SFE_1.8 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

1.8 Problema: Barra de dos materials diferents (setembre 2012). Considereu dues fonts t`ermiques situades a x = ≠L/2 i x = L/2 amb temperatures T1 i T2 respectivament (T1 > T2 ). Tenim una barra conductora inhomog`enia de longitud L composta per dos segments de materials diferents: un segment situat entre x = ≠L/2 i x = 0 amb conductivitat t`ermica Ÿ1 i un altre segment entre x = 0 i x = L/2 amb conductivitat t`ermica Ÿ2 . (Les conductivitats Ÿ1 , Ÿ2 s´on independents de la temperatura). Un cop assolit el r`egim estacionari: (a) Determineu la temperatura T0 al punt mig (x = 0) de la barra i el flux de calor J en funci´ o de les dades del problema.
(b) Dibuixeu el perfil de temperatura de la barra si Ÿ1 < Ÿ2 .
(c) Determineu la producci´ o total d’entropia per unitat de temps P .
Considereu ara una barra homog`enia de longitud L amb conductivitat Ÿ (independent de T ) entre les dues mateixes fonts. Si, en l’estat estacionari, aquesta barra condueix el mateix flux de calor que la barra inhomog`enia: (d) Relacioneu Ÿ amb Ÿ1 i Ÿ2 .
(e) Trobeu la producci´ o d’entropia en l’estat estacionari per a la barra homog`enia i compareu el resultat amb la barra inhomog`enia. Discutiu el resultat.
Soluci´ o: (a) Podem considerar el sistema format per dues barres independents. En ambd´os casos, en el r`egim estacionari: ˆt flE (x) = 0, llavors l’equaci´o de continu¨ıtat per a l’energia ˛ · ˛äE (x) = 0. Utilitzant la llei de Fourier, ˛äE (x) = ≠ŸÒT ˛ (x)), veiem que ens diu que Ò l’equaci´ o que hem de resoldre ´es: ≠ŸÒ2 T (x) = 0 =∆ T (x) = Ax + B.
(0.99) Per a cada barra tindrem un perfil de temperatura diferent. Per determinar A i B en cada cas, imposem les seg¨ uents condicions de contorn C.C. barra 1 I T (≠L/2) = T1 T (0) = T0 J =∆ A(1) = 2(T0 ≠ T1 ) , B(1) = T0 .
L (0.100) C.C. barra 2 I T (0) = T0 T (+L/2) = T2 J =∆ A(2) = 2(T2 ≠ T0 ) , B(2) = T0 .
L (0.101) Per tant, T(1) (x) = 2(T0 ≠ T1 ) x + T0 , L T(2) (x) = 2(T2 ≠ T0 ) x + T0 .
L (0.102) Encara que la Ÿ de la barra sigui discont´ınua i el perfil T (x) tamb´e, suposem que el corrent d’energia ´es continu al llarg d’aquesta. Sota aquesta hip`otesi, al mig de la barra el flux d’energia ser` a el mateix: (1) (2) ˛ (1) (x = 0) = ≠Ÿ2 ÒT ˛ (2) (x = 0).
˛äE (x = 0) = ˛äE (x = 0) ≈∆ ≠Ÿ1 ÒT 22 (0.103) Imposem-ho, Ÿ1 2(T0 ≠ T1 ) 2(T2 ≠ T0 ) = Ÿ2 =∆ L L T0 = Ÿ 1 T 1 + Ÿ2 T 2 Ÿ1 + Ÿ2 (0.104) El corrent d’energia ˛äE (x) ser` a (el flux d’energia ´es simplement el corrent per la secci´o), ˛äE (x) = ≠Ÿ1 2(T0 ≠ T1 ) 2(T2 ≠ T0 ) ˛ex = ≠Ÿ2 ˛ex , L L (0.105) que, substitu¨ınt l’expressi´ o que hem obtingut per a T0 en qualsevol cas, arribam a: 2Ÿ1 Ÿ2 ˛äE (x) = ≠ L 3 4 T2 ≠ T1 ˛ex Ÿ1 + Ÿ2 (0.106) L’enunciat diu que T1 > T2 , llavors, el corrent d’energia va cap a la dreta, com ja pod´ıem intuir. La barra 1 reb m´es energia donat que es troba en contacte t`ermic amb una font a major temperatura que la barra 2; En conseq¨ u`encia, a fi d’establir l’equilibri, la barra 1 el que fa ´es cedir energia cap a la barra 2, donant lloc a un corrent que va de la barra 1 a la 2.
(b) Introduint T0 en els perfils T(1) (x) i T(2) (x), tenim que T(1) (x) = 2Ÿ2 (T2 ≠ T1 ) x + T0 , L(Ÿ1 + Ÿ2 ) T(2) (x) = 2Ÿ1 (T2 ≠ T1 ) x + T0 .
L(Ÿ1 + Ÿ2 ) (0.107) Per tant, si Ÿ1 < Ÿ2 , en valor absolut, el pendent que presenta T(1) (x) ´es m´es fort que el de T(2) (x). Gr` aficament, T (x) T1 T0 1 T2 2 L/2 +L/2 0 x (c) Procedint de la mateixa manera que en l’apartat (c) de l’exercici 1.6, per a cada part de la barra, es t´e A B2 dT(i) (x) Ÿi (i) ‡S (x) = 2 .
