TEMA 5. SISTEMES EN ESTAT ESTACIONARI (MPA – Metabolic Pathway Analysis) (2016)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Genética - 3º curso
Asignatura Biologia de sistemes
Año del apunte 2016
Páginas 15
Fecha de subida 26/03/2016 (Actualizado: 22/05/2016)
Descargas 23

Vista previa del texto

Biologia de Sistemes TEMA 5: SISTEMES EN ESTAT ESTACIONARI (MPA – Metabolic Pathway Analysis) En aquest tema no estudiarem la distribució de fluxos en els sistemes biològics, sinó l’estructura de les vies metabòliques. Sense calcular una distribució de fluxos a partir de dades experimentals quines solucions són possibles per a l’estat estacionari? Si ens fixem només en els metabòlits interns llavors recordem que: El sistema: 0 = N·v és un sistema lineal homogeni.
- Si és determinat, al ser homogeni nomé té la solució trivial: que tot sigui 0.
Les solucions no trivials al sistema homogeni només existeixen si hi ha “dependència lineal” entre les files o columnes de la matriu N (sistema subdeterminat). (Recordem que el nombre de relacions de files o columnes linealment independents d’una matriu es caracteritza amb el “rang” de la matriu).
El sistema lineal homogeni només té solució (no trivial) si: rang(N)<r ; on r és el nombre de columnes (fluxos) de la matriu N.
El conjunt de solucions possibles al sistema homogeni es coneix com “espai nul” (null space), del qual el nucli és el Kernel (la matriu Kernel tindrà tantes columnes com graus de llibertat tingui el sistema subdeterminat). Per tant l’espai nul engloba totes les possibles solucions (distribucions de fluxos) d’estat estacionari.
LA MATRIU KERNEL L’espai nul limita el conjunt de fluxos metabòlics que es poden establir en un estat estacionari.
El nombre de possibles solucions és, a priori, infinita. Si ens imaginem l’espai nul com un espai vectorial on cada vector representa un conjunt de fluxos que al multiplicar per N donen zero, una base d’aquest espai tindria tants eixos, dimensions, o “vectors base” (nul·litat) com com graus de llibertat: 𝑛𝑢𝑙 · 𝑙𝑖𝑡𝑎𝑡 = 𝑟 − 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝑁) ≡ 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑡 On r és el nombre de columnes (fluxos) de la matriu N.
Tornem a utilitzar l’exemple de la peroxidasa del tema anterior: 61 Biologia de Sistemes Partint d’aquest esquema, obteníem la següent equació matricial: Si igualem això a 0 per trobar les solucions de distribució de fluxos en l’estat estacionari, ens trobem que tenim un sistema homogeni subdeterminat, ja que tenim 4 incògnites i 3 equacions. Per tant hi ha 1 grau de llibertat. Per tant la base de l’espai nul (el vector Kernel) té una sola columna. Es comprova fàcilment que: 0=N·K Si es multiplica K per qualsevol número (simbolitzat com α) s’obté una nova solució del sistema que és linealment dependent de K.
Posant els valors de K com a fluxos a l’exemple tenim: Interpretació: en estat estacionari, per cada 2 mols de H2O2 consumits es produeixen 2 mols de H2O i un d’O2 (o múltiples proporcionals d’aquests). Qualsevol combinació que no guardi aquesta proporció és impossible: Exemples senzills on les concentracions externes són constants: 1.
En aquest sistema només fem el balanç de S1 i S2. Llavors ens queda una matriu N amb dues equacions (rang=2), però tenim 3 incògnites. Per tant tenim 1 grau de llibertat, amb la qual cosa la matriu Kernel és d’una columna.
2.
En aquest cas continuem fent només el balanç de S1 i S2. Però ara tenim quatre incògnites. La matriu N té rang 2, de manera que tenim 2 graus de llibertat. Tenim dos possibles Kernels: k 1 i 62 Biologia de Sistemes k2. Els dos possibles kernels són combinacions de fluxos que permetrien a S1 i S2 mantenir-se en estat estacionari, és a dir, sense modificar les seves concentracions. (Com que en aquest cas només fem el balanç d’aquests dos components, no ens importa si S0 i S3 sí que canvien de concentració, mentre S1 i S2 es mantinguin en estat estacionari).
