Derivadas (0)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas
Año del apunte 0
Páginas 11
Fecha de subida 27/05/2014
Descargas 4
Subido por

Descripción

Apuntes detallados y esquemáticos

Vista previa del texto

2 – Derivades 1. Concepte de Derivada Geomètricament parlant, la derivada d’una funció en un punt indicarà la pendent de la recta tangent a la funció.
La funció f (x) serà derivable en el punt x0 si el límit existeix i és finit, responent el concepte de derivada al següent límit: f ′( x0 )= h lim 0 f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h Exemple 1. Calcula la derivada de la següent funció en el punt x = 3 : f ( x) = 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 2 Abans de fer el límit buscarem per separat les seves components: f ( x0 ) = f (3) = 3 ⋅ (3) 2 + 2 ⋅ (3) + 2 = 35 f ( x0 + h) = f (3 + h) = 3 ⋅ (3 + h) 2 + 2 ⋅ (3 + h) + 2 = 3 ⋅ (32 + h 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ h) + + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ h + 2 = 3 ⋅ h 2 + 20 ⋅ h + 35 Ara ja podem passar a buscar el límit: f (3 + h) − f (3) 3 ⋅ h 2 + 20 ⋅ h + 35 − 35 = h lim 0 = h h = h lim 0 3 ⋅ h + 20 = 20 f ′(3)= h lim 0 Per tant ja podem concloure que la pendent de la funció en el punt , valdrà vint: f ′(3) = 20 Si ho fem pel mètode “tradicional” veiem que donaria el mateix: f ′( x) = 6 ⋅ x + 2 → f ′(3) = 6 ⋅ 3 + 2 = 20 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-1 2. Recta tangent Basant-nos en que la derivada no es res més que la pendent de la funció en el punt derivat; podem utilitzar-la per calcular la recta tangent a la funció en el punt estudiat: y = f ′(x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 ) Exemple 2. Calcula la recta tangent a la següent funció en el punt x = 3 : f ( x) = 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 2 Abans de trobar la tangent, buscarem per separat les seves components, en aquest cas podem aprofitar els resultats obtinguts a l’anterior exemple: f ′( x0 ) = f ′(3) = 20 f ( x0 ) = f (3) = 35 Ara ja podem passar a buscar la recta tangent: y = f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 ) = 20 ⋅ ( x − 3) + 35 = 20 ⋅ x − 25 Per tant la recta tangent serà: y = 20 ⋅ x − 25 Exemple 3. Calcula la recta tangent a f ( x) = 3 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x + 2 que sigui paral·lela la següent funció: g ( x) = 2 ⋅ x 2 + 3 Primer buscarem les pendents de les dues funcions: f ′( x ) = 6 ⋅ x + 2 g ′( x ) = 4 ⋅ x + 3 Per a que dues funcions siguin paral·leles, les seves pendents han de valer el mateix, aprofitant-nos d’això podem resoldre el punt on es compleix: f ′( x ) = 6 ⋅ x + 2 1 6 ⋅ x + 2 = 4 ⋅ x + 3 → x0 = = 0'5 g ′( x ) = 4 ⋅ x + 3  2 Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-2 Substituint el punt a la funció inicial i a la derivada obtindrem: f ( x0 ) = 3 ⋅ x0 + 2 ⋅ x0 + 2 → f ( x0 = 0'5) = 3 ⋅ 0'52 + 2 ⋅ 0'5 + 2 → f (0'5) = 3'75 2 f ′( x0 ) = 6 ⋅ x0 + 2 → f ′( x0 = 0'5) = 6 ⋅ 0'5 + 2 → f ′(0'5) = 5 Podem passar llavors a calcular la recta tangent: y = f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + f ( x0 ) = 