Resolució Examen Final Mates I (2013)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Biomédica - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2013
Páginas 16
Fecha de subida 21/10/2014
Descargas 9
Subido por

Vista previa del texto

Nom i cognoms (poseu una × al vostre grup) M1 M2 M3 M4 M5 M6 T1 T2 T3 T4 Matem` atiques 1 Curs 2013-2014/1 Professors: Francesc Pozo (M1), Antoni Roca-Rosell (M2), Luis E. Mujica (M3), Antonio de la Casa (M4), Jos´e Rodellar (M5), Magda Ruiz (M6), Oriol Oliv´e (T1), Jos´e Rodellar (T2), Joan Trias (T3), Raimon Elgueta (T4) [RESPONEU LES PREGUNTES EN FULLS SEPARATS] Tercer examen parcial. 16.00h. 10/01/2014 De les dues primeres preguntes, nom´es heu de fer-ne una.
1. [20 punts] Una finestra t´e forma de rectangle (de base x metres i altura y metres) acabat per un semicercle de di` ametre igual a la base del rectangle. La porci´o rectangular ha de ser de vidre transparent i la part circular ha de ser de vidre de color. El vidre de color admet nom´es la meitat de llum per metro quadrat que el vidre transparent. El per´ımetre total de la finestra ha de tenir una longitud fixada igual a P metres.
(a) [5 punts] Quin ´es el per´ımetre de la finestra en funci´o de la base x i l’altura y? (b) [15 punts] Calculeu les dimensions de la finestra que deixa passar la major quantitat de llum.
2. [20 punts] Considereu la funci´ o f (x) = |x2 − 2x − 3| (a) [10 punts] Calculeu els extrems tot indicant si s´on m`axims o m´ınims.
(b) [10 punts] Calculeu els extrems absoluts i relatius de la funci´o a l’interval [−5, 5].
3. [15 punts] Considereu la funci´ o f (x) = ex .
(a) [5 punts] Calculeu el polinomi de Taylor d’ordre 3 de la funci´o f (x) al voltant del punt x = 0.
√ (b) [5 punts] Feu servir el resultat anterior per aproximar el valor de e i fiteu el residu. Podeu considerar que e < 3.
(c) [5 punts] De quin grau ha de ser el polinomi de Taylor perqu`e el residu de l’aproximaci´o anterior sigui inferior a una deumil·l`esima? 4. [15 punts] Calculeu les seg¨ uents primitives: (a) [5 punts] ln2 (x)dx (b) [5 punts] sec2 (cos(x)) sin(x)dx (c) [5 punts] x(x + 2) dx (x3 + 3x2 + 12)6 5. [10 punts] Calculeu les seg¨ uents primitives: (a) [5 punts] 18 dx (x + 3)(x2 + 9) (b) [5 punts] xex dx 6. [20 punts] Considereu les funcions f (x) = |x|, i g(x) = |x| 2 (a) [5 punts] Calculeu l’` area de la regi´ o delimitada per les gr`afiques de les funcions f (x) i g(x).
(b) [10 punts] Si la regi´ o delimitada entre aquestes dues corbes gira al voltant del eix x, i nom´es per a x ≥ 0, calculeu el volum del s` olid de revoluci´ o resultant.
(c) [5 punts] Trobeu el valor de t, 0 ≤ t ≤ c, on c ´es el punt de tall positiu de les dues funcions, perqu`e la regi´ o entre f (x) i g(x) sota l’interval [0, t] girada al voltant del eix x, generi un s`olid de revoluci´ o de t3 volum igual a π.
3 7. [20 punts] Considereu la funci´ o f (x) = xe−sx , que dep`en d’un param`etre s ∈ R.
+∞ (a) [5 punts] Raoneu perqu`e ´es impr` opia la integral f (x)dx.
0 (b) [5 punts] Trobeu una primitiva de la funci´o f (x). Considereu per separat els casos s = 0 i s = 0.
(c) [10 punts] Estudieu la converg`encia de la integral impr`opia de l’apartat (a), en funci´o de s. Per a quins valors de s la integral impr` opia ´es convergent? Quin ´es el valor de la integral en aquests casos? Indicacions • sec(x) = 1 1 ; csc(x) = .
cos(x) sin(x) • L’` area d’una circumfer`encia de radi r ´es πr2 .
