Mecánica Cuántica - Problema 42 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 9
Subido por

Vista previa del texto

.
42 Considereu l’espai de Hilbert corresponent a dos spins 1/2.
(a) Escriviu a la base producte {| + +Í, | + ≠Í, | ≠ +Í, | ≠ ≠Í} les matrius de Jz i J 2 , ˛1 + S ˛2 .
on J˛ = S (b) Diagonalitzeu-les i trobeu els coeficients de canvi de la base producte a la base on s´ on diagonals. Quins valors de J en resulten? (c) Trobeu el canvi de base de l’apartat anterior a les taules de coeficients de ClebschGordan.
Soluci´ o: (a) Tenim dos spins j1 = j2 = 1/2 =∆ m1 = ±1/2 i m2 = ±1/2, de manera que la base producte, ´es (notaci´ o: |m1 m2 Í, +1/2 æ +, ≠1/2 æ ≠): {| + +Í, | + ≠Í, | ≠ +Í, | ≠ ≠Í}.
Volem escriure Jz i J 2 en la base anterior. Evidentment, la matriu associada a J 2 sortir` a no diagonal, donat que la base producte no ´es pr`opia de J 2 (s´ı ´es pr`opia de Jz , en efecte, la representaci´ o matricial de Jz en la base producte ´es diagonal). L’operador moment angular total, ´es: ˛1 + S ˛2 = ~ (˛‡1 + ˛‡2 ) J˛ = S 2 (0.1) (no cal oblidar que la manera en que he escrit l’expressi´o anterior ´es pura notaci´o, estrictament, J˛ ´es un operador que actua sobre els estats de l’espai de Hilbert compost, ˛1 ¢ 2 + 1 ¢ S ˛2 . Essent conscients de que els operadors d’H1 no toquen la part J˛ = S ˛1 + S ˛2 ). Pel cas de Jz , de l’estat producte pertanyent a H2 , i viceversa, escrivim J˛ = S Jz = S1z + S2z = ~ (‡1z + ‡2z ).
2 (0.2) En fer actuar Jz sobre els elements de la base, s’obt´e: ~ ~ (1 + 1)| + +Í = ~| + +Í, Jz | + ≠Í = (1 ≠ 1)| + ≠Í = 0, 2 2 (0.3) ~ ~ Jz | ≠ +Í = (≠1 + 1)| ≠ +Í = 0, Jz | ≠ ≠Í = (≠1 ≠ 1)| ≠ ≠Í = ≠~| ≠ ≠Í.
2 2 Jz | + +Í = Matricialment, Q 1 c c0 c Jz = ~ c c0 a 0 0 0 0 0 R 0 0 d 0 0d d d.
0 0d b 0 ≠1 (0.4) Per determinar J 2 , primer hem de calcular Jx i Jy . Un cop aix`o, J 2 segueix de la igualtat J 2 = Jx2 + Jy2 + Jz2 . Podem calcular Jx i Jy a partir dels operadors de creaci´o/destrucci´ o, 1 1 Jx = (J+ + J≠ ), Jy = (J+ ≠ J≠ ), (0.5) 2 2i 2 .
on J± = S1± ¢ 2 + 1 ¢ S2± © S1± + S2± . En general, es t´e Ò L± |jmÍ = ~ j(j + 1) ≠ m(m ± 1)|jm ± 1Í.
(0.6) En el nostre cas: j1 = j2 = 1/2 i mi = ±1/2, i = 1, 2, i per tant, se segueix que J+ | + +Í = 0 J+ | + ≠Í = ~ J+ | ≠ +Í = ~ J+ | ≠ ≠Í = ~ Û 3 1 2 1 1 +1 ≠ ≠ 2 2 1 2 Û 3 1 1 +1 ≠ ≠ 2 2 1 2 1 1 +1 ≠ ≠ 2 2 Û 3 +~ 4 3 43 4 4 3 43 4 4 Û 3 1 2 3 4 Q 0 c c0 c J+ = ~ c c0 a 0 1 0 0 0 43 4 1 ≠ + 1 | + +Í = ~| + +Í 2 1 1 +1 ≠ ≠ 2 2 = ~(| + ≠Í + | ≠ +Í).
Llavors, 3 1 ≠ + 1 | + +Í = ~| + +Í 2 1 ≠ + 1 | + ≠Í 2 43 4 1 ≠ + 1 | ≠ +Í 2 R 1 0 0 0 (0.7) Q 0 0 d c d c 1d c1 † d =∆ J≠ = J+ = ~ c d c1 1b a 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 R 0 d 0d d d, 0d b 0 (0.8) i aleshores, fent servir que Jx = (J+ + J≠ )/2 i Jy = (J+ ≠ J≠ )/(2i), es t´e: Q Finalment, 0 c c ~ c1 Jx = c 2c a1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 R Q 0 d 1d d d, 1d b 0 R 0 ≠1 ≠1 0 c d c 0 ≠1d ~ c1 0 d Jy = i c d.
d 2c 1 0 0 ≠1 a b 0 1 1 0 Q 2 c c0 c J 2 = Jx2 + Jy2 + Jz2 = . . . = ~2 c c0 a 0 3 0 1 1 0 0 1 1 0 R 0 d 0d d d.
0d b 2 (0.9) (0.10) .