5 ⋅ ( x − 0'5) + 3'75 = 5 ⋅ x + 1'25 Per tant la recta tangent serà: y = 5 ⋅ x + 1'25 3. Derivades immediates Hi ha una sèrie d’integrals que, degut a la seva forma i senzillesa, es poden resoldre d’una manera més ràpida, podent anomenar les següents: f ( x) = x a → f ′( x) = a ⋅ x a −1 f ( x) = a x → f ′( x) = 1 a ⋅ x a −1 a f ( x) = e x → f ′( x) = e x f ( x) = a x → f ′( x) = a x ⋅ ln a f ( x) = ln x → f ′( x) = 1 x Matemàtiques I – G. Lladó Fortit f ( x) = g ( x) a → f ′( x) = a ⋅ g ( x) a −1 ⋅ g ′( x) g ′( x) f ( x) = a g ( x) → f ′( x) = a ⋅ a g ( x) a −1 f ( x) = e g ( x ) → f ′( x) = e g ( x ) ⋅ g ′( x) f ( x) = a g ( x ) → f ′( x) = a g ( x ) ⋅ g ′( x) ⋅ ln a g ′( x) f ( x) = ln g ( x) → f ′( x) = g ( x) 0-3 Derivades trigonomètriques immediates: f ( x) = sen g ( x) → f ′( x) = cos ( g ( x) ) ⋅ g ′( x) f ( x) = cos g ( x) → f ′( x) = − sen ( g ( x) ) ⋅ g ′( x) f ( x) = tg g ( x) → f ′( x) = sec 2 ( g ( x) ) ⋅ g ′( x) f ( x) = sen x → f ′( x) = cos x f ( x) = cos x → f ′( x) = − sen x f ( x) = tg x → f ′( x) = sec 2 x f ( x) = cot g x → f ′( x) = − cos ec 2 x f ( x) = sec x → f ′( x) = tg x ⋅ sec x f ( x) = cos ec x → f ′( x) = − cot g x ⋅ cos ec x f ( x) = arcsen x → f ′( x) = 1 1 − x2 1 f ( x) = arctg x → f ′( x) = 1 + x2 f ( x) = cot g g ( x) → f ′( x) = − cos ec 2 ( g ( x) ) ⋅ g ′( x) f ( x) = sec g ( x) → f ′( x) = tg ( g ( x) ) ⋅ sec ( g ( x) ) ⋅ g ′( x) f ( x) = cos ec g ( x) → f ′( x) = − cot g ( g ( x) ) ⋅ cos ec ( g ( x) ) ⋅ g ′( x) f ( x) = arccos x → f ′( x) = − 1 1 − x2 1 f ( x) = arc cot g x → f ′( x) = − 1 + x2 Exemple 4. Calcula la següent derivada: f ( x) = 4 4 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 2 + 3 Podem comprovar que s’ajusta al següent model teòric: f ( x) = a g ( x) → f ′( x) = g ′( x) a ⋅ a g ( x) a−1 Identificant la g (x) , calcularem la seva derivada: g ( x) = 4 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 2 + 3 → g ′( x) = 12 ⋅ x 2 + 4 ⋅ x Llavors la derivada de quedaria com: f ′( x) = 12 ⋅ x 2 + 4 ⋅ x 4 ⋅ 4 (4 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 2 + 3)3 = 3⋅ x2 + x 4 (4 ⋅ x 3 + 2 ⋅ x 2 + 3) 3 Exemple 5. Calcula la següent derivada: f ( x) = ln(2 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x ) Podem comprovar que s’ajusta al següent model teòric: f ( x) = ln g ( x) → f ′( x) = Matemàtiques I – G. Lladó Fortit g ′( x) g ( x) 0-4 Identificant la g (x) , podem calcular la seva derivada: g ( x) = 2 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x → g ′( x) = 4 ⋅ x + 3 Llavors la derivada de quedaria com: f ′( x) = 4 ⋅ x2 + 3 2 ⋅ x + 3⋅ x 4. Propietats de les derivades: Regles de derivació Si f (x) i g (x) son derivables en el punt x0 , i k es una constant; llavors es complirà que: ( f + g )′( x) = f ′( x) + g ′( x) ( f ⋅ g )′( x) = f ′( x) ⋅ g ( x) + g ′( x) ⋅ f ( x) ′ f f ′( x) ⋅ g ( x) − g ′( x) ⋅ f ( x)   ( x) = si g ( x) ≠ 0 (g ( x))2 g (k ⋅ f )′( x) = k ⋅ f ′( x) ( f o g )′ ( x) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x) ← regla de la cadena Exemple 6. Calcula la següent derivada: )( ( h( x ) = 2 ⋅ x 3 + 3 ⋅ x 2 + 8 ⋅ 2⋅ x + 3 ) Podem comprovar que