• La longitud d’una circumfer`encia de radi r ´es 2πr.
• L’equaci´ o d’una circumfer`encia de radi r centrada en el punt (x0 , y0 ) ´es (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 .
• El volum de revoluci´ o generat en girar la funci´o f (x) al voltant de l’eix d’abscisses entre x = a i x = b ve b donat per la f´ ormula a πf (x)2 dx.
• La longitud de la corba que representa la gr`afica de la funci´o f (x) entre x = a i x = b ve donada per la f´ ormula L = b a 2 1 + [f (x)] dx.
Nom i cognoms (poseu una × al vostre grup) M1 M2 Quina pregunta, d’entre les dues primeres, voleu fer? (poseu una ×) Resoluci´ o Pregunta 1 / Pregunta 2 M3 M4 Pregunta 1 M5 M6 T1 Pregunta 2 T2 T3 T4 Nom i cognoms (poseu una × al vostre grup) Resoluci´ o Pregunta 3 M1 M2 M3 M4 M5 M6 T1 T2 T3 T4 Nom i cognoms (poseu una × al vostre grup) Resoluci´ o Pregunta 4 M1 M2 M3 M4 M5 M6 T1 T2 T3 T4 Nom i cognoms (poseu una × al vostre grup) Resoluci´ o Pregunta 5 M1 M2 M3 M4 M5 M6 T1 T2 T3 T4 Nom i cognoms (poseu una × al vostre grup) Resoluci´ o Pregunta 6 M1 M2 M3 M4 M5 M6 T1 T2 T3 T4 Nom i cognoms (poseu una × al vostre grup) Resoluci´ o Pregunta 7 M1 M2 M3 M4 M5 M6 T1 T2 T3 T4 Nom i cognoms (poseu una × al vostre grup) M1 M2 M3 M4 M5 M6 T1 T2 T3 T4 Matem` atiques 1 Curs 2013-2014/1 Professors: Francesc Pozo (M1), Antoni Roca-Rosell (M2), Luis E. Mujica (M3), Antonio de la Casa (M4), Jos´e Rodellar (M5), Magda Ruiz (M6), Oriol Oliv´e (T1), Jos´e Rodellar (T2), Joan Trias (T3), Raimon Elgueta (T4) [RESPONEU LES PREGUNTES EN FULLS SEPARATS] Tercer examen parcial. 16.00h. 10/01/2014 De les dues primeres preguntes, nom´es heu de fer-ne una.
1. [20 punts] Una finestra t´e forma de rectangle (de base x metres i altura y metres) acabat per un semicercle de di` ametre igual a la base del rectangle. La porci´o rectangular ha de ser de vidre transparent i la part circular ha de ser de vidre de color. El vidre de color admet nom´es la meitat de llum per metro quadrat que el vidre transparent. El per´ımetre total de la finestra ha de tenir una longitud fixada igual a P metres.
(a) [5 punts] Quin ´es el per´ımetre de la finestra en funci´o de la base x i l’altura y? (b) [15 punts] Calculeu les dimensions de la finestra que deixa passar la major quantitat de llum.
´.
Solucio (a) Per obtenir el per´ımetre, hem de tenir en compte que a la part inferior de la finestra, ´es a dir el rectangle, li faltar` a el costat superior ja que all´ı es troba la uni´o amb el mig cercle. Llavors, P (x, y) = 2y + x + π 2+π x = 2y + x 2 2 (b) Per calcular la quantitat de llum, calculem les dues `arees tenint en compte que a la part superior (el mig cercle) nom´es passa la meitat de la llum. Per tant, Q(x, y) = yx + 1 x π 2 2 2 1 π = yx + x2 2 16 Amb l’equaci´ o calculada al punt (a), a¨ıllem y P− y= 2+π x 2 2 i reemplacem Q(x) = P x+ 2 −8 − 4π + π 16 x2 = P 8 + 3π 2 x− x 2 16 Aquesta funci´ o ´es de la que hem de trobar el m`axim. Com que P ´es fix, aleshores derivem respecte a x i igualem a 0 per trobar els punts candidats a extrem. Llavors, Q (x) = 8 + 3π P − x=0 2 8 ⇒ x= 4P (3π + 8) Novament amb l’equaci´ o de y.
