Mecánica Cuántica - Problema 54 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 5
Subido por

Vista previa del texto

.
54 Considereu el potencial unidimensional V (x) = g|x|.
(a) Emprant arguments dimensionals obteniu la depend`encia en g, ~ i m de l’energia de qualsevol estat estacionari.
(b) Obteniu una fita superior de l’energia de l’estat fonamental E0 pel m`etode variacional.
Soluci´ o: (a) Les dimensions de la constant g s´on: J/m, que escrit en termes de les magnituds b`asiques (1J = kg · m2 /s2 ), es t´e [g] = kg · m/s2 = M LT ≠2 . Per altra banda, [~] = J · s = kg · m2 /s = M L2 T ≠1 , i [m] = kg = M . Volem trobar la relaci´o E = E(g, ~, m), llavors suposem el seg¨ uent: E ≥ g – ~— m“ .
(0.12) Les dimensions han de concordar, ´es a dir: [E] = [g]– [~]— [m]“ = kg · m2 /s2 = M L2 T ≠2 . Si substitu¨ım, es t´e [E] = (M LT ≠2 )– (M L2 T ≠1 )— (M )“ = . . . = M –+—+“ L–+2— T ≠2–≠— = M L2 T ≠2 , (0.13) la qual cosa implica el seg¨ uent sistema d’equacions: Y _ _ ]– + — + “ = 1 (0.14) – + 2— = 2 _ _ [ ≠2– ≠ — = ≠2 Resolent-lo, trobem – = — = 2/3, “ = ≠1/3. Llavors tenim que la depend`encia de l’energia amb g, ~ i m, ve donada per E≥ A g 2 ~2 m B1/3 (0.15) 2 (b) Com a funci´ o de prova agafem una gaussiana: ˜0 (x) = Èx|˜0Í = –e≠—x /2 amb –, — œ R.
Normalitzem-la, i aix´ı ens en podem oblidar del factor 1/Ș0|˜0Í. Se segueix que 1= ⁄ +Œ ≠Œ 2 ≠—x2 – e dx = . . .Schaum. . . = – 2 Ú fi =∆ – = — 3 41/4 — fi .
(0.16) D’acord amb el que s’ha dit en l’apartat de teoria, la fita ser`a, ¯ = Ș H 0|H|˜ 0Í = = ⁄ +Œ ≠Œ ⁄ +Œ ≠Œ A ˜0ú (x) C ~2 d 2 ˜0 (x) ≠ 2m dx2 3 1 d ≠i~ 2m dx B ˜0 (x)dx + 4 42 D + V (x) ˜0 (x)dx ⁄ +Œ ≠Œ g|x|˜02 (x)dx = ÈKÍ + ÈV Í.
(0.17) .
Anteriorment he fet u ´s de que ˜0 (x) ´es una funci´o real. Calculem les corresponents integrals, ÈKÍ = ⁄ +Œ ≠Œ A ~2 d 2 ˜0 (x) ≠ 2m dx2 = . . . Schaum . . . = ≠ ÈV Í = ⁄ +Œ ≠Œ g|x|˜02 (x)dx B – 2 ~2 2m = g– = . . . Schaum . . . = 2g–2 Aleshores, 2 – 2 ~2 ˜0 (x)dx = ≠ 2m 3 ≠— Ú ⁄ +Œ ≠Œ fi + —2 — Ú ≠—x2 |x|e ⁄ +Œ fi 4— 3 ≠Œ 4 2 (≠— + — 2 x2 )e≠—x dx = ... = dx = 2g– 1 g =Ô .
2— fi— 2 ⁄ Œ 0 ~2 — , 4m ≠—x2 xe (0.18) dx 2 ¯ = ~ — + Ôg .
H 4m fi— (0.19) ¯ sigui Notem que en aquest cas, — ´es un par`ametre. Mirem de buscar quin — fa que H m´ınim. Imposem 3 4 ¯ dH 2gm 2/3 = 0 =∆ — = Ô 2 .
(0.20) db fi~ Finalment ¯ m´ın. = 3 H 2 3 1 2fi 41/3 A 2 2 B1/3 g ~ m 5 A g 2 ~2 ¥ 0.8129 m B1/3 > E0 (0.21) ...