s’ajusta al següent model teòric: ( f ⋅ g )′( x) = f ′( x) ⋅ g ( x) + g ′( x) ⋅ f ( x) Identificant la f ( x) i la g ( x) , podem calcular les seves derivades: f ( x) = 2 ⋅ x 3 + 3 ⋅ x 2 + 8 → f ′( x) = 6 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x g ( x) = 2 ⋅ x + 3 → g ′( x) = 2 2⋅ x +3 Llavors la derivada de quedaria com: h′( x) = (6 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x ) ⋅ Matemàtiques I – G. Lladó Fortit ( ) 2   2⋅ x +3 +  ⋅ (2 ⋅ x 3 + 3 ⋅ x 2 + 8)  2⋅ x + 3  0-5 Exemple 7. Calcula la següent derivada: ( f ( x) = ln 2 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x ) Utilitzarem en aquest cas la Regla de la cadena: (f ′ o g ) ( x) = f ′( g ( x)) ⋅ g ′( x) Identificant la g (x) , podem calcular la seva derivada: g ( x) = 2 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x → g ′( x) = 4 ⋅ x + 3 Per realitzar la derivada de f ′( g ( x)) , cal tenir en compte que en la regla de la cadena la funció interior actuarà com una variable: f ′( g ( x)) = 1 1 = 2 g ( x) 2 ⋅ x + 3 ⋅ x Llavors la derivada de quedaria com: (f ′ o g ) ( x) = 1 4⋅ x + 3 ⋅4⋅ x + 3 = 2⋅ x + 3⋅ x 2 ⋅ x2 + 3 ⋅ x 2 Coincidint el resultat amb el càlcul fet mitjançant la Regla de derivació.
5. Derivada logarítmica Aquest mètode ens permetrà resoldre d’una manera més còmoda derivades del tipus:  g ′( x)  f ( x) = g ( x) h ( x ) → f ′( x) = g ( x) h ( x ) h′( x) ⋅ ln g ( x) + h( x) ⋅ g ( x)   Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-6 6. Derivada enèsima En aquest put tractarem la possibilitat de realitzar successives derivades, amb l’objectiu de intentar descobrir la llei que segueixen i trobar la seva forma generalitzada.
D[ f ′( x)dx ]dx = f ′′( x)dxdx = f ′′( x)dx 2 Exemple 8. Troba la forma de la derivada general de la següent funció: f ( x) = ln x Farem successives derivades per intentar descobrir la relació entre els resultats: 1 = x −1 x 1 f ′′( x) = − 2 = − x −2 x 2 f ′′′( x) = 2 = 2 ⋅ x −3 x f ′( x) = f ′ 4 ( x) = − 6 = −6 ⋅ x −3 3 x f ′ n ( x) = (− 1) n +1 ⋅ (n − 1) !⋅x − n 7. Funcions derivables Per a que una funció sigui derivable en un punt, ha de tenir límit en aquell punt, i la seva pendent ha de ser la mateixa independentment del costat per on ens hi apropem.
Exemple 9. Avalua la derivabilitat de la següent funció en el punt x = 1 : x − 1 f ( x) =  2 x − 1 si x ≤ 1 si x > 1 Primer buscarem el límit de les dues equacions de la funció: lim1+ f ( x)= x lim a + x 2 − 1 = 0  x lim1 f ( x) = 0 x lim1− f ( x ) = x lim a − x − 1 = 0  x Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-7 Ara calcularem la derivada de la funció en, on avaluarem el resultat per les dues bandes: f ′ − ( x0 = 1)= h lim1− = h lim1− ((1 + h ) − 1) − (1 − 1) = f (1 + h) − f (1) = h lim1− h h h = lim − 1 = 1 h h 1 ( = h lim1+ ) ( ) f (1 + h) − f (1) (1 + h) − 1 − 12 − 1 = = h lim1+ h h 2 2 2 2 1 + h + 2 ⋅ h −1 − 1 −1 h + 2⋅h = h lim1+ = h lim1+ h + 2 = 3 h h f ′ + ( x0 = 1)= h lim1+ ( ) ( 2 ) Com podem veure el límit no coincideix: lim1+ f ′ + ( x) = 3 + − → x lim1+ f ′ ( x)≠ x lim1− f ′ ( x) − lim1− f ′ ( x) = 1  x x El que implica que la funció no es derivable.