P− y= 2 + π 4P 2+π P− x P (2 + π)P P (3π + 8 − 4 − 2π) 2 (3π + 8) 2 = = − = 2 2 2 3π + 8 6π + 16 ⇒ y= P (π + 4) 6π + 16 2. [20 punts] Considereu la funci´ o f (x) = |x2 − 2x − 3| (a) [10 punts] Calculeu els extrems tot indicant si s´on m`axims o m´ınims.
(b) [10 punts] Calculeu els extrems absoluts i relatius de la funci´o a l’interval [−5, 5].
´.
Solucio (a) En primer lloc, expressarem la funci´ o f (x) = |x2 − 2x − 3| com a funci´o definida a trossos. Considerem 2 les arrels del polinomi p(x) = x − 2x − 3, que s´on x = −1 i x = 3. Aix`o vol dir que el polinomi p(x) es pot escriure com ap(x) = (x + 1)(x − 3). Aquestes arrels ens defineixen tres regions: – Quan x < −1, el polinomi p(x) > 0 i per tant f (x) = p(x).
– Quan −1 < x < 3, el polinomi p(x) < 0 i per tant f (x) = −p(x).
– Quan x > 3, el polinomi p(x) > 0 i per tant f (x) = p(x).
Aix` o vol dir que podem expressar la funci´o f (x) com:  2  x < −1 (x + 1)(x − 3) = x − 2x − 3, 2 f (x) = −(x + 1)(x − 3) = −x + 2x + 3, −1 ≤ x ≤ 3   (x + 1)(x − 3) = x2 − 2x − 3, x>3 En aquest cas, el valor de la funci´ o en els punts x = −1 i x = 3 els hem posat en el tros del mig, ja que, sigui com sigui, la funci´ o val zero.
Per construcci´ o, la funci´ o ´es cont´ınua a tot R. Si calculem la derivada de la funci´o, tenim que:   2x − 2, x < −1 f (x) = 2 − 2x, −1 ≤ x ≤ 3   2x − 2, x > 3 La funci´ o no ´es derivable en x = −1 ni en x = 3 ja que les derivades laterals s´on diferents. En efecte, f− (−1) = −4 = 4 = f+ (−1) f− (3) = −4 = 4 = f+ (3) Els punts candidats a extrem s´ on els punts cr´ıtics (punts de derivada zero i els punts on la funci´o no ´es derivable). Ja hem vist que en els punts x = −1 i x = 3 la funci´o no ´es derivable. Busquem ara els punts derivada zero. Igualant la funci´ o derivada a zero, tenim que f (x) = 2x − 2 = 0 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 El punt x = 1 pertant a l’interval (−1, 3). No hi ha m´es punts de derivada zero perqu`e la derivada de la funci´ o ve definida per la mateixa funci´ o a excepci´o del signe. Per a estudiar si els punts x = −1, x = 1 i x = 3 s´ on extrems, estudiem el signe de la primera derivada en els intervals que generen. En efecte, – Quan x < −1, f (x) < 0 i per tant la funci´o ´es decreixent.
– Quan −1 < x < 1, f (x) > 0 i per tant la funci´o ´es creixent.
– Quan 1 < x < 3, f (x) < 0 i per tant la funci´o ´es decreixent.
– Quan x > 3, f (x) > 0 i per tant la funci´o ´es creixent.
Per tant, • x = −1 ´es un m´ınim.
• x = 1 ´es un m` axim.
• x = 3 ´es un m´ınim.
(b) Ara hem de calcular els extrems relatius i absoluts de la funci´o si ens restringim a l’interval [-5,5]. En aquest cas, afegim com a candidats a extrems els extrems de l’interval. En efecte, els candidats s´ on: x = −5, x = −1, x = 1, x = 3 i x = 5. Com ´es la funci´o en els intervals generats per aquests punts? – – – – Quan Quan Quan Quan −5 < x < −1, f (x) < 0 i per tant la funci´o ´es decreixent.
−1 < x < 1, f (x) > 0 i per tant la funci´o ´es creixent.
1 < x < 3, f (x) < 0 i per tant la funci´o ´es decreixent.