Nota1: donat que coneixem les representacions de S1x i S2x en la base anterior, tot el que hem fet fins ara, ho podr´ıem haver fet directament mitjan¸cant el producte de matrius: ~ (‡1y ¢ 2 + 1 ¢ ‡2y ) 2 SQ A B A BR Q A B A B RT 1 0 1 0 0 ≠i 0 ≠i Wc0 d c1 dX ≠i 0 c c X 0 1 d i 0 i 0 d ~W Wc A 0 1B d c X A B d+c A B A Bd = Wc dX c 1 0 d c dX 2W 1 0 0 ≠i 0 ≠i Ua i b a0 bV 0 1 0 1 0 1 i 0 i 0 Jy = S1y ¢ 2 + 1 ¢ S2y = Q (0.11) R 0 ≠1 ≠1 0 d 0 0 ≠1d d d.
0 0 ≠1d b 0 1 1 0 c ~c c1 =i c 2c a1 Procedint de la mateixa manera, tamb´e podem trobar les matrius associades a Jx i Jz , despr´es J 2 segueix novament de la igualtat J 2 = Jx2 + Jy2 + Jz2 .
Nota2: ` obviament, la manera m´es f`acil de calcular J 2 en la base producte, ´es fentho pr`eviament en l’acoblada (la qual n’´es pr`opia), i escriure la matriu resultant en la producte.
(b) La matriu Jz ja ´es diagonal, Q 1 c c0 c Jz = ~ c c0 a 0 0 0 0 0 R 0 0 d 0 0d d d 0 0d b 0 ≠1 (0.12) amb 4 valors propis: +~, ≠~, i 0 amb multiplicitat 2. Aquesta informaci´o ens permet identificar dos vectors propis de la base acoblada. Com veiem, els estats {|++Í, |≠≠Í} s´on propis de Jz amb valor propi ±~ respectivament. Altrament, sabem que els estats de la base acoblada {|JM Í} tamb´e s´on propis de Jz : Jz |JM Í = M ~|JM Í, se segueix que Jz |JM Í = ±~ ≈∆ Jz actua sobre un estat amb M = ±1, o sigui que |++Í = |J, 1Í i | ≠ ≠Í = |J, ≠1Í. De la mateixa manera, (0.10) ens diu que els estats {| + +Í, | ≠ ≠Í} s´on propis de J 2 amb valor propi 2~2 (notem que J 2 est`a diagonalitzada per blocs!), i com que la base acoblada ´es pr`opia de J 2 : J 2 |JM Í = ~2 J(J + 1)|JM Í, aleshores J 2 |JM Í = 2~2 |JM Í ≈∆ J 2 actua sobre un estat amb J = 1. Ara ja ho tenim tot per dir que |++Í = |1, 1Í i |≠≠Í = |1, ≠1Í. Els altres dos estats restants {|+≠Í, |≠+Í} s´on propis de Jz amb valor propi 0, i en general seran una combinaci´o lineal d’estats |J, 0Í (no poden ser simplement un estat |J, 0Í, ja que aix`o voldria dir que {| + ≠Í, | ≠ +Í} s´on propis de J 2 , i (0.10) ens diu que no ho s´on). Per determinar la combinaci´o exacte, cal diagonalitzar la matriu J 2 i mirar els vectors propis.
4 .
Anem a fer-ho. Diagonalitzem sols el bloc que queda, -~2 ≠ ⁄ - ~2 - ~2 -- = 0 =∆ ⁄1 = 2~2 , ~2 ≠ ⁄- ⁄2 = 0.
(0.13) El subespai anterior t´e dos vectors propis (els trobam com sempre): A B 1 1 |⁄1 Í = |2~2 Í = Ô , 2 1 A B 1 1 |⁄2 Í = |0Í = Ô .
2 ≠1 (0.14) En l’espai de Hilbert de dimensi´o 4 (el del sistema compost) tindrem, 1 |2~2 Í = Ô (| + ≠Í + | ≠ +Í), 2 1 |0Í = Ô (| + ≠Í ≠ | ≠ +Í).
2 (0.15) Total, hem obtingut dos vectors |2~2 Í i |0Í, propis de J 2 amb valor propi 2~2 i 0, que d’acord amb el parrafon d’abans, es correspondran amb estats de la base acoblada amb J = 1 i J = 0 respectivament, ´es a dir, |2~2 Í = |1, M Í i |0Í = |0, M Í. A m´es, | + ≠Í i | ≠ +Í s´ on propis de Jz amb valor propi 0, de manera que |1, M Í i |0, M Í tamb´e ho s´on ≈∆ M = 0. La conclusi´ o final ´es que |2~2 Í = |1, 0Í i |0Í = |0, 0Í. Els resultats que hem trobat s´ on: 1 |0, 0Í = Ô (| + ≠Í ≠ | ≠ +Í), 2 1 |1, 0Í = Ô (| + ≠Í + | ≠ +Í), 2 |1, ≠1Í = | ≠ ≠Í, |1, 1Í = | + +Í.
(0.16) Els valors de J que en resulten s´on 0 i 1. En tal base i ordenaci´o, Q R 0 0 0 0 c d c0 ≠1 0 0d c d Jz = ~ c d, c0 0 0 0d a b 0 0 0 1 Q 0 c c0 c J 2 = ~2 c c0 a 0 0 2 0 0 0 0 2 0 R 0 d 0d d d.
0d b 2 (0.17) (c) De les taules tenim (el primer estat ´es el singlet, i els tres restants formen el triplet): 1 |0, 0Í = Ô (| + ≠Í ≠ | ≠ +Í), 2 1 |1, 0Í = Ô (| + ≠Í + | ≠ +Í), 2 |1, ≠1Í = | ≠ ≠Í, |1, 1Í = | + +Í, resultats que coincideixen totalment amb els de l’apartat anterior.
5 (0.18) ...