Apunts models de canvi (2017)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Criminología y Políticas Públicas de Prevención + Derecho - 1º curso
Asignatura Instruments matemàtics i informàtics
Año del apunte 2017
Páginas 12
Fecha de subida 09/06/2017
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Tema 3: Mesura del canvi } Càlcul de taxes i percentatges de creixement } Representació gràfica de l’evolució d’una variable } Reconeixement del model de creixement que s’ajusta millor a cada situació } Ajust de models lineals i exponencials a unes dades } Interpolació i extrapolació de valors } Càlcul d’estimacions i prediccions Com mesurem el canvi? } En la mesura del canvi (evolució temporal d’una variable), és útil calcular: ◦ Canvi en termes absoluts: ◦ Taxes de Creixement o decreixement (TC): ◦ El percentatge de creixement (PC), que és el mateix però multiplicat per 100: ◦ Exemple butlletí informatiu radiofònic (material_suport4; 55:30 a 56:12) ◦ Suposa que el cost total de l’educació universitària és de 5.000 euros per alumna/e. En quant es traduiria aquest augment? ◦ Exemple: ◦ Tarifes en Euros de bitllet senzill i T-10 en el ATM } La representació gràfica és molt útil } Hi ha tres tipus de representacions gràfiques rellevants: ◦ Números absoluts ◦ Canvis absoluts ◦ Percentatges de canvi Models de creixement } Depenent de la forma de la gràfica números absoluts parlarem de models de creixement lineal i lineal: de no ◦ Lineal: aritmètic ◦ No lineal: – Exponencial (geomètric) – Logarítmic (orgànic) } Els models de creixement són importants a les ciències socials, ens permeten calcular els valors futurs (i passats ) de les variables d'interès } De fet, es poden entendre com aplicacions de les funcions i equacions Model de creixement líneal } } } Es caracteritzen per que la diferència en y (canvi absolut) entre dos punts temporals consecutius es sempre la mateixa per qualsevol punt t o Per exemple: cada mes augmenta en 2 el número de dones assassinades per les seves parelles o exparelles Creixement absolut (a) constant per tots els períodes La gràfica és una línia recta } } } El valor de cada període s’obté al sumar una quantitat constant al valor del període anterior. Aquesta quantitat constant (a) a és igual al creixement absolut: yt+1 = yt + a També podem calcular el valor després d’uns quants períodes (yt) que serà igual al valor inicial (y0) més el creixement absolut (a) multiplicat pel número de períodes transcorreguts (t): yt = y0 + a · t L’a es podria dir que és la pendent i y0 seria l’intercepte quan t = 0 } Exemple anterior: el preu del bitllet senzill entre 2006 i 2011 (al 2012 deixa de ser lineal) } Canvis absoluts no varien de t a t+1 } Taxes de creixement varien de t a t+1 } Exercici a classe: Una presó ha obert un nou mòdul on aniran entrant progressivament 12 presos cada mes ◦ Escriu la funció ◦ Fes una taula amb els valors corresponents a cada mes ◦ Dibuixa el model de creixement gràficament ◦ Quants presos hi haurà en 25 mesos? } Funció: ◦ yt = y0 + a · t ◦ Al principi no hi ha presos: y0=0 ◦ Cada mes (unitat de temps t) entren 12: a = 12 ◦ La funció es yt = 0 + 12t Mes t Presos 0 0 1 12 2 24 3 36 4 48 5 60 6 72 7 84 8 96 9 108 10 120 11 132 12 144 } Passats 25 mesos: } } Número de y25=0+12*25 à y25=300 presos A l’exemple anterior, com són les gràfiques de canvi absolut i percentatges de canvi? } És a dir, el canvi absolut (a) és sempre el mateix, però els percentatges de creixement anual van canviant (a la baixa) } Si no coneixem a, també podem identificar-la a partir d’altres dades. } Exemple: La facultat compra un equip informàtic que costa 1.500 euros. Als 9 anys el valor de l’equip és de 420 euros. Quant es deprecia anualment si suposem que la depreciació anual es constant? } yt = y0 + a · t y9=y0+a*9 420=1500+a*9 -1080=a*9 a=-120 (€ anuals de depreciació) Models de creixement no lineal: exponencial } Model de creixement exponencial: ◦ Es caracteritza perquè la taxa de creixement és la mateixa (és constant) per tot el