3.
En aquest sistema fem el balanç d’un component, per tant tenim 1 equació i tres incògnites.
Això fa que tinguem un Kernel amb dos columnes: k1 i k2.
Informació que podem obtenir de la matriu Kernel.
- Quins fluxos són possibles en estat estacionari.
Reaccions en equilibri o vies mortes.
Seqüències d’enzims sense bifurcacions.
Modes de flux elementals.
Vies extremes.
A partir d’això es pot deduir: rendiments, relacions possibles entre fluxos, connexió amb cinètica i termodinàmica...
Quins fluxos són possibles en estat estacionari: - Donat un determinat sistema qualsevol distribució de fluxos possible (al SS) és combinació lineal del Kernel.
- Aquest sistema té 2 vectors base al kernel.
Una solució particular es pot calcular donant valors als coeficients α1 i α2 (unitats habituals dels fluxos: mol/s, mol·l/s, mol/gDW·s).
3 fluxos  2 graus de llibertat.
Equivalent a dir que mesurats 2 fluxos el tercer queda fixat.
- Si el flux net = 0, hi ha equilibri o la via morta.
63 Biologia de Sistemes Si tinc una fila en que tots els números són 0 menys en una columna, l’únic que valor que pot tenir la incògnita que multiplica aquesta columna és 0, si volem que el resultat sigui 0 (i volem això si ens trobem en un estat estacionari). En saber que v4 és 0, la quarta columna no cal que la tinguem en compte, ja que sabem que no afecta a la resta del sistema. En tot cas, el millor és revisar la informació que tens, perquè potser t’has equivocat en la descripció de la xarxa, o ens hem descarregat informació equivocada.
Conseqüència: a la matriu Kernel una determinada fila tindrà només 0 (així en totes les solucions possibles v4 = 0). Pot ser: - Que la reacció sigui reversible i estigui a l’equilibri.
Que no intervingui a l’estat estacionari.
Que la descripció del sistema tingui un error.
Si és correcta no cal tenir-la en compte per a l’estat estacionari.
Reaccions que sempre tenen el mateix flux: Si en tots els vectors k dos o més reaccions sempre tenen el mateix valor (dins un mateix vector) és que les incògnites segurament representen reaccions consecutives. Aquí v2 i v3 sempre tindran el mateix flux. De fet aquestes dues reaccions es podrien agrupar en una de sola.
També podria ser que aquestes dues reaccions estiguessin lligades per algun component intermedi, que fes que fossin paral·leles.
Si podem considerar una reacció irreversible: Interessa considerar un Kernel on la reacció irreversible vagi en la direcció correcta. Es pot obtenir un nou Kernel multiplicant per una matriu adequada (quadrada i per la dreta) el Kernel antic: 64 Biologia de Sistemes RELACIONS DE CONSERVACIÓ Si en un sistema concret hi ha components que no s’afegeixen ni s’eliminen, trobarem llavors relacions de conservació. Exemples: - En una reacció enzimàtica la quantitat d’enzim es manté constant.
𝑑(𝐸𝑆 + 𝐸) =0 𝑑𝑡 - Si considerem una sola reacció aïllada (per exemple en un tub): 2𝐴 ↔ 3𝐵 - 𝐸𝑆 + 𝐸 = 𝑐𝑡.
𝐴 𝐵 + = 𝑐𝑡.
2 3 ; ; 3𝐴 + 2𝐵 = 𝑐𝑡.
En un sistema metabòlic, ho trobarem en els components que aporten un element clau però es considera que una part seva no intervé (per exemple: ATP, NADH, NADPH, CoA...) i per tant es conserven: De manera general les relacions de conservació es detecten en haver-hi relacions de dependència lineal entre les files de la matriu estequiomètrica.
Les relacions de conservació són equivalents al concepte d’espai nul però per l’esquerra (leftNullspace). Per tant en aquests casos hi ha una matriu G que en multiplicar per l’esquerra a la matriu estequiomètrica N dóna zero: G·N=0 Implica que també es dóna al sistema diferencial inicial. Per tant al sistema: 𝑑𝑆 =𝑁·𝑣 𝑑𝑡 Multipliquem a banda i banda per G: 𝐺· 𝑑𝑆 =𝐺·𝑁·𝑣 =0 𝑑𝑡 Resulta un nou sistema d’equacions que es fa zero. També implica que la combinació de les 𝑑𝑆 derivades es fa zero. Si una derivada és zero, 𝐺 · 𝑑𝑡 = 0, la seva primitiva és una constant. Per tant: 𝐺 · 𝑆 = 𝑐𝑡. (Generalment el/s valor/s de les constants s’obtenen de la condició inicial).
