Infimo y supremo (2017)

Apunte Español
Universidad Universidad Complutense de Madrid (UCM)
Grado Matemáticas y Estadística - 1º curso
Asignatura Analisis de Variable Real
Año del apunte 2017
Páginas 1
Fecha de subida 08/07/2017
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Breve resumen con los conceptos de infimo y supremo

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MAXIMOS, MINIMOS Y COTAS DEFINICIÓN. Sea A un conjunto con una relación de orden ≤≤ y sea a∈A. Se dice que a es elemento máximo o último elemento de A, si x≤a para todo x∈A. Se dice que a es elemento mínimo o primer elemento de A si a≤x para todo x∈A.
TEOREMA. Sea A un conjunto con una relación de orden ≤ El máximo (mínimo), si existe, es único.
DEFINICIÓN. Sea A un conjunto con una relación de orden ≤ y sea B⊂A. Se dice que a es cota superior de B, si x≤a para todo x∈B. Se dice que a es cota inferiorde B, si a≤x para todo x∈B.
DEFINICIÓN. Sea A un conjunto con una relación de orden ≤, y sea B⊂A. Si B posee alguna cota superior (inferior), se dice que B está acotado superiormente(inferiormente). Si B está acotado superior e inferiormente, se dice que B está acotado.
SUPREMO, INFIMO DEFINICIÓN. Sea A un conjunto con una relación de orden ≤ y sea B⊂A. Se dice que e∈A es extremo superior o supremo de B, si y sólo si: (i) e es cota superior de B.(ii) Si a es cota superior de B, entonces e≤a Es decir, el extremo superior de un conjunto es la menor de las cotas superiores.
Análogamente, se dice que e∈A es extremo inferior o ínfimo de B, si y sólo si: (i) e es cota inferior de B. (ii) Si a es cota inferior de B, entonces a≤e. Es decir, el extremo inferior de un conjunto es la mayor de las cotas inferiores.
DEFINICIÓN. Sea A un conjunto con una relación de orden ≤, y sea m∈A. Se dice que mm es elemento maximal de A, si y sólo si, no existe x∈A con x≠m tal que m≤x. Equivalentemente, no existe x∈A tal que m<x.
Análogamente, se dice que mm es elemento minimal de A, si y sólo si, no existe x∈A con m≠x tal que x≤m. Equivalentemente, no existe x∈A tal que x<m.
Si mm es elemento máximo de A, es claro que es elemento maximal pues x≤m para todo x∈A. Sin embargo, un elemento mm puede ser maximal y no ser máximo. Análogas consideraciones para los elementos mínimo y minimal.
TEOREMA. El supremo (ínfimo) de un conjunto, si existe, es único.
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