període ◦ Per exemple: cada any augmenta en un 2% el número total de persones que viuen per sota del llindar de la pobresa } La gràfica és una línia corba (creixent si la taxa de creixement és positiva i decreixent si és negativa) } El valor de cada període s’obté al multiplicar per una quantitat constant el valor del període anterior. Aquesta quantitat constant és igual a u més la taxa de creixement (1 + TC): ◦ } Si coneixem el valor al moment inicial podem saber el valor al final d’uns quants períodes (yt), multiplicant el valor inicial (y0) per la quantitat constant (1 + TC) elevat pel número de períodes transcorreguts (t): ◦ } yt+1 = yt · (1+TC) yt = y0 · (1+TC)t La llegenda dels escacs i els grans de blat t yt = y0 · (1+TC) y63 = y0 · (1+1)63 y63 = 1 · (2)63 y63 = 263 y63 = 9 trilions 223.372 bilions... } Canvis absoluts varien de t a t+1 } Taxes de creixement no varien de t a t+1 } Exemple: un bufet d’advocats té una cartera inicial de 4 clients que es duplica cada any ◦ Representa la relació a una taula i a una gràfica pels primers 5 anys ◦ Quants clients tindrà als 7 anys? Escriu la funció per calcular-lo. t Clients 0 4 1 8 2 16 3 32 4 64 5 128 Client } } Quants clients tindrà als 7 anys? ◦ yt = y0 · (1+TC)t ◦ Al principi hi ha 4 clients: y0 = 4 ◦ Cada any (unitat de temps) incrementa amb una taxa de creixement que podem calcular a partir del valor de dos períodes consecutius: ◦ y1 = y0* (1 + TC)1 à TC = (y1/y0) - 1 à TC = (8/4) - 1 ◦ És a dir: TC = 1 ◦ La funció és yt = 4 * (1+1)t ◦ Als 7 anys hi ha: y7 = 4 * 27 à y7 = 512 clients Quines seran les gràfiques de canvi absolut i percentatges de canvi (quocients) de l’exemple anterior? } És a dir, els canvis absoluts (yt+1-yt) van variant d’un moment a altre, però els percentatges de creixement es mantenen constants } El càlcul de la taxa de creixement: } } Fins ara l’hem calculat a partir de dos punts t consecutius (t i t+1) } Però la podem calcular a partir de dos punts no consecutius (t i t+n) a partir de la fórmula: o yt = y0 * (1 + TC)t o TC = (yt /y0)1/t - 1 Exemple: Es començà a desenvolupar un pla de sensibilització sobre violència de gènere a instituts de Catalunya amb una extensió que es va programar de forma exponencial. El primer trimestre es realitzaren a 4 centres educatius. El tercer trimestre s realitzà en 16 instituts. Quina seria la taxa de creixement del programa? o Si y0=4 i y2=16 o TC= (16/4)1/2 -1 o TC=41/2-1 o TC=2-1=1 Models de creixement no lineal } Models de decreixement: quan TC < 0 } Exercici a classe: A una ciutat s’han reportat 10.000 delictes el darrer any. Es pretén fer un pla de xoc per reduir els delictes reportats a una velocitat del 20% anual. Aquest pla de xoc es durà a terme fins que els delictes reportats siguin 3.000 o menys. Determina: } ◦ La taxa de creixement ◦ El model de creixement no lineal ◦ El nombre de delictes reportats fins a l’any 6 ◦ L’any en que s’abandonaria el pla de xoc Exercici a classe: A una ciutat s’han reportat 10.000 delictes el darrer any. Es pretén fer un pla de xoc per reduir els delictes reportats a una velocitat del 20% anual. Aquest pla de xoc es durà a terme fins que els delictes reportats siguin 3.000 o menys. } Taxa de creixement (TC): ◦ } Si el percentatge de decreixement és del 20% anual, la taxa de creixement serà de -20%, és a dir, -0’2 Model de creixement no lineal: ◦ yt = y0 * (1 + TC)t ◦ yt = 10000*(1+(-0.2)) → yt = 10000*(0.8)t } Y0 = 10000*(0.8)0 = 10000 0 10000 ◦ Y1 = 10000*(0.8)1 = 8000 1 8000 2 6400 3 5120 4 4096 5 3277 6 2621 2 ◦ Y2 = 10000*(0.8) = 6400 ◦ Y3 = 10000*(0.8)3 = 5120 ◦ Y4 = 10000*(0.8)4 = 4096 ◦ Y5 = 10000*(0.8)5 = 3277 6 Y6 = 10000*(0.8) = 2621 Així, haurem d’abandonar el pla de xoc entre el període t5 i t6 (entre els anys 5 i 6 després de la seva aplicació) Models de creixement no lineal: logarítmic } y ◦ ◦ } t Nombre de delictes reportats fins a l’any 6: Model de creixement logarítmic (orgànic) ◦ Canvis absoluts varien de t a t+1 ◦ Taxes de creixement també varien de t a t+1 ...

Comprar Previsualizar