Tema 5: Integració (2013)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 1
Año del apunte 2013
Páginas 9
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 3
Subido por

Descripción

Càlcul de primitives, Integral definida

Vista previa del texto

Tema 5: Integració Què és integrar? Integrar una funció és el procés invers de derivar. Per tant, cal conèixer molt bé les diferents derivades de cadascuna de les funcions bàsiques que utilitzem.
Notació Denotarem com la integral d’una funció f(x) respecte d’una variable x de la manera següent: Primitiva d’una funció Direm que la funció F(x) és la primitiva de la funció f(x) si f(x) és la derivada de F(x), és a dir, F’(x)=f(x).
Exemple: 1) Observem que F’(x)=f(x), llavors F(x) és la primitiva de f(x).
Ara bé, observem l’aspecte següent: 103 Llúcia Mauri Masdeu Tenim F(x) i G(x), dues funcions diferents, i calcularem la seva derivada. Fixemnos que ambdues funcions F(x) i G(x) són primitives de la funció .
Com que hem definit el procés d’integració com l’invers de la derivació, en integrar la funció , quina funció en resultarà? Fixem-nos que ambdues funcions F(x) i G(x) són primitives de la funció , i que aquestes difereixen d’una constant que posteriorment anomenarem k∈R com a constant d’integració.
El fet d’incloure aquesta constant d’integració es deu que, en realitzar el procés de derivació, “perdem” un tipus d’informació i ho hem d’indicar. Per tant, la integral de la funció és: Teorema fonamental del càlcul integral Dues primitives d’una mateixa funció es diferencien en una constant, és a dir, la primitiva d’una funció no és única, és més, existeixen infinites primitives d’una funció.
5.1 Càlcul de primitives Anomenarem integral indefinida d’una funció f(x), i la representarem per conjunt de totes les primitives de la funció f(x).
Segons el teorema anterior, si F(x) és una primitiva.
en què k∈R 104 , el Matemàtiques I Taula d’integrals immediates dx dx dx dx dx dx Nota: Aquí només hi són les més importants.
Propietats Siguin f(x) i g(x) dues funcions i a∈R. Llavors: 1) 2) Tot seguit veurem alguns mètodes d’integració.
Integració immediata S’anomena integració immediata la integració en què sols fem ús de la taula d’integrals i de les propietats anteriors.
Exemples: 1) 2) 3) (Aquesta també es pot fer amb un canvi de variable) 105 Llúcia Mauri Masdeu Integració utilitzant el canvi de variable Aquest mètode d’integració de funcions té com a objectiu principal “simplificar” integrals de funcions que a priori ens semblen complexes.
Per poder dur a terme aquesta “simplificació”, se segueix el procés següent: • Visualitzem la funció que volem integrar i localitzem l’element que considerem complex o que, des del punt de vista de la taula d’integrals immediates, s’assembla a alguna d’aquestes integrals.
• Anomenem a aquest element “complex” com una nova variable (generalment s’utilitza la variable t). També calculem la derivada d’aquest element “complex” (generalment s’utilitza la variable dt).
• Procedim a la substitució dins la nostra integral. I posteriorment la solucionem com una integral immediata.
• Un cop solucionada, desfem el canvi de variable tot substituint la nova variable per l’expressió original.
Exemples: 1) (3x2+6x–4)2 (3x2+6x–4)(6x+6) (1) Apliquem el canvi de variable: (2) Desfem el canvi de variable 2) (1) Apliquem el canvi de variable: (2) Desfem el canvi de variable 106 Matemàtiques I Integració per parts Aquest mètode d’integració s’utilitza quan tenim la integral d’un producte de funcions i on el canvi de variable no ens dóna una via de solució directa.
És a dir, ens trobem en la situació següent: Com podem recordar-ho i veure-ho de manera més senzilla? Per tant: Truc: Un Día Ví Una Vaca Solitària Vestida De Uniforme.
Evidentment, la tria de quina funció fa el paper de la u i quina la de dv serà convenientment la opció més simple per a càlculs posteriors.
Truc: Existeixen diverses dites mnemotècniques, com ara ALPES: on la funció u serà d'ambdues la que s'enumera primer seguint el següent ordre: Arcosinus, arcoosinus..., Logaritmes, Polinomis, Exponencials, Sinus, cosinus, tangent...
Exemples: 1) (1) Prenem: 107 Llúcia Mauri Masdeu 2) (1) Prenem: (2) Prenem: (Quan fem un altre canvi de variable intentem que sigui semblant a l’anterior) q 5.2 Integral definida Al tema anterior hem vist que la derivada d’una funció té una interpretació geomètrica en concret. Encara que la integral és el procés invers a la derivada, aquesta parteix d’una interpretació geomètrica molt diferent.
Mentre que la derivada ens indica el creixement o decreixement d’una funció, la integral definida ens mesura l’àrea d’una regió delimitada per aquesta funció.
Així, definim la integral definida d’una funció f(x), entre x=a (punt inicial) i x=b (punt final), com l’àrea compresa entre la funció i l’eix d’abscisses, i la denotarem i la calcularem de la manera següent: en què F(a) i F(b) són els valors de la primitiva de f(x) en els punts x=a i x=b respectivament.
108 Matemàtiques I Vegem-ho amb un exemple: Exemple: 4 Sigui f ( x) = x la funció representada següent: 3 Imatge 46 Imatge 47 Observem que tenim un triangle i l’àrea d’aquest segons fórmules geomètriques és la següent: unitats Observem quan ens dóna si fem la integral de la funció entre els punts x=0 i x=3: unitats Càlcul de l’àrea d’un recinte Observem l’exemple següent: Exemple: 4 3 Sigui f ( x) = x 109 Llúcia Mauri Masdeu Imatge 48 Imatge 49 Imatge 50 Volem calcular l’àrea entre x=–3 i x=3: unitats Observem que això no pot ser. A més, veiem que: unitats unitats L’àrea d’un regió mai no pot ser negativa! D’aquí observem que el signe negatiu no ens indica una àrea negativa, sinó que ens diu que ens trobem per sota de l’eix d’abscisses.
Així, per determinar l’àrea del conjunt dels dos triangles, haurem de prendre el valor absolut del valor de les integrals. D’aquí ve la importància de determinar on ens talla la nostra funció l’eix d’abscisses. Per poder calcular correctament l’àrea: Per tant: Àrea= unitats Càlcul de l’àrea entre dues corbes Suposem ara que tenim dues funcions diferents f(x)i g(x). I volem calcular l’àrea que hi ha entre aquestes dues.
110 Matemàtiques I Vegem-ho amb un exemple: Exemple: Sigui dues funcions: i . Volem calcular l’àrea compresa entre les Imatge 51 f(x) la línia blava g(x) la línia verda Com ho hem de fer? Calculem f(x)–g(x).
Busquem els punts on es tallen aquestes funcions, és a dir, onf(x)–g(x)=0.
i Calculem l’àrea d’aquesta funció amb extrems els punts de tall.
unitats 111 ...