Tema 2: Funcions de diverses variables (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 13
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 9
Subido por

Descripción

Continuïtat de funcions,Càlcul de derivades parcials,Elasticitat parcial

Vista previa del texto

Tema 2: Funcions de diverses variables 2.1 Continuïtat de funcions Conceptes bàsics t'VODJØFTDBMBSPSFBMEFn variables reals: És una aplicació tal que: R R t'VODJØWFDUPSJBMEFn variables reals: És una aplicació tal que: R R on és un vector de  i escalars que anomenarem funcions components.
són un conjunt de funcions Exemples: 1) R R Aquesta funció és escalar, ja que la imatge de qualsevol vector de R 2 és un escalar.
Per exemple, si busquem la imatge dels vectors (1, 2) i (4, –3): 21 Llúcia Mauri Masdeu 2) R R Aquesta funció és vectorial, ja que la imatge de qualsevol vector de R 2 és un vector. Per exemple, si busquem la imatge dels vectors (1, 2) i (4, –3): A més, aquesta funció vectorial conté tres funcions components: Domini: Definim el domini d’una funció de diverses variables  tersecció dels dominis de cadascuna de les funcions components.
{ } Dom f = x ∈ R n | ∃f ( x) ⊆ R m on Exemple: 1) Per tant, tenim que: Llavors, 22  , com la in- Matemàtiques II Gràficament: Imatge 1 Imatge 2 Imatge 3 Imatge 4 Imatge: Definim la imatge de  com:  { f ( A) = Im f = y ∈ R m | ∃x ∈ R n , f ( x ) = y } Exemple: 1) Gràfica: Definim la gràfica de   com el conjunt de punts  23 Llúcia Mauri Masdeu Exemple: 1) f ( x, y )  x 2 y 2 Imatge 5 Corbes de nivell:   i una constant kDR. Anomenem corba Donada una funció escalar de nivell k de la funció f i la denotarem per C k , al conjunt: R | Imatge 6 Imatge 7 Nota: En l’àmbit econòmic alguns exemples de corbes de nivell són les corbes d’indiferència, les isoquantes...
24 Matemàtiques II Recordem: , on m és el pendent i n l’ordenada a l’origen.
t Recta t Circumferència: (x–a)2+(y–b)2=r2, on (a, b) és el centre i r el radi.
Exemples: 1) Imatge 8 Imatge 9 Imatge 10 Igualem la funció a k i aïllem la y: Donem valors a la k i observem que obtenim rectes: 2) f ( x, y )  x 2 y 2 Imatge 11 Imatge 12 Imatge 13 Igualem la funció a k i observem que obtenim una circumferència de radi k : 25 Llúcia Mauri Masdeu x 2 y 2  k on Donem valors a la k i observem que obtenim circumferències: NO!!! Límits de funcions El concepte de límit de funcions de diverses variables és anàleg al de funcions d’una variable. És a dir, volem saber cap a on tendeix una funció quan ens acostem a un cert punt.
Per calcular límits de diverses variables procedirem de la mateixa manera que en el cas de funcions d’una variable real. Però, si obtenim algun tipus d’indeterminació haurem de plantejar-nos l’existència o no existència d’aquest límit.
Exemples: 1) 2) 3) ? Límits direccionals Imatge 14 A les funcions reals d’una variable real sols podíem aproximar-nos a un punt per la dreta o per l’esquerra, però, quan estem en un espai de dimensió més gran amb funcions de diverses variables, hi ha camins infinits per apropar-nos a un punt en concret.
26 Matemàtiques II Llavors, si les formes d’aproximar-nos a un punt són infinites, per tal que existeixi el límit han d'existir tots els límits sobre qualsevol trajectòria i, a més, aquests han de coincidir.
Però no és possible calcular-los tots! Llavors, donarem una eina per assegurar la no-existència de límit, o en cas que existeixi ens donarà una idea de quin seria el seu valor.
Podem aproximar-nos de moltes maneres a un punt, ja sigui mitjançant rectes, paràboles,... Però ho farem amb coordenades polars.
