Examen Parcial Otoño 2012 (2012)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Cálculo I
Año del apunte 2012
Páginas 3
Fecha de subida 12/11/2014
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6. Sigui f : [ 2⇡, 2⇡] ! R definida per f (x) = sin x+cos x.
Quantes rectes tangents a la gr`afica de f en aquest domini tenen pendent igual a 0 ? C` alcul-ETSETB, Grup 80 1r Parcial, 26 d’Octubre de 2012 Temps: 2h Opci´ o: 1 (a) Cap.
1. Sigui k > 0 i f (x) : (0, +1) ! R una funci´ o cont´ınua tal que: 8 1 2 < x (x + 3), si 0 < x < k f (x) = : 3x + 1, si x k Aleshores: (a) k = 1.
(c) 2.
(d) 4.
7. Qu`e podem deduir si apliquem el Teorema del Valor Mig (Rolle o Lagrange) a f (x) = x · sin x en l’interval [0, ⇡] ? (a) 9c 2 (0, ⇡) tal que sin(c) = 0.
(b) 9c 2 (0, ⇡) tal que tan(c) = c.
(b) k = 2.
(c) 9c 2 (0, ⇡) tal que tan(c) = (c) k = 32 .
(d) k = (b) 1.
c.
(d) 9c 2 (0, ⇡) tal que f (c)  f (x), per tot x 2 [0, ⇡].
3 2.
x 4 x.
2. Sigui f (x) = e En quin dels intervals seg¨ uents el teorema de Bolzano assegura l’exist`encia d’alguna soluci´ o de l’equaci´ o f (x) = 0 ? [Vigileu amb la continu¨ıtat de f .] 8. Quant ha de valer el par`ametre 2 R perqu`e es comp p pleixi lim x2 + x 3 x2 x + ln x = 2 ? x!+1 (a) = 1.
(b) = 3.
(a) ( 2, 2).
(c) = 3.
(b) ( 1, 1).
(d) = 1.
(c) (2, 4).
9. Si utilitzem el polinomi de Taylor de grau 4 de la funci´ o f (x) = cos x, al voltant de x = 0, per aproximar el valor cos(1), el error que cometrem ser`a: (d) (1, 2).
3. L’equaci´ o de la recta tangent a f (x) = xx ´es: (a) y = 4x 3.
(b) y = 2x 1.
(c) y = 3x 2.
2 +1 en x = 1 (b) (b) f t´e m` axim absolut en x = x = 0.
2 i m´ınim absolut en (c) f t´e m` axim absolut en x = x = 3.
2 i m´ınim absolut en (d) f t´e m` axim absolut en x = 1 i m´ınim absolut en x = 3.
5. Les seg¨ uents funcions s´ on infinit`essims en x = 0: f1 (x) = ex sin x cos x, f2 (x) = x sin x, f3 (x) = x ln(1 + x), f4 (x) = 1 cos x. Per` o nom´es n’hi ha dos que siguin infinit`essims equivalents. Quins s´ on ? (d) f3 (x) i f4 (x).
com a molt.
1 3! i 1 4! .
10. Sigui f una funci´o derivable tal que f (0) = 1 i f 0 (0) = ⇡.
⇡ Quant val lim (f (x)) x ? (a) Com que f no ´es cont´ınua en tot [ 2, 3], el Teorema de Weierstrass ens assegura que f no t´e m` axim ni m´ınim absoluts.
(c) f1 (x) i f4 (x).
com a molt.
(d) No hi haur`a error, obtindrem exactament cos(1).
4. Sigui f : [ 2, 3] ! R una funci´ o tal que: ⇢ 2 x + 1, si 2x<1 f (x) = 2x + 6, si 1  x  3 (b) f1 (x) i f3 (x).
1 4! 1 5! (c) Estar`a entre (d) y = x.
(a) f1 (x) i f2 (x).
(a) x!0 (a) 1.
(b) e⇡ .
(c) ⇡.
2 (d) e⇡ .
11. Sigui f (x) = 1 + ln(1 + x). Quina ´es la funci´ o inversa de la funci´ of ? (a) f 1 (b) f 1 (x) = 1 (x) = ex 1+e 1 .
x 1 .
(c) f no t´e inversa perqu`e no ´es injectiva.
1 (x) = 1 + ex+1 .
⇥ ⇡ ⇡⇤ 12. Sigui f : ! R una funci´o cont´ınua, tal que 4, 4 f (x) = x13 (1 cos x sin x + ln(1 + x)) quan x 6= 0.
Quant val f (0) ? (d) f (a) 2 3.
(b) 1.
(c) (d) 1 2.
1.
13. Quin ´es el domini m` axim de f (x) = arcsin (a) [ 1, 1].
⇥ ⇤ (b) 1, 13 .
⇥ 1 ⇤ (c) 3, 1 .
⇥ ⇤ (d) 1, 12 .
14. La funci´ o f (x) = ⇢ ⇣ 2x x 1 e2x si x < 0 x2 + 2x + 1 si x 0 ´ cont´ınua i derivable, en x = 0.
(a) Es ´ cont´ınua per` (b) Es o no derivable, en x = 0.
(c) No ´es ni cont´ınua ni derivable, en x = 0.
´ derivable per` (d) Es o no cont´ınua, en x = 0.
2 e3x 1 2x+ln(1 2x) x!0 15. Quant val lim (a) 0.
(b) 3.
(c) 3 2.
3 2.
(d) ? ⌘ ? C`alcul-ETSETB, Grup 80 1r Parcial, 26 d’Octubre de 2012 Respostes correctes del Test Pregunta Opci´ o 1 Opci´ o 2 Opci´ o 3 Opci´ o4 1 (a) (b) (d) (d) 2 (d) (c) (b) (a) 3 (b) (a) (b) (d) 4 (c) (c) (a) (b) 5 (d) (d) (d) (a) 6 (d) (c) (b) (c) 7 (c) (b) (d) (c) 8 (c) (d) (c) (b) 9 (b) (a) (b) (d) 10 (d) (b) (c) (c) 11 (b) (c) (d) (b) 12 (c) (b) (b) (b) 13 (b) (c) (c) (a) 14 (a) (a) (c) (d) 15 (d) (b) (d) (a) ...