Formulari Parcial 1 (2017)

Resumen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura P.I.E. Probabilitat i Estadistica
Año del apunte 2017
Páginas 2
Fecha de subida 25/06/2017
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Idependents ≠ disjunts Tema 0 – Combinatoria 𝑃(3𝑎𝑠𝑜𝑠) = (Escullo) 𝑃(𝑡𝑟𝑖𝑜) = 𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 𝑟 𝑁1 − 𝑟 𝑁2 ∑ 1−𝑟 (4) #𝑐𝑜𝑚𝑏 3 𝑎𝑠𝑜𝑠 = 3 # 𝑐𝑜𝑚𝑏 3 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 (52 ) 3 𝑘=𝑁1 13 4 #𝑐𝑜𝑚𝑏 3 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑠 ( 1 )(3) = 52 # 𝑐𝑜𝑚𝑏 3 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 (3) 𝑃(𝐴𝑠 𝐴𝑠 𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑖 𝑟𝑒𝑖) = 𝑃(𝐴)𝑛 → Series y càlculs: 𝑁2 1 4 → 𝑃(4 𝑎𝑠) = 52 52 𝑃(1 𝑎𝑠) = (13 )(43) · (12 )(42) 1 1 (52 ) 5 num de vegades que hem de repetir l’esdevenim.
Propietats de operacions lògiques (Ordeno) 𝐴 ∪ 𝐵 → 𝑈𝑁𝐼Ó → 𝒐 𝐴 ∩ 𝐵 → 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝑆𝐸𝐶𝐶𝐼Ó → 𝒊 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) Tema 1 – Probabilitat: 𝑃(𝐴) 𝐴 ⊂ 𝑏 = 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵) Probabilitat condicionada: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) · 𝑃(𝐵) − 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) → 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑃𝐸𝑁𝐷𝐸𝑁𝑇: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) Probabilitat total: 𝑃(𝐴) = ∑𝑛𝑖=0 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) · 𝑃(𝐵𝑖 ) Fórmula de Bayes: 𝑃(𝐴|𝑥) = 𝑃(𝑥|𝐴)·𝑃(𝐴)+𝑃(𝑥|𝐵)·𝑃(𝐵)+ 𝑃(𝑥|𝐶)·𝑃(𝐶) ∞ 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) Funció densitat(C): 𝑓𝑋 (𝑥) = ∑𝑛𝑘=1 𝑃(𝑘) ∞ ∫−∞ 𝑓𝑋 (𝑥) Rang 𝑋 Bernoulli Indica si l’experiment té éxit o no {0,1} Binomial Num éxits en l’experiment CONTINUA Exponencial Uniforme {0,1, … 𝑛} 𝑛 = num vegades experiment 𝑥 = num vegades que pasa Num de esperiments que hem de fer per aconseguir el primer exit {1, … , ∞} 𝑛𝑢𝑚 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 {0,1, … , ∞} 𝑓𝑋 (𝑥) = 𝜆𝑒 [𝑎, 𝑏] Gaussiana (o normal) Error gaussiana  {0,1, … , ∞} 𝑑𝑥 = 1 𝐹𝑋 (𝑥) = 𝑥 ∫−∞ 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑃(𝑋) 𝑃(𝑋 = 0 = 𝑓𝑎𝑖𝑙) = 1 − 𝑝 𝑃(𝑋 = 1 = 𝑒𝑥𝑖𝑡) = 𝑝 𝑛 𝑃(𝑋 = 𝑥) = ( ) · 𝑝 𝑥 · 𝑞𝑛−𝑥 𝑥 𝑃(𝑋 = 𝑥) = (1 − 𝑝) 𝑥−1 ·𝑝 1 𝑃(𝑋) = 𝑒 −𝜆 · 𝜆 𝑥! 𝐹𝑋 (𝑥) −𝜆𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 1 {𝑏 − 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 0 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑓𝑋 (𝑥) = 𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥 · 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 Tª Esperança 𝐸(𝑔(𝑥)) = ∫ 𝑔(𝑥) · 𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 −∞ ∞ −∞ Variança General Variança Continua Variança Discreta 𝑑𝑥 𝐸(𝑋) 𝑉(𝑋) 𝑚=𝑝 𝜎 2 = 𝑝𝑞 𝑚 = 𝑛𝑝 𝜎 2 = 𝑛𝑝𝑞 𝑒 (𝑥−𝑚)2 − 2𝜎2 𝜎√2𝜋 2 𝑥 −𝑦 2 erf(𝑥) = ∫ 𝑒 𝑑𝑦 √𝜋 0 ∞ 𝐹𝑋 (𝑥) = 1 − 𝑒 −𝜆𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 0 𝑥−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 { 𝑏−𝑎 1 1 𝑥−𝑚 𝐹𝑋 (𝑥) = (1 + erf ( )) 2 𝜎√2 