Tema 1 SSIS (2016)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Senyals i sistemes - SIS
Año del apunte 2016
Páginas 8
Fecha de subida 24/06/2017
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

SSIS NR Tema 1: Introducció  Transformació de la variable independent: • • 𝑡0 < 0 → 𝐴𝑣𝑎𝑛ç𝑎 Desplaçament: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 𝑡0 ) 𝑡0 > 0 → 𝑅𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎 Reflexió: 𝑦(𝑡) = 𝑥(−𝑡) L’escalat per el discret és un • 𝑎 < 0 → 𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó Escalat: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑎𝑡) un punt 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡 𝑖 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 Escalat Gir Gir ❖ Definició per a senyals: • Parell: • Imparell: • Periòdics: Escalat 𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡) Part Parella: {𝑥(𝑡)} = • 𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑁𝑇)  Energia i Potència: 𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡) 2 Part Imparella: {𝑥(𝑡)} = 𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) 2 𝐸 → ∞ 𝑙𝑎 𝑃 = 0 • Energia: ∞ ∞ 𝐸𝑥 = ∫ |𝑥(𝑡)|2 · 𝑑𝑡 −∞ → 𝐸𝑥 = ∑ |𝑥[𝑛]|2 𝑛=−∞ • Potència: 1 Desplaç ament 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 𝑛𝑜𝑚è𝑠 • 𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝑥[𝑎𝑛] agafem cada “a” vegades 𝑎 > 0 → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖ó Desplaç ament “muetsreo” SSIS NR ∞ 𝑇 1 ⁄2 𝑃𝑥 = lim ∫ |𝑥(𝑡)|2 · 𝑑𝑡 𝑇→∞ 𝑇 −𝑇⁄ → 2 1 𝑃𝑥 = lim ∑ |𝑥[𝑛]|2 𝑛→∞ 2𝑁 + 1 𝑛=−∞  Senyals Bàsics Temporal: 1 𝑢(𝑡) { 0 Graó Unitari Sign 𝑢(𝑡) { Rectangular Π( t−c ) 𝐷 𝑡≥0 𝑡<0 1 𝑡>0 −1 𝑡 < 0 T=D 𝑡 | |≤0 2 𝑡 | |>0 2 1 t Π( ){ 𝑇 0 𝑇 𝑇 u (t + ) − u (t − ) 2 2 c T Triangular t−c ∆( ) 𝐷/2 Sinc t 1 − |𝑡| Δ( ) = { 𝑇 0 |𝑡| < 1 resta 2T = D 2T 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡) = sin 𝜋𝑡 𝜋𝑡 2 SSIS NR ∞ 𝑥(0) = ∫ 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡)𝑑𝑡 Delta ∞ −∞ ∫ 𝛿(𝑡)𝑑𝑡 = 1 −∞  Senyals Bàsics Discret: Graó Unitari Sign 1 𝑢[𝑛] { 0 𝑛≥0 𝑛<0 1 𝑛>0 𝑢(𝑡) { 0 𝑛 = 0 −1 𝑛 < 0 𝑠𝑖𝑔𝑛[𝑛] = u[𝑛] − u[−n] Rectangular N 2 N |𝑛| > 2 1 |𝑛| ≤ n Π[ ] { 𝑁 0 u[𝑛] − u[n − L] Triangular Sinc 𝑛−𝑀+1 n 1 − Δ( ) = { 𝑀 𝑁 0 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡) = 0<𝑛 <𝐿−1 resta sin 𝜋𝑡 𝜋𝑡 3 SSIS Delta NR 1 𝛿(𝑛) = { 0 n=0 n≠0  Propietats de la Delta: Delta & Graó  Definició del sistema Un sistema és un procés que transforma un senyal x(t) en un altre y(t).
4 SSIS NR Propietats: • Linealitat : 𝑦(𝑡) = 𝑇[𝑥(𝑡)] 𝑇[𝑥(𝑡 − 𝑡0 )] 𝑇[𝑎 · 𝑥1 (𝑡) + 𝑏 · 𝑥2 (𝑡)] = 𝑎 · 𝑇[𝑥1 (𝑡)] + 𝑏 · 𝑇[𝑥2 (𝑡)] = 𝑎 · 𝑦1 (𝑡) + 𝑏 · 𝑦2 (𝑡) = 𝑥(2(𝑡 − 𝑡0 )) • Invariança : 𝑇[𝑥(𝑡 − 𝑡0 )] = 𝑦(𝑡 − 𝑡0 ) 𝑦(𝑡) = 𝑥(2𝑡) • Causalitat : No depèn de valors futurs de l’entrada 𝑥(𝑡) = 0 → 𝑦(𝑡) = 𝑇[𝑥(𝑡)] = 0 𝑦(𝑡 − 𝑡0 ) = 𝑥(2𝑡 − 𝑡0 ) ) • Estabilitat : Entrada fitada li correspon una sortida fitada |𝑥(𝑡)| ≤ 𝐵 → |𝑦(𝑡)| ≤ 𝐵 • Memòria : Per calcular y(𝑡0 ) amb 𝑡0 arbitrari, calen valors de l’entrada passats o futurs.
• Invertibilitat : Un sistema és invertible si entrades diferents donen lloc a sortides diferents.
 Definició de resposta impulsional per a sistemes lineals i invariants La sortida d’un sistema lineal i invariant (LI) a la funció delta de Dirac es coneix com a resposta impulsional.
• Convolución: ∞ 𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏) ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) −∞ Propietats SLI: 5 SSIS NR • Causalitat : ℎ(𝑡) = 0 𝑝𝑒𝑟 𝑡 < 0 • Estabilitat : • Memòria : ∞ ∫−∞|ℎ(𝑡)|𝑑𝑡 < ∞ ℎ(𝑡) ≠ 𝑘 𝛿(𝑡) Exemple Convolució Continua: 6 SSIS NR Exemple Convolució Discret: 7 SSIS NR Propietats que han de complir totes les convolucions gràfiques: - Temps: 𝑡𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑡𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑥(𝑡) + 𝑡𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 ℎ(𝑡) 𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑥(𝑡) + 𝑡𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 ℎ(𝑡) - Durada: 𝐷𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑑𝑥(𝑡) + 𝑑ℎ(𝑡) - Àrea: À𝑟𝑒𝑎 = 𝐴𝑥(𝑡) · 𝐴ℎ(𝑡) - Centroide: ∞ 𝐶𝑥(𝑡) = ∫−∞ 𝑡 · 𝑥(𝑡) · 𝑑𝑡 À𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑥(𝑡) 8 → 𝐶𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐶ℎ(𝑡) ...

Tags: