atzar, s’extreuen tres boles de B.
(a) Calculeu la probabilitat que aquestes tres boles extretes de B siguin negres.
(b) Si les tres boles extretes de B són negres, quina és la probabilitat que haguem passat alguna bola blanca de A a B? Resolució: (a) Sigui N el nombre de boles blanques que passem de A a B. Aleshores, {{N = 0}, {N = 1}, {N = 2}} constitueix una partició de l’espai mostral.
Aplicant el teorema de la probabilitat total obtenim: 2 P(3 boles negres de B | N = k)P(N = k) P(3 boles negres de B) = k=0 = 4 3 3 0 7 3 · 2 0 4 2 6 2 + 4 0 3 3 7 3 · 2 1 4 1 6 2 +0· 2 2 4 0 6 2 = 4 6 1 8 32 · + · = ≈ 0.0610 35 15 35 15 525 (b) P(alguna bola blanca de A a B | 3 boles negres de B) = 1−P(dues boles negres de A a B | 3 boles negres de B) = 1−P(N = 0 | 3 boles negres de B) =1− P(3 boles negres de B | N = 0)P(N = 0) (4/35)(6/15) 24 1 =1− =1− = = 0.25 P(3 boles negres de B) 32/525 32 4 3. Sigui X un variable aleatòria amb densitat fX (x) = k e−|x| , −∞ < x < ∞.
(a) Determineu el valor de la constant k.
(b) Calculeu P(|X| ≥ 2) i compareu el resultat amb la fita que dóna la desigualtat de Chebyshev. Comenteu el resultat.
(c) Trobeu l’esperança i la variància de la variable Y = g(X), on g(x) = e−2x , x≥0 0, altrament.
Resolució: (a) El valor de k queda determinat per la condició ∞ 1= −∞ ∞ −∞ fX (x) dx = 1. Així, ∞ fX (x) dx = ∞ k e−|x| dx = 2k e−x dx = 2k.
0 −∞ Per tant, k = 1/2.
(b) Tenim P(|X| ≥ 2) = P(X ≤ −2) + P(X ≥ 2) ∞ = 2 P(X ≥ 2) = 2 2 ∞ fX (x) dx = e−x dx = e−2 ≈ 0.1353 2 Per simetria, l’esperança de X val mX = 0. La variància val ∞ σX2 = −∞ ∞ (x − mX )2 fX (x) dx = −∞ ∞ x 2 fX (x) dx = x 2 e−x dx = 2.
0 Així, la fita que óna la desigualtat de Chebyshev és: P(|X| ≥ 2) ≤ 1 σX2 = = 0.5 22 2 (c) Aplicant el teorema de l’esperança, ∞ E(Y ) = E(g(X)) = −∞ ∞ g(x)fX (x) dx = 0 e−2x fX (x) dx = ∞ Var(Y ) = E(Y 2 ) − mY2 = −∞ g(x)2 fX (x) dx − 1 1 = 36 2 1 2 ∞ e−3x dx = 0 ∞ e−5x dx − 0 1 .
6 1 13 = .
36 180 ...