El nombre de relacions de conservació serà: n-rang(N); on n és el nombre de files (metabòlits) de la matriu N. Es pot trobar idènticament al Kernel, donat que: G·N=0 → 0 = N T GT Igual que amb el Kernel la matriu G no és única. Es pot trobar un altre d’equivalent multiplicant per una matriu (quadrada i per l’esquerra), per exemple: ̂ = PG G La nova matriu G és la combinació lineal de l’anterior i també dóna zero al multiplicar N per l’esquerra.
65 Biologia de Sistemes Exemple: ATP i ADP en un sistema tancat - Si en gastar un ATP sempre generem un ADP.
Si en generar un ATP sempre gastem un ADP.
Com sabem, la “utilitat” de la seva intervenció és aportar o emmagatzemar energia, i de vegades grups fosfat.
Podem considerar l’ADP com un grup que es manté conservat.
Si ATP i ADP estan relacionats per una constant puc calcular-ne una amb una equació diferencial i l’altra, gràcies a la relació amb la constant, calcular-la fent una resta.
Per tant, una relació de conservació indica que la quantitat total dels components implicats (o una relació entre ells) no varia al llarg del temps. És constant. Per tant cada relació permet prescindir d’una equació a descriure.
Exemple: acetaldehid-acetat en un sistema tancat 𝑟1: 𝑎𝑐𝑒𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒ℎ𝑖𝑑 + 𝐻2 𝑂 + 𝑁𝐴𝐷 + = 𝑎𝑐𝑒𝑡𝑎𝑡 + 𝑁𝐴𝐷𝐻 + 𝐻 + 𝑟2: 1 𝑂 + 𝑁𝐴𝐷𝐻 + 𝐻 + = 𝐻2 𝑂 + 𝑁𝐴𝐷 + 2 2 La matriu G ens diu quantes relacions de conservació hi ha. En aquest cas n’hi ha una: el NAD sempre es conserva, estant en la forma NAD+ o en la NADH.
66 Biologia de Sistemes Altres exemples de conservació es poden trobar també dins l’equació d’una reacció enzimàtica: piruvat decarboxylasa: 𝐶𝐻3 𝐶𝑂𝐶𝑂𝑂− + 𝐻 + → 𝐶𝐻3 𝐶𝐻𝑂 + 𝐶𝑂2 Es transposa la N, es troba el Kernel, i el resultat es torna a transposar. Llavors així s’obté la G (ams).
Altres matrius de conservació es podrien derivar de fonaments físics: Igual que passa amb el Kernel, la matriu G no és única i es poden trobar combinacions diferents.
Les relacions de conservació són molt útils per simplificar els sistemes d’equacions diferencials.
Si hi ha relacions de conservació algunes equacions són linealment dependents. El sistema es pot dividir en dues parts: - Una part amb equacions diferencials.
Una part amb equacions algebraiques derivades de les relacions de conservació amb les anteriors.
Com es faria: - - Reordenar les equacions deixant a la part superior les corresponents a files independents. N0 són les equacions que resoldrem com a equacions diferencials. La resta d’equacions les solucionarem algebraicament, són les de la matriu N’.
A partir de la matriu reduïda N0, la matriu N es pot obtenir amb la matriu d’enllaç L (link matrix). L és una matriu d’enllaç que en multiplicar-la pel sistema reduït ens dóna el sistema sencer. La L té tantes files com relacions de conservació té el sistema.
Per simplificar el sistema d’equacions diferencials s’ha de reordenar la matriu S en dos blocs, idènticament a com s’ha fet amb la matriu N: Ara només cal resoldre el sistema d’equacions diferencials del sistema reduït: 67 Biologia de Sistemes L’evolució de la resta de variables es pot calcular a partir de les anteriors a partir de: Si volem la derivada O també fent la integral: Si volem la concentració Exemple numèric: ANÀLISI DE VIES METABÒLIQUES (MPA) L’anàlisi de vies metabòliques (Metabolic Pathway Analysis) identifica unitat funcionals i estructurals dins les xarxes metabòliques. Hi ha dues aproximacions principals: - Modes de flux elementals (Elementary flux modes).