3 < x < 5, f (x) > 0 i per tant la funci´o ´es creixent.
Per tant, • • • • • x = −5 ´es un m` axim.
x = −1 ´es un m´ınim.
x = 1 ´es un m` axim.
x = 3 ´es un m´ınim.
x = 5 ´es un m` axim.
A m´es, si calculem la imatge de la funci´o en aquests punts, podrem decidir si s´on extrems relatius o absoluts. En efecte, • • • • • f (−5) = 32 i per tant x = −5 ´es un m`axim absolut.
f (−1) = 0 i per tant x = −1 ´es un m´ınim absolut.
f (1) = 4 i per tant x = 1 ´es un m` axim relatiu.
f (3) = 0 i per tant x = 3 ´es un m´ınim absolut.
f (5) = 12 i per tant x = 5 ´es un m`axim relatiu.
3. [15 punts] Considereu la funci´ o f (x) = ex .
(a) [5 punts] Calculeu el polinomi de Taylor d’ordre 3 de la funci´o f (x) al voltant del punt x = 0.
√ (b) [5 punts] Feu servir el resultat anterior per aproximar el valor de e i fiteu el residu. Podeu considerar que e < 3.
(c) [5 punts] De quin grau ha de ser el polinomi de Taylor perqu`e el residu de l’aproximaci´o anterior sigui inferior a una deumil·l`esima? ´.
Solucio (a) pn (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + f (n) (x0 ) f (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n! f (x0 ) = f (x0 ) = f (x0 ) = f (x0 ) = ex ⇒ T3 (x) = 1 + x + f (0) = f (0) = f (0) = f (0) = 1 x2 x3 + 2! 3! (b) √ e=f 1 2 ≈ T3 1 2 =1+ |R3 (1/2)| = |f (1/2) − T3 (1/2)| = 1 1 1 79 + 4 + 8 + R3 (x) = + R3 (x) 2 2! 3! 48 f (4) (ξ) 4! 1 2 4 = f (4) (ξ) 24 1 16 Com que f (4) (ξ) = eξ , ξ ∈ (0, 1/2) i la funci´o exponencial ´es creixent, tenim que eξ ≤ e1/2 < e1 < 3, segons la indicaci´ o del problema.
Per tant, |R3 (x)| = f (4) (ξ) 1 3 ≤ 384 384 ⇒ |R3 (x)| ≤ 1 128 = f (4) (ξ) 384 (c) n+1 1 2 (n + 1)! f n (ξ) |Rn (1/2)| = ≤ 3 2n+1 (n + 1)! Per n = 4, ⇒ |R4 (1/2)| ≤ 3 3 3 1 = , com = > , encara no se satisf`a.
25 5! 1280 1280 10000 Per n = 5, ⇒ |R5 (1/2)| < 1 1 3 1 = , com = < , ara s´ı se satisf`a.
26 6! 15360 15360 10000 4. [15 punts] Calculeu les seg¨ uents primitives: (a) [5 punts] ln2 (x)dx (b) [5 punts] sec2 (cos(x)) sin(x)dx (c) [5 punts] (x3 x(x + 2) dx + 3x2 + 12)6 ´.
Solucio (a) La integral es resoldr` a aplicant el m`etode d’integraci´o per parts dues vegades. En efecte, si considerem les parts 1 du = 2 ln(x) dx x dv = dx, v = x u = ln2 (x), aleshores, ln2 (x)dx = uv − vdu = x ln2 (x) − 2 ln(x)dx Ara cal calcular trobar una primitiva del logaritme natural, que trobarem tamb´e pel m`etode d’integraci´ o per parts amb les parts u = ln(x), du = dv = dx, v=x 1 dx x En efecte, ln(x)dx = uv − vdu = x ln(x) − dx = x ln(x) − x + C, C ∈ R Aleshores, ln2 (x)dx = x ln2 (x) − 2 ln(x)dx = x ln2 (x) − 2 (x ln(x) − x + C) = x ln2 (x) − 2x ln(x) + 2x − 2C, C ∈ R = x ln2 (x) − 2x ln(x) + 2x + C1 , C1 ∈ R (b) Resoldrem aquesta integral fent servir un canvi de variable. En efecte, si u = cos(x), du = − sin(x)dx aleshores, sec2 (cos(x)) sin(x)dx = − sec2 (u)du = − sec2 (u)du = − tan(u) + C, C ∈ R = − tan(cos(x)) + C, C ∈ R (c) Resoldrem aquesta integral fent servir un canvi de variable. En efecte, si u = x3 + 3x2 + 12, du = (3x2 + 6x)dx = 3x(x + 2)dx aleshores, (x3 x(x + 2) dx = + 3x2 + 12)6 du 3 u6 = 1 3 u−6 du 1 u−5 + C, C ∈ R 3 −5 1 =− + C, C ∈ R 15u5 1 =− + C, C ∈ R 15(x3 + 3x2 + 12)5 5 = 5. [10 punts] Calculeu les seg¨ uents primitives: (a) [5 punts] 18 dx (x + 3)(x2 + 9) (b) [5 punts] xex dx ´.
