Problemes de magnetisme (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2014
Páginas 5
Fecha de subida 18/05/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Fonaments F´ısics de l’Enginyeria Departament de F´ısica i Eng. Nuclear (EUETIT, UPC) Magnetisme Forc¸a de Lorentz 1. Trobeu la forc¸a magn`etica que actua sobre un prot´o que es mou a 4.46 Mm/s en el sentit positiu de l’eix X en el si d’un camp magn`etic de 1.75 T dirigit en el sentit positiu de l’eix Z.
Sol.: −1.25 × 10−12 j N 2. Un electr´o es mou a 3.75 M m/s en el pla XY formant un angle de 60◦ amb l’eix X i 30◦ amb l’eix Y . Un camp magn`etic de 0.85 T est`a dirigit en el sentit positiu de l’eix Y. Trobeu la forc¸a que actua sobre l’electr´o.
Sol.: −2.55 × 10−13 k N 3. Un conductor llarg paral·lel a l’eix X transporta un corrent de 8.5 A en el sentit positiu de l’eix X.
Existeix un camp magn`etic uniforme B = 1.65j T .
Trobeu la forc¸a per unitat de longitud del conductor.
Sol.: 14.025 N/m 4. Un conductor recte, r´ıgid i horitzontal de 25 cm de llarg i 50 g de massa est`a connectat a una font de f.e.m. per conductors flexibles. Un camp magn`etic de 1.33 T es col·loca horitzontal i perpendicular al conductor. Trobeu la intensitat de corrent necess`aria per fer surar el conductor, e´ s a dir, de manera que la forc¸a magn`etica equilibri el pes del filferro.
Sol.: 14.74 A 5. Sigui un fil de longitud l situat paral·lelament a l’eix y pel qual hi circula una intensitat I en el sentit y positiu. El fil est`a situat a un camp magn`etic constant. El vector B est`a contingut al pla Y Z i forma 45◦ amb l’eix y. Quina e´ s la forc¸a total que actua sobre el fil? (Recorda que es tracta d’una magnitud vectorial i que per tant no n’hi ha prou amb donar el m`odul).
Moviment en un camp magn`etic 6. Una part´ıcula alfa (c`arrega +2e) es mou en una traject`oria circular de radi 0.5 m en l’interior d’un camp magn`etic de 1 T . Trobeu: (a) el per´ıode (b) la velocitat (c) l’energia cin`etica (en electronvolts) de la part´ıcula alfa.
Considereu la massa de la part´ıcula alfa de 6.65 × 10−27 Kg.
Sol.: 1.3 × 10−7 s, 2.4 × 107 m/s, 1.2 × 107 eV 7. Un feix de protons es mou amb velocitat v = 3j + 2k m/s i entra a una regi´o on hi ha un camp magn`etic uniforme B = 1.5j T , descrivint una h`elix.
(a) Trobeu el per´ıode de gir dels protons, el radi de la seva traject`oria i el n´umero de revolucions per segon.
(b) Calculeu la dist`ancia a l’eix Y recorreguda pels protons durant una volta.
Sol.: 1.39×10−8 m, 4.37×10−8 s, 2.29×107 Hz, 1.31 × 10−7 m 8. Una part´ıcula positiva passa per l’origen de coordenades, amb velocitat paral·lela a l’eix Y i en el sentit positiu, en una regi´o de l’espai on hi ha camps B i E uniformes, de 0.01T i 1000V /m respectivament, dirigits segons l’eix X i en sentit positiu. Sabent que al cap de un periode la part´ıcula passa per (2, 0, 0) m, calculeu la relaci´o c`arrega– massa de la part´ıcula i el valor del periode.
Sol.: 1.01 × 10−8 kg/C, 6.4 × 10−6 s 9. Una part´ıcula carregada de massa m i c`arrega q > 0 entra a una regi´o a on hi ha un camp magn`etic uniforme B = (0, 0, B) amb una velocitat inicial v(0) = (0, vy , −vz ). Quina ser`a la seva velocitat v(t) a l’instant t = πm qB ? Deixa-la indicada en funci´o de vy , vz i les altre dades que creguis convenient.