Vies extremes (Extrem Pathways).
Ambdós conjunts són generadors de l’espai de distribució de fluxos a l’estat estacionari, fent servir vies no descomposables i autònomes.
68 Biologia de Sistemes MODES DE FLUX D’acord amb el vist fins aquí, en un sistema senzill com aquest: Graus de llibertat = nombre de fluxos/incògnites – rang(N) = =3–1=2 Una base del “Null-Space” (Kernel) està formada per 2 vectors o modes de flux (flux modes).
Una possible selecció de modes al Kernel: a) Vectors de flux del Kernel de N: N = [1 -1 -1] Cadascun es pot veure com un conjunt de reaccions que, si operen en aquelles proporcions de flux, poden mantenir l’estat estacionari: Recordem que qualsevol distribució de fluxos d’aquest sistema es pot posar com a combinació lineal del Kernel: v = α1·k1 + α2·k2 Com que la base del Kernel no és única es podria haver triat una altra: Definició de modes de flux elementals: - Compleixen condicions d’estat estacionari.
69 Biologia de Sistemes - - Compleixen propietats de reversibilitat.
NO es poden descompondre (combinació lineal) en modes més senzills (per exemple en modes equivalents que impliquin menys enzims, ja que si eliminem alguna de les reaccions no s’obté una estat estacionari).
El conjunt de modes de flux elementals és únic.
El conjunt de vectors de l’espai vectorial format pels modes de flux elementals és més gran o igual que les dimensions del Kernel.
Un mode de flux es pot representar com a combinació lineal dels modes elementals: EXEMPLES DE MODES DE FLUX ELEMENTALS 70 Biologia de Sistemes Exemples amb dues vies paral·leles: Si considerem el Kernel inicial algunes reaccions van al revés: Obtenim una nova matriu com a combinació lineal de les columnes de la primera de manera que no hi hagi reaccions en la direcció contrària a la termodinàmicament favorable.
CON DE FLUX Possible representació gràfica dels fluxos metabòlics. Posar a cada eix el valor del flux d’una de les reaccions. Per a sistemes petits de 3 reaccions tindríem una representació espacial tal com: El conjunt de possibles solucions (fluxos possibles) es troba delimitada dins del con. L’estrelleta indica una solució concreta. Un sistema molt senzill amb un sol vector base al Kernel té les solucions limitades a un vector (cas de la dreta).
Un sistema de 3 reaccions amb dos vectors base té les solucions d’estat estacionari limitades a un pla: - Cada distribució de fluxos es pot representar de manera única a partir de la combinació lineal dels vectors base del Kernel.
Però els vectors base no són una elecció única.
Caldria trobar també un conjunt de vectors base únics per representar de manera única una distribució de fluxos.
El conjunt de modes de flux elementals és un conjunt únic però de vegades té dimensions més grans que una base.
71 Biologia de Sistemes - Això vol dir que pot haver-hi més d’una combinació lineal de modes de flux que doni la mateixa distribució de fluxos.
Convé trobar un conjunt de vectors únic a partir del qual es pugui calcular, per combinació lineal, qualsevol distribució de fluxos de manera única.
VIES EXTREMES (EXTREME PATHWAYS) Si a les condicions imposades prèviament per a definir els modes que eren: - Complir condicions d’estat estacionari.
Complir propietats de reversibilitat.
No poder convertir-se a modes més senzills (per exemple modes equivalents que impliquin menys enzims).
Hi afegim com a noves: - Cada reacció s’ha de diferenciar entre flux d’intercanvi o reacció intercanvi.
Les reaccions internes reversibles es divideixen en dues de diferent sentit i cadascuna irreversible (no hi ha fluxos interns negatius).
Els metabòlits només poden participar en una sola reacció d’intercanvi.
S’escull el conjunt mínim dels EFM (Modes de Flux Elementals) que pot representar per combinació a qualsevol flux possible (Base Convexa).