Solucio (a) Es tracta de calcular la primitiva d’una funci´o racional, ´es a dir, un quocient de polinomis. En aquest cas, el primer que hem de fer ´es reexpressar la funci´o racional 18 (x + 3)(x2 + 9) com a suma de fraccions simples. Donat que el denominador ja el tenim descomposat en producte de polinomis irreductibles, podem escriure 18 A Bx + C = + 2 (x + 3)(x2 + 9) x+3 x +9 Desenvolupant l’expressi´ o de la dreta, arribem a: 18 A Bx + C A(x2 + 9) + (Bx + C)(x + 3) = + 2 = 2 (x + 3)(x + 9) x+3 x +9 (x + 3)(x2 + 9) on els numeradors han de ser iguals, ´es a dir: 18 = A(x2 + 9) + (Bx + C)(x + 3) Avaluant en els punts x = −3, x = 0 i x = 1, arribem al seg¨ uent sistema d’equacions 18 = 18A 18 = 9A + 3C 18 = 10A + (B + C)4 que t´e com a soluci´ o A=1 B = −1 C=3 de manera que 18 1 −x + 3 = + 2 (x + 3)(x2 + 9) x+3 x +9 Aleshores, −x + 3 dx x2 + 9 x 1 = ln |x + 3| − dx + 3 dx 2 2 x +9 x +9 1 2x 3 1 dx = ln |x + 3| − dx + x 2 2 x2 + 9 9 +1 18 dx = (x + 3)(x2 + 9) 1 dx + x+3 3 1 3 = ln |x + 3| − ln(x2 + 9) + · 3 2 9 = ln |x + 3| − 1 3 2 x + 3 dx 1 1 x ln(x2 + 9) + arctan + C, C ∈ R.
2 3 (b) En aquest cas es tracta d’una integral que es resol pel m`etode d’integraci´o per parts, on: u = x, du = dx x v = ex dv = e dx, Aleshores, xex dx = uv − vdu = xex − 6. [20 punts] Considereu les funcions f (x) = ex dx = xex − ex + C, C ∈ R.
|x|, i g(x) = |x| 2 (a) [5 punts] Calculeu l’` area de la regi´ o delimitada per les gr`afiques de les funcions f (x) i g(x).
(b) [10 punts] Si la regi´ o delimitada entre aquestes dues corbes gira al voltant del eix x, i nom´es per a x ≥ 0, calculeu el volum del s` olid de revoluci´ o resultant.
(c) [5 punts] Trobeu el valor de t, 0 ≤ t ≤ c, on c ´es el punt de tall positiu de les dues funcions, perqu`e la regi´ o entre f (x) i g(x) sota l’interval [0, t] girada al voltant del eix x, generi un s`olid de revoluci´ o de t3 volum igual a π.
3 ´.
Solucio (a) Si expressem aquestes funcions sense els valors absoluts, ´es a dir, com a funcions definides a trossos, tenim que: f (x) = √ −x, √ x, x<0 x≥0 g(x) = −x/2, x/2, x<0 x≥0 √ x −x i quan −x = , ´es a dir, als punts x = ±4.