Aprox bin  gauss: 𝒏𝒑𝒒 ≫ 𝟏 𝑚 = 𝑛𝑝 → 𝜎 2 = 𝑛𝑝𝑞 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 2 ) − 𝐸(𝑋)2 ∞ 1 𝑚= 𝑝 𝑞 𝜎 = 2 𝑝 𝑚=𝜆 𝜎2 = 𝜆 −∞ 2 ∑(𝑥 − 𝐸(𝑋)) · 𝑃𝑥 (𝑥) 𝑥 𝑆𝑡𝑑(𝑋) = √𝑉(𝑋) Tª de Markov: 𝑃(𝑋 ≥ 𝜀) ≤ 𝐸(𝑋) 𝜀 𝜎2 𝜀2 Un valor es anómalo si no está entre E(x) ±Std 𝑉(𝑋) = 𝜎 2 1 𝜎2 = 2 𝜆 𝑎+𝑏 2 𝑚= 𝑃(|𝑋 − 𝐸(𝑋)| ≥ 𝜀) ≤ 2 𝐸(𝑋) = 𝑚 1 𝑚= 𝜆 𝑚= 2 ∫ (𝑥 − 𝐸(𝑋)) · 𝑓𝑥 (𝑥)𝑑𝑥 Desigualtat Cheby… 𝑥 𝑓𝑋 (𝑥) Rang 𝑋 Esperança Continua 𝑎 𝑋 𝑋= 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥 · 𝑃𝑥 (𝑥) 𝐹𝑋 (𝑏) − 𝐹𝑋 (𝑏) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = ∫ 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 DISCRETES Poisson 𝑃(𝐴|𝑋=𝑥)𝑓𝑋 (𝑥) 𝑏 𝑑𝑥 Funció densitat(D): ∑𝑖 𝑝𝑖 · 𝛿(𝑥 − 𝑥𝑖 ) (𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟) ∞ ∫−∞ 𝑃(𝐴|𝑋=𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 Esperança Discreta 𝑃(𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = 𝑑 𝐹𝑋 (𝑥) 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑥 ∞ 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 1 − 𝐹𝑋 (𝑎) 𝐹𝑋 (−∞) = 𝑃(∅) = 0 Funció distribució(D): ∑𝑖 𝑝𝑖 · 𝑢(𝑥 − 𝑥𝑖 ) Geomètrica Bayes: 𝑓𝑋 (𝑥|𝐴) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 𝐹𝑋 (𝑎) 𝐹𝑋 (∞) = 𝑃(Ω) = 1 𝑃(𝑋≤𝑥 ∩𝑋≤𝑎) 𝑃(𝑋≤𝑎) 𝑓𝑋(𝑥|𝐴)𝑃(𝐴) Prob.Total: 𝑃(𝐴) = ∫−∞ 𝑃(𝐴|𝑋 = 𝑥)𝑓𝑋 (𝑥)𝑑𝑥 Check 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = Ω → 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ → 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅ → 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅ 𝐶𝑟𝑒𝑖𝑥𝑒𝑛𝑡 Funció distribució(D): 𝐹𝑋 [𝑛] = (𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟) VA. Cond(tip X=x): 𝐹𝑋 (𝐴|𝑋 = 𝑥) = Prop. F.distribució Tema 2 – VA(1D): Funció distribució(C): VA. Cond(interval): 𝐹𝑋 (𝑥|𝑋 ≤ 𝑎) = 𝑥 = 𝑟𝑎𝑡𝑜𝑙í 𝑚𝑜𝑟𝑡 𝑃(𝐴) = 𝑝𝑟𝑜𝑏 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑔𝑖 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑡 𝑝𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑛𝑒𝑙 𝐴 𝑃(𝐴|𝑥) → Prob de que el ratolí hagi mort, havent passat per el túnel A 𝑃(𝑥|𝐴)·𝑃(𝐴) Passi A tenint en compte que B ha passat 𝜎2 = 1 𝜆 (𝑏 − 𝑎)2 12 𝜎2 = 1 𝜆2 Aprox binpois: 𝒏𝒑 ≅ 𝟏 → 𝒑 < 𝟏 𝜆 = 𝑛𝑝 ∞ 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌) → 𝐸(𝑋𝑌) ≠ 𝐸(𝑋)𝐸(𝑌) = ∫−∞ ∫−∞ 𝑥 · 𝑦 · 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Check ↑ Mètode gràfic: (𝐹𝑥 (𝑥) → 𝐹𝑌 (𝑔)) 1:Dibuixem canvi var (𝑋 2 = 𝑌) 2:Intervals de la 𝐹𝑌 (rectes hor. per veure on talla g(X)) 3:Obtenim antiimatges Y=g(X)  𝑥 = ±√𝑦 4: Def: 𝐹𝑌(𝑦) = 𝑃(𝑔(𝑋) ≤ 𝑦)/ 𝑃(𝑥1 ≤ 𝑔(𝑋) ≤ 𝑥2 )/ 5:Calculem prob. (descartar sol intervals impossibles) 6: Substituir x amb les antiimatges Mètode subst: (𝑃𝑥 (𝑥) → 𝑃𝑌 (𝑦)) 1. Rang Y (canvi var) 2: 𝑃𝑌 (𝑦)= 𝑃𝑌 (𝑌 = 𝑦)= 𝑃𝑌 (𝑔(𝑋) = 𝑦)) Mètode les 3 passos: (𝑓𝑥 (𝑥) → 𝑓𝑌 (𝑦)) 1: Trobar antiimatges i restriccions y 2: (Opcio1)Derivar antiimatges respecte y (Opcio2) Derivar g(x) i evaluar antiimatges 3:(Opcio1): 𝑓𝑌 (𝑦)=| (Opcio2): 𝑓𝑌 (𝑦)= | 𝑑𝑥1 𝑑𝑦 1 𝑔(𝑥1) |𝑓𝑋 (𝑥1 )+...
𝑑 𝑔(𝑥1)| 𝑑𝑥 𝑓𝑋 (𝑥1 )+...
...

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