Coordenades polars: Les coordenades polars defineixen una posició a partir d’un angle e i d’un mòdul (o norma) r. Vegem quina relació hi ha entre coordenades cartesianes i coordenades polars: on i Imatge 15 Nota: Recordem sin2 e+cos2 e=1 Exemples: 1) (1) Canvi amb coordenades polars: (2) Utilitzem la propietat: Aquest límit no existeix, ja que depèn del paràmetre e 27 Llúcia Mauri Masdeu 2) (1) Canvi amb coordenades polars: (2) Utilitzem la propietat: Continuïtat de funcions   éés contínua si ho és en cada funció component; Direm que una funció és a dir, si les funcions fi, on i=1,...,m són contínues.
  és contínua en un punt x0DA, si el límit Direm que una funció quan x tendeix a x0 i el valor de la funció en el punt x0 coincideixen, és a dir: Per tant, una funció fi serà contínua si ho és en tots els punts x0DRn.
Exemple: 1) Considerem la funció: La funció f(x, y) està definida a trossos, per a (x, y)&(0, 0) correspon la funció , que és contínua en tots els punts menys els que anul·len el denominador, però el punt (0,0) no pertany al domini de definició, llavors és contínua. Per a (x, y)(0, 0) és la funció constant 0 que sempre és contínua. Ara sols ens cal estudiar què passa al punt de tall, vegem si el límit de la funció quan tendeix a (0,0) coincideix amb el valor f(0, 0): 28 Matemàtiques II (1) Canvi amb coordenades polars: (2) Utilitzem la propietat: f(0,0) = 0 Per tant, la funció f(x,y) és contínua en tots els seus punts de R2.
2.2 Càlcul de derivades parcials Sigui   una funció escalar.
Derivada parcial: Es denomina derivada parcial respecte la i-èsima component, o respecte la variable xi, de la funció f amb i = 1,...,n, a la derivada de la funció f considerant com a variable la xi i la resta de variables com a constants. Ho denotarem per: Altres notacions: , , , Exemples: Busquem totes les derivades parcials de les funcions següents: 1) 2) 3) 29 Llúcia Mauri Masdeu Gradient:   una funció de diverses variables i Sigui com: tor gradient de f , i el denotarem per , definim el vec- Exemple: 1) Matriu jacobiana:    una funció vectorial de diverses variables i , deSigui finim la matriu jacobiana de f com la matriu dels vectors gradients de les funcions comcom: ponents i ho denotarem per Exemple: 1) 30 Matemàtiques II Derivades parcials successives: Igualment com les funcions d’una variable on hi havia la derivada de la derivada, i així successivament, el mateix passa amb les funcions de diverses variables.
Per tant, podem definir la derivada parcial segona respecte la j-èsima component, o respecte la variable xj, de la funció parcial amb j = 1,...,n, com la derivada de la derivada considerant com a variable xj i la resta de variables com a constants. Ho denotarem per: Altres notacions: , , , Nota: Denotarem la propera expressió de la manera següent: Matriu hessiana:   una funció de diverses variables i Sigui com: triu hessiana de f, i ho denotarem per 31 , definim la ma- Llúcia Mauri Masdeu Exemple: 1) Considerem totes les derivades parcials de primer ordre: Busquem les derivades parcials segones: , , , Per tant, la matriu hessiana serà la següent: 2.3 Elasticitat parcial L’elasticitat és un concepte econòmic introduït per l’economista anglès Alfred Marshall, que ens serveix per quantificar la variació que experimenta una variable (dependent) en variar a una altra (independent). Per exemple, la variació de la quantitat de productes venuts en funció de la variació del preu.
Per tant, podem entendre l’elasticitat com una variació percentual o relativa. Quan teníem una funció d’una variable estava clar quina era la variable independent, però, amb les funcions de diverses variables què? D’aquí la necessitat de definir l’elasticitat parcial d’una funció de diverses variables, com la variació relativa provocada per un canvi relatiu d’una variable en tant que la resta de variables resten inalterades. Per tant: I I I ,f ( x ) x i E xi f ( x )  u I ,x i f ( x )  32 Matemàtiques II Exemple: 1) Calculem l’elasticitat parcial respecte la variable y de la funció següent, en el punt (2,1): Necessitarem calcular: i 33 ...