Examen Parcial Abril 2013 (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Señales y Sistemas
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 08/04/2015
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ETSETB   Control  SIS   2  abril  2013     No  se  permiten  libros,  apuntes,  calculadoras,  móviles  etc.    Duración  2  horas   _________________________________________________________________________________________     1.  ¿qué  es  un  sistema  causal?  (1p)   Un sistema es causal si la salida en cualquier instante determinado no depende de valores futuros de la entrada. (pag 22 notas de clase)   2.  ¿qué  condición  debe  cumplir  la  respuesta  impulsional  de  un  sistema  lineal  e   invariante  causal?.  Demuéstrelo.  (1p)   Pag  33-­‐34  notas  de  clase     3.  ¿qué  es  un  sistema  estable?  (1p)   Un sistema es estable si para cualquier entrada acotada, la salida está acotada. Pag 21 Notas de clase   4.  ¿qué  condición  debe  cumplir  la  respuesta  impulsional  de  un  sistema  lineal  e   invariante  estable?.  Demuéstrelo.  (1p)   Pag  34  notas  de  clase     5.  Sea  un  sistema  lineal  e  invariante  con  respuesta  impulsional  ℎ ! = (!).  ¿es   causal?,  ¿es  estable?  (1p)     No  es  causal  porque  no  cumple  h(t)  =0  t<0   Es  estable  porque  h(t)  es  módulo  integrable   ! !.! ℎ ! !" = !! !" = 1   !!.!     6.  Calcule  la  salida  y(t)=x(t)*h(t)  si  a  la  entrada  del  sistema  lineal  e  invariante  con   respuesta  impulsional  ℎ ! = (!)  se  aplica  ! ! = ∆ ! !(−!)  (3p)     -­‐∞<t<-­‐1.5     y(t)  =  0   -­‐1.5<t<-­‐0.5    ! ! = !!!.! !! ! + 1 !" = ! ! ! + ! ! + !   -­‐0.5<t<0.5    ! ! = ! !!!.! ! + 1 !" = − ! ! ! − ! ! + !   0.5<t<∞      y(t)=0   ! ! ! ! ! !   7.  Demuestre  que  si  y(t)=x(t)*h(t)  y  h(t)  es  par,       par{x(t)}*h(t)=par{y(t)}  (1p)     par{x(t)}*h(t-­‐t0)=(1/2){y(t-­‐t0)+y(-­‐t+t0)}  (1p)     par{x(t)}*h(t)=1/2  x(t)*h(t)  +1/2  x(-­‐t)*h(t)  =1/2  x(t)*h(t)  +1/2  x(-­‐t)*h(-­‐t)         ya  que  h(t)=h(-­‐t)   ∞ x −t ∗ h −t = ! − ! − ! ℎ(−!)!!   !∞ hacemos  el  cambio  -­‐τ=t’   ! ! ! − ! − ! ℎ(−!)!" = !! ! −! − !′ ℎ(!′)!! ! = !(−!)   !!   Sustituyendo   par{x(t)}*h(t)=  1/2[y(t)+y(-­‐t)]=par{y(t)}     Para  la  segunda  demostración:     par{x(t)}*h(t-­‐t0)=  par{x(t)}*h(t)*  !  (t-­‐t0)=  (1/2){y(t)+y(-­‐t)}*  !  (t-­‐t0)=                    =(1/2){y(t-­‐t0)+y(-­‐(t-­‐t0))}=  (1/2){y(t-­‐t0)+y(-­‐t+t0)}     8.  Demuestre  la  propiedad  conmutativa  de  la  convolución  de  secuencias:     x[n]*h[n]=h[n]*x[n]  (2p)   ! ! ! ∗ℎ ! = ! ! ℎ[! − !]   !!!! Hacemos  el  cambio  de  variable  n-­‐k=m   ! ! ! ! ℎ[! − !] = !!!! ! ! − ! ℎ[!] = ℎ ! ∗ ![!]   !!!!     9.  Sea  una  señal  x[n]  que  se  aplica  a  dos  sistemas  lineales  e  invariantes  en  cascada     como  muestra  la  figura  con  respuestas  impulsionales  h1[n]  y  h2[n]  con   ! ! = ! ! − !" ! − 1   ℎ1 ! = !"#  8!   ℎ2 ! = !! ![!]   Hallar  la  salida  y[n]=x[n]*h1[n]*h2[n]  (3p)     x[n]*h2[n]=  !! ! ! − !  !!!! ! ! − 1 = !! ! ! −!! ! ! − 1 =     ! = ! ! ! − ! ! − 1 = !! ! ! = !! ! ! = ! !     y[n]=  ! ! ∗ ℎ1 ! = ! ! ∗ !"#  8! = !"#  8!     Nota:  utilice  las  propiedades  asociativa  y  conmutativa  de  la  convolución  para   realizar  las  convoluciones  en  el  orden  más  simple  posible.       y[n]     x[n]   h1[n]   h2[n]   ...