10. Una part´ıcula α (c`arrega 2|e|, massa 6.64×10−27 kg) que es mou amb una velocitat 107 m/s en la direcci´o i sentit de l’eix y, entra sota l’acci´o d’un camp magn`etic B = −i + 3j T .
(a) Determineu la forc¸a que actua desviant la seva traject`oria.
(b) Calcula el radi i la freq¨ue` ncia del moviment tipus ciclotr´o que descriu la part´ıcula.
Aplicacions 11. S’utilitza un espectr`ometre de masses per examinar is`otops d’urani. Els ions del feix surten del selector de velocitats amb una velocitat de 3.0 × 105 m/s i entren en un camp magn`etic uniforme de 0.6T dirigit en forma perpendicular a la seva velocitat. Quina e´ s la dist`ancia entre els punts d’impacte formats sobre la placa fotogr`afica pels ions de 235 U i 238 U ? Considera que la seva c`arrega e´ s de 1.6 × 10−19 C i que les seves masses s´on de 3.91 × 10−25 kg i 3.96 × 10−25 kg, respectivament.
Sol.: 0.02 m 12. Un ciclotr´o per accelerar protons t´e un camp magn`etic de 1.4 T i un radi de 0.7 m.
(a) Quina e´ s la freq¨ue` ncia de ciclotr´o? (b) Trobeu l’energia m`axima dels protons en sortir del ciclotr´o.
(c) En qu`e variaria la resposta a aquest exercici si f´essim servir deuterons, que tenen la mateixa c`arrega per`o doble massa que els protons? Sol.: 4.27 × 107 Hz, 2.9 × 1026 eV , f /2, K/2 13. El camp magn`etic d’un ciclotr´o e´ s de 2 T i el seu radi e´ s 1m. Si s’utilitza per accelerar protons (relaci´o c`arrega–massa: 9.58 × 107 C/kg) digues quina e´ s la velocitat m`axima que assoleixen.
14. La cinta de metall de la figura 1 t´e una amplada de 2 cm i un gruix de 0.1 cm. Transporta un corrent de 20 A i est`a situada en un camp magn`etic vertical de 2 T . La forc¸a electromotriu de Hall e´ s mesura en 4.27 µV . Calculeu: la difer`encia de potencial entre els extrems d’un di`ametre de l’art`eria? Sol.: 1 mV 16. Es vol realitzar un sensor de camp magn`etic basat en l’efecte Hall. Amb aquesta finalitat, es vol utilitzar una cinta de 0.2 mm d’alc¸ada, 1 cm d’amplada i 5 cm de longitud. Tenim una font que quan e´ s connecta a la cinta proporciona una intensitat de 1 A. Volem que el voltatge de Hall sigui de 0.1 µV quan el camp magn`etic, perpendicular a la cinta, sigui de 0.1 T (a) Quina densitat d’electrons haur`a de tenir el material de la cinta? (b) Quina velocitat tindran els electrons a la cinta? 17. La cinta de la figura 2 es connecta a una font d’alimentaci´o de manera que s’estableix un corrent que va de la cara a a la cara b. Si els portadors de c`arrega s´on negatius, indica la polaritat del voltatge de Hall a les cares c i d. Si per comptes de connectar els electrodes a les cares a i b els connectem a les cares c i d, de manera que la intensitat sigui la mateixa d’abans, en quin factor augmenta o disminueix el voltatge de Hall (que ara s’estableix entre les cares a i b).
B d a (a) la velocitat de desplac¸ament dels electrons a la cinta b d1 c d3 d2 (b) el camp el`ectric de Hall (c) indiqueu entre quins costats s’ha establert la difer`encia de potencial.
Figura 2: Problema 17.
Fonts del camp magn`etic B 18. Trobeu el camp magn`etic en el punt P de la figura 3.
2 cm I 1cm 8A Figura 1: Problema 14.