2 2 Tenint en compte que la regi´ o ´es sim`etrica respecte l’eix d’ordenades, l’`area la podem definir com: Els punt de tall els podem trobar quan √ x= 4 A=2 √ x− 0 x 2 dx Per tant, 4 2√ x2 3 x2 − 3 4 A=2 = 0 32 8 −8= 3 3 (b) 4 4 π f (x)2 − g(x)2 dx = V = π x− 0 0 x2 4 x2 x3 − 2 12 dx = π 4 =π 8− 0 16 8 = π.
3 3 (c) t3 π= 3 t t π f (x)2 − g(x)2 dx = 0 π x− 0 x2 4 dx = π x2 x3 − 2 12 t =π 0 t2 t3 6t2 − t3 − = π.
2 12 12 Per tant, 6t2 − t3 t3 π= π 3 12 ⇒ t= 6 5 7. [20 punts] Considereu la funci´ o f (x) = xe−sx , que dep`en d’un param`etre s ∈ R.
+∞ (a) [5 punts] Raoneu perqu`e ´es impr` opia la integral f (x)dx.
0 (b) [5 punts] Trobeu una primitiva de la funci´o f (x). Considereu per separat els casos s = 0 i s = 0.
(c) [10 punts] Estudieu la converg`encia de la integral impr`opia de l’apartat (a), en funci´o de s. Per a quins valors de s la integral impr` opia ´es convergent? Quin ´es el valor de la integral en aquests casos? ´.
Solucio (a) La funci´ o f (x) ´es una funci´ o fitada en tot interval tancat, ´es a dir, donats a, b ∈ R, a < b, existeix un nombre M > 0 tal que |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b]. No obstant, l’extrem dret de la integral ´es +∞, fet que fa que la integral sigui una integral impr` opia de primera esp`ecie.
(b) Considerem primer el cas s = 0. Aleshores, f (x)dx = xe−sx dx = xdx = x2 + C, C ∈ R.
2 Si considerem ara el cas s = 0, tenim que: f (x)dx = xe−sx dx.
Resoldrem aquesta integral aplicant el m`etode d’integraci´o per parts, on: u = x, du = dx dv = e−sx , 1 v = − e−sx s En efecte, 1 1 −sx vdu = − xe−sx + e dx s s 1 1 = − xe−sx − 2 e−sx + C, C ∈ R s s (1 + sx)e−sx + C, C ∈ R =− s2 xe−sx dx = uv − (c) Estudiarem la converg`encia de la integral impr`opia considerant per separat els casos s = 0 i s = 0. En el primer cas tenim que: +∞ xe−sx dx = lim →+∞ 0 xe−sx dx = lim →+∞ 0 x2 2 2 = lim →+∞ 0 2 = +∞ Per tant, quant s = 0, la integral impr` opia ´es divergent. En relaci´o al segon cas, quan s = 0, tenim que: +∞ xe−sx dx = lim →+∞ 0 = lim →+∞ xe−sx dx = lim 0 1 1 − e−s − 2 e−s s s El l´ımit anterior no ´es finit quan s < 0, ja que quan tenim que lim →+∞ − 1 1 − xe−sx − 2 e−sx s s 1 + 2 s →+∞ 0 → +∞, e−s → +∞. Contr`ariament, si s > 0, 1 −s 1 1 e − 2 e−s + 2 s s s = 1 s2 ja que 1 −s e =0 →+∞ s 1 −s e =0 lim →+∞ s2 lim A mode de resum, – La integral impr` opia ´es convergent si s > 0 i val +∞ 0 xe−sx dx = 1 s2 .
– La integral impr` opia ´es divergent si s ≤ 0.
Indicacions • sec(x) = 1 1 ; csc(x) = .
cos(x) sin(x) • L’` area d’una circumfer`encia de radi r ´es πr2 .
• La longitud d’una circumfer`encia de radi r ´es 2πr.
• L’equaci´ o d’una circumfer`encia de radi r centrada en el punt (x0 , y0 ) ´es (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 .
• El volum de revoluci´ o generat en girar la funci´o f (x) al voltant de l’eix d’abscisses entre x = a i x = b ve b donat per la f´ ormula a πf (x)2 dx.
• La longitud de la corba que representa la gr`afica de la funci´o f (x) entre x = a i x = b ve donada per la f´ ormula L = b a 2 1 + [f (x)] dx.
...