Arribem a definir les vies extremes.
Exemples de vies extremes: 72 Biologia de Sistemes COMPARACIÓ DE MODES ELEMENTALS I VIES EXTREMES EN EL MATEIX SISTEMA SENZILL La distribució de fluxos de EIMo 4, per exemple, pot ser calculada com a combinació de ExPa1 i ExPa 2.
VIES EXTREMES (EXTREME PATHWAYS) Visió resultant de la nova representació per un sistema senzill com el vista abans: Posem el valor dels fluxos en els vectors per fer la representació. Com que en aquest cas tots els fluxos tindran valors positius, qualsevol distribució de fluxos queda restringida al primer quadrant (les reaccions reversibles s’hauran descompost en dues d’irreversibles, per tant no poden tenir valor negatiu).
73 Biologia de Sistemes Si dibuixéssim en el con de flux les vies extremes, aquestes apareixerien com les arestes del con.
És a dir, delimiten la zona on es poden trobar les vies elementals. Sempre trobarem una solució al sistema dins aquest espai. En alguns sistemes les vies elementals poden coincidir amb les extremes.
- - - Qualsevol distribució de fluxos a l’estat estacionari es troba dins el con de flux (en un estat estacionari sí que podríem tenir una solució de distribució de fluxos fora del con).
Les arestes del con de flux són les vies extremes.
Per algunes xarxes metabòliques les vies extremes coincideixen amb els modes elementals (per exemple si els flux d’intercanvi són irreversibles o si contenen reaccions irreversibles).
Qualsevol distribució de fluxos és combinació lineal no negativa de les vies extremes: 𝑉 = ∑ 𝛼𝑖 𝑝𝑖 𝛼𝑖 ≥ 0 𝑖 - Les vies extremes representen modes fonamentals d’una xarxa metabòlica.
Hem de tenir en compte que la solució que obtenim serà en funció de la termodinàmica que haguem considerat per la reacció. Si hem dit que la direcció anava en un sentit, obtindrem uns valors negatius o positius pels fluxos en funció d’això.
Podríem pensar que com el con està governat pels vectors els fluxos poden prendre valors infinits, sempre que estiguin dins les solucions. Però no és així, ja que les entrades i sortides d’un sistema, les reaccions de biogènesi i degradació no poden tenir uns valors infinits. Ja que les velocitats tenen un màxim, les quantitats d’enzim són finites... Això fa que hi hagi un màxim pel que fa a la distribució de flux. El problema és delimitar on està aquest màxim. Podem començar fent deduccions teòriques, tenint en compte la difusibilitat del substrat, la facilitat que tingui per unir-se amb l’enzim, la quantitat d’enzim... o molts altres conceptes.
Per exemple: - Un determinat component com l’oxigen té una velocitat de difusió màxima que limitarà el consum.
Cada enzim té una velocitat màxima i hi ha una quantitat màxima de proteïnes que es poden trobar al citoplasma.
Cada organisme té una velocitat de creixement màxima.
Tot això fa que el con en realitat quedi tancat per unes seccions per dalt, i les solucions quedin emmarcades dins un espai finit.
74 Biologia de Sistemes Tot això vol dir que, a partir de: - La informació obtinguda de l’anotació del genoma.
L’estequiometria coneguda.
D’un nombre de restriccions menor que el nombre de fluxos.
Es pot estudiar: - Les capacitats del metabolisme.
L’efecte de modificacions al metabolisme original.
APLICACIONS DE L’ANÀLISI DE VIES METABÒLIQUES En general són d’utilitat per estudis metabòlics i com a eines de modelització: - Determinació de rendiments òptims i sub-òptims de diferents camins.
Identificació d’enzims prescindibles (bypass).
Optimització de medis.
Anàlisi de redundància i flexibilitat de la xarxa.
Funcionalitat de components.
Útils per estudiar la calculabilitat de fluxos metabòlics.
Identificació completa de flux de materials.
Identificació de parts de la xarxa sense cap funció (dead subnets).
Identificació de cicle fútils (a vegades hi ha cicles que estequiomètricament sembla que són fútils i després realment no és així, ja que tenen alguna funció com gastar ATP, generar calor... En general, realment poques vegades una via cíclica no té cap funció).
75 ...