1 cm Sol.: 1.07 × 10−4 m/s, 2.135 × 10−4 N/C 15. La sang cont´e ions carregats de manera que quan es mou desenvolupa una tensi´o de Hall a trav´es del di`ametre d’una art`eria. Si una art`eria gruixuda amb un di`ametre de 0.85cm t´e una velocitat de flux sanguini de 0.6 m/s i un secci´o d’aquesta art`eria est`a sotmesa a un camp magn`etic de 0.2 T , quina ser`a Figura 3: Problema 18.
Sol.: 2.26 × 10−4 T 19. Quant val el camp magn`etic en el punt P de la figura 4? Sol.: 41 µ0 I 1 r1 − 1 r2 22. Siguin dos conductors molt llargs, paral·lels a l’eix X recorreguts per intensitats I1 = 1 A i I2 = 2 A i que passen pels punts (0, 0, 3) m i (0, 3, 0) m, respectivament. Un tercer conductor e´ s paral·lel als altres dos i passa per l’origen de coordenades.
Transporta un corrent de 4 A en el sentit indicat a la figura 7. Trobeu I R2 R1 P (a) el camp magn`etic a l’origen de coordenades creat pels dos primers conductors.
Figura 4: Problema 19.
20. Considereu el circuit de la figura 5, recorregut per una intensitat I = 1 A. Trobeu el camp magn`etic en el punt P (centre de la semicircumfer`encia).
(b) la forc¸a per unitat de longitud exercida sobre el tercer conductor.
z I1 = 1 A I 3 cm P 2 cm 4 cm 2 cm I 2= 2 A Figura 5: Problema 20.
I 3= 4 A y Sol.: 7.36 × 10−6 T 21. Considereu el camp magn`etic creat per les vies de tren electrificades segons l’esquema de la figura 6.
Si cada via transporta un corrent I = 250 A i estan separades 2 m, calculeu (a) El camp magn`etic que creen a l’origen de coordenades (b) La forc¸a per unitat de longitud que fa una via sobre l’altra (c) La forc¸a que fa el camp magn`etic sobre un electr´o situat al punt P (0, 0, 2) que t´e una velocitat v = 80i km/h Considera que la c`arrega de l’electr´o e´ s e = −1.6× 10−19 C.
Sol.: (2/3 × 10−7 , 4/3 × 10−7 ) T , (5.33 × 10−7 , −2.67 × 10−7 ) N/m 23. Un corrent rectilini d’intensitat 10 A e´ s paral·lel a l’eix Z (sentit: positiu) i passa pel punt (0, 2, 0) m.
Un altre corrent t´e una intensitat de 5 A, e´ s paral·lel a l’eix Y (sentit: positiu) i passa pel punt (3, 0, 0) m.
(a) El camp magn`etic a l’origen de coordenades.
(b) La forc¸a que actua sobre una c`arrega de 2 nC i velocitat 300i m/s situada a l’origen de coordenades.
24. Un corrent indefinit rectilini segueix l’eix de coordenades Z i t´e sentit cap a z positiu. El centre d’una espira de 1 m de radi est`a situat al punt P (0, 2, 0) m. El pla de l’espira e´ s el pla XY . El corrent rectilini e´ s de 2 A i per l’espira circula un corrent de 1 A en sentit antihorari vist des de la part positiva de l’eix Z (veure figura 8).
z I Figura 7: Problema 22.
I O Figura 6: Problema 21.
(a) Calcula el camp magn`etic al centre de l’espira.
y (b) La forc¸a sobre un electr´o de velocitat (0, 106 , 0) m/s que passa pel punt P (0, 2, 2) m.
I I α d1 I I 1A 2A d2 I I I Figura 10: Problema 28.
Figura 8: Problema 24.
25. Dos conductors rectilinis paral·lels, de gran longitud, estan separats 100 cm. Condueixen corrents de 1 A i 0.2 A en sentits oposats. Determina els punts en els que el camp magn`etic total e´ s igual a 0.
26. Siguin 2 corrents rectilinis i paral·lels que van en el mateix sentit, separats 3 m. El primer corrent te una intensitat I1 = 1 A i el segon en t´e una I2 = 2 A. Un tercer corrent rectilini i paral·lel als dos anteriors, de 3 A, est`a situat en el pla que formen, a una dist`ancia d1 del primer corrent i d2 del segon corrent. Calcula aquestes dist`ancies si la forc¸a sobre el tercer corrent e´ s nul·la.