(0.108) dx T(i) (x) Llavors, en la barra 1 (1) ‡S (x) Ÿ1 = 2 T(1) (x) A dT(1) (x) dx 23 B2 =1 Ÿ1 x+ T0 L 2(T0 ≠T1 ) 22 .
(0.109) I en la 2, (2) ‡S (x) A Ÿ2 = 2 T(2) (x) dT(2) (x) dx B2 =1 Ÿ2 x+ T0 L 2(T2 ≠T0 ) (0.110) 22 .
La producci´ o total per unitat de temps en cada cas, ser`a la integral de la producci´o local sobre la corresponent barra. Aix´ı, (1) ‡T = ⁄ V1 (1) ‡S (x)dV =S (1) = . . . =∆ ‡T = ⁄ 0 1 ≠L/2 Ÿ1 x+ T0 L 2(T0 ≠T1 ) T1 )2 2SŸ1 (T0 ≠ L T0 T1 Ø 0.
22 dx = ≠ 1 SŸ1 x+ T0 L 2(T0 ≠T1 ) -0 2 -- ≠L/2 (0.111) De la mateixa manera, (2) ‡T = ⁄ V2 (2) ‡S (x)dV = S (2) = . . . =∆ ‡T ⁄ +L/2 0 1 Ÿ2 x+ 2SŸ2 (T2 ≠ T0 = L T0 T2 T0 L 2(T2 ≠T0 ) )2 Ø 0.
22 dx = ≠ 1 SŸ2 x+ T0 L 2(T2 ≠T0 ) -+L/2 2 -0 (0.112) Per tant, la producci´ o total al llarg del sistema en si, ´es (1) (2) ‡ST = ‡T + ‡T = 2SŸ1 (T0 ≠ T1 )2 2SŸ2 (T2 ≠ T0 )2 + .
L T0 T1 L T0 T2 (0.113) Si hi posam el valor que hem trobat per a T0 , arribam al seg¨ uent resultat: ‡ST = 2S Ÿ1 Ÿ2 (T2 ≠ T1 )2 Ø0 L Ÿ1 + Ÿ2 T 1 T 2 (0.114) (d) Si tenim una barra homog`enia de longitud L, caracteritzada per una u ´nica conductivitat t`ermica Ÿ, el perfil de temperatura tamb´e ´es lineal: T (x) = Ax + B (problema 1.6, apartat (a)), per` o les condicions de contorn del problema s´on lleugerament diferents.
En aquest cas, T (≠L/2) = T1 T (+L/2) = T2 J =∆ A= T2 ≠ T1 T1 + T2 , B= , L 2 (0.115) i per tant T2 ≠ T1 T1 + T2 x+ .
(0.116) L 2 ˛ (x) = ≠Ÿ((T2 ≠T1 )/L)˛ex . Imposem Un cop tenim el perfil, el corrent ´es: ˛äE (x) = ≠ŸÒT que aquest sigui el mateix que en el primer apartat, T (x) = ≠Ÿ T2 ≠ T1 2Ÿ1 Ÿ2 =≠ L L 3 T2 ≠ T1 Ÿ1 + Ÿ2 4 =∆ Ÿ= 2Ÿ1 Ÿ2 Ÿ1 + Ÿ2 (0.117) (e) De la mateixa manera que en l’apartat (c), es t´e ‡S (x) = Ÿ 2 T (x) 24 3 dT (x) dx 42 .
(0.118) Posant-hi el perfil de temperatura per a la barra homog`enia (apartat anterior), s’arriba a: Ÿ ‡S (x) = 1 (0.119) 22 .
1 +T2 ) x + L(T 2(T2 ≠T1 ) La producci´ o total ser` a ‡ST = ⁄ V ‡S (x)dV = S ⁄ +L/2 ≠L/2 1 Ÿ x+ Fent una mica d’` algebra, s’obt´e: ‡ST = 2 dx L(T1 +T2 ) 2 2(T2 ≠T1 ) = ≠1 -+L/2 2.
L(T1 +T2 ) - SŸ x+ 2(T2 ≠T1 ) SŸ (T2 ≠ T1 )2 Ø0 L T1 T2 (0.120) ≠L/2 (0.121) Si ara tenim en compte la relaci´o (0.117), resulta que ‡ST (e) = 2S Ÿ1 Ÿ2 (T2 ≠ T1 )2 = ‡ST (c).
L Ÿ1 + Ÿ2 T 1 T 2 (0.122) ´ a dir, si es considera la Ÿ efectiva, la producci´o en la barra homog`enia ´es igual a Es la producci´ o en la barra inhomog`enia. Notar que la producci´o d’entropia ´es deguda al fet que hi ha fluxos interns en el sistema (en aquest cas, flux de calor). Per tant, si buscam aquella Ÿ efectiva tal que ambd´os sistemes tenen el mateix flux, ja ´es d’esperar que al cap i a la fi, la producci´ o d’entropia tamb´e sigui la mateixa.
25 ...