29. Trobeu el camp magn`etic en el centre d’una espira quadrada de costat a per la qual passa un corrent I.
Calculeu aquest camp per a I = 6 A i a = 15 cm.
Dibuixeu el sentit del corrent i la direcci´o de B en el centre de l’espira.
Sol.: 9 × 10−6 i T 30. Un fil recte molt llarg, representat a la figura 11, transporta I = 20 A. Una espira rectangular amb dos dels seus costats paral·lels al fil t´e de costats 5 i 10 cm, amb el costat m´es proper situat a 2 cm del fil. Per l’espira circula un corrent de I = 5 A.
Trobeu la forc¸a que fa el fil sobre cada costat de l’espira i la forc¸a neta sobre tota l’espira.
27. Tres fils rectes molt llargs i paral·lels passen pels v`ertexs d’un triangle equil`ater de 10 cm de costat, com es mostra a la figura 9, on el punt indica que el corrent surt del paper i la creu que hi entra. Trobeu: (a) El camp magn`etic en el centre del triangle.
(b) La forc¸a per unitat de longitud en el fil superior.
I 1A 10 cm I’ 10 cm 1A 1A 10 cm Figura 11: Problema 30.
Figura 9: Problema 27.
Sol.: 7 × 10−6 j T , 3.46 × 10−6 N 28. Calcula el camp magn`etic total al centre de les dues espires de la figura 10 en funci´o de I, d1 i d2 .
Tingues en compte que l’angle α val 30◦ .
Sol.: 1×10−4 N , −0.29×10−4 jN , 2.5×10−5 kN , −2.5 × 10−5 k N , 0.71 × 10−4 j N 31. Una bobina t´e una secci´o circular de 260 mm2 i una longitud de 150 mm.
(a) Si el camp magn`etic al seu interior e´ s de 1.8 mT , per a un corrent de 0.75 A, quantes voltes t´e la bobina? (b) Quina llargada de filferro conductor s’ha gastat per construir-la? (c) Quan val el flux magn`etic a trav´es de la secci´o de la bobina? Sol.: 286, 16.35 m, 1.34 × 10−4 W b 32. Dos filferros paral·lels, rectes i llargs estan separats 15 mm i transporten corrents iguals.
(a) si la forc¸a que un d’ells exerceix sobre un boc´ı de 250 mm de l’altre filferro e´ s de 0.93 mN , quin corrent transporten els filferros? (b) si dupliquem el corrent, en quin factor canviar`a la forc¸a? Sol.: 16.7 A, 4 33. Es considera la possibilitat de construir una balanc¸a de precissi´o basada en la forc¸a d’Ampere. Es tracta de substituir les peses de la balanc¸a per la forc¸a que fa un fil rectilini uniforme fix sobre un altre, solidari a la balanc¸a i situat de forma paral·lela a l’anterior. Els dos fils tenen una longitud de 10 cm, estan situats a 1 mm de dist`ancia i per ambd´os fils hi circula el mateix corrent, que es mesura amb l’ajuda d’un amper´ımetre que suporta un m`axim de 20 A i detecta un m´ınim de 0.01 A. A quines forces entre els fils corresponen aquestes marcacions? Teorema d’Ampere 34. Una capa cil´ındrica molt prima de radi R transporta un corrent I. Trobeu B en l’interior i l’exterior del cilindre.
Sol.: 0, µ0 I/2πr 35. Un cable de 0.5 cm de radi transporta un corrent de 100 A distribu¨ıt uniformement en la seva secci´o transversal. Determineu el camp magn`etic que crea: (a) A 0.1 cm del centre del cable.
(b) En un punt exterior a 0.2 cm de la superf´ıcie del cable.
(c) En la superf´ıcie del cable.
(d) Representeu B en funci´o a la dist`ancia al centre del cable.
Sol.: 0.8 × 10−3 T , 2.86 × 10−3 T , 4 × 10−3 T ...