8. Diferencial: Avaluació del increment Per avaluar el canvi que sofreix la funció al incrementar la variable, hauríem de realitzar el següent càlcul: ∆f = f (x0 + ∆x ) − f ( x0 ) El diferencial ens permetrà calcular el increment que realitza la funció donat un increment de la variable x , representat per ∆x . Ho representarem com a df , i respondrà al següent càlcul: df = f ′( x) ⋅ ∆x Considerarem que el resultat de la funció és una altra variable, això ens permet modificar la nomenclatura: ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) y = f ( x) →  dy = f ′( x) ⋅ ∆x Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-8 El diferencial ens indicarà el increment que pateix la recta tangent a la funció pel canvi analitzat en la variable: Exemple 10. Calcula el increment y el diferencial de la següent funció en el punt x = 1 per un increment de la variable de dues unitats: y = f ( x) = 2 ⋅ x 2 + 3 ⋅ x Primer buscarem la derivada de la funció, per trobar el seu valor en el punt analitzat: f ′( x) = 4 ⋅ x + 3 → f ′(1) = 4 ⋅ 1 + 3 = 7 Amb aquestes dades ja podem passar a buscar el diferencial: df = dy = f ′( x) ⋅ ∆x = 7 ⋅ 2 → dy = 14 Aquest valor indicaria que, al incrementar la variable x en dues unitats la recta tangent a la funció en el punt x=1, incrementaria en 14 unitats.
Calcularem ara el increment en la funció: ∆f = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = f (1 + 2) − f (1) = ( ) ( ) = 2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 12 + 3 ⋅ 1 = 27 − 5 = 22 → ∆f = 22 Aquest resultat ens indicarà que al passar la variable de valer u, a valer tres, la funció incrementarà en 22 unitats.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-9 9. Aplicació econòmica 9.1. Concepte de canvi marginal Realitzant la derivada obtenim el que es coneix com a funció marginal; aquesta ens indica el canvi en el resultat de la funció per un increment unitari de la variable, sempre i quan aquest increment no modifiqui la relació analitzada.
Exemple 11. Calcula el Benefici marginal quan la producció es de 50 unitats si coneixem les següents equacions de comportament de la empresa: Demanda → p = 500 − 2 ⋅ x Cost → C ( x) = 200 + 5 ⋅ x Per calcular el Benefici marginal, primer buscarem la funció del Benefici:  Ingresos → p ⋅ x  B( x) = Ingresos − Costos →   → B( x) = p ⋅ x − (200 + 5 ⋅ x ) → Costos → 200 + 5 ⋅ x  B( x) = (500 − 2 ⋅ x ) ⋅ x − (200 + 5 ⋅ x ) → B( x) = 500 ⋅ x − 2 ⋅ x 2 − 200 − 5 ⋅ x → B( x) = 495 ⋅ x − 2 ⋅ x 2 − 200 Un cop tenim la funció del Benefici, per aconseguir la funció de Benefici marginal caldrà que fem la derivada: B( x) = 495 ⋅ x − 2 ⋅ x 2 − 200 → B′( x) = 495 − 4 ⋅ x Ja només restarà substituir pel nivell de producció que demanen: B′(50) = 495 − 4 ⋅ 50 = 295 → B′(50) = 295 Quantitat que ens indica que si passem a produir, i vendre, de 50 a 51 unitats, el Benefici s’incrementarà en 295 unitats.
Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-10 9.2. Concepte d’elasticitat L’elasticitat ens permetrà avaluar el canvi percentual que sofreix el resultat de la funció quan el canvi de la variable tendeix a zero: ∆f ⋅ 100 Ef x Ef x ∆f x df f = ⋅ f ′( x) = x lim 0 = x lim 0 ⋅ = ⋅ → ∆x Ex f ( x) Ex f ∆ x f dx ⋅ 100 x Exemple 11. Calcula l’elasticitat en la següent funció de demanda per als nivells de preus: p = 50 p = 70 x = 500 − 50 ⋅ p p = 100 Primer busquem la derivada de la demanda: x = f ( p ) = 500 − 50 ⋅ p → f ′( p ) = −50 Llavors ja podem substituir a l’equació: Ef ( p ) p Ef ( p ) p Ef ( p ) −p = ⋅ f ′( p ) → = ⋅ (−50) → = Ep f ( p) Ep 500 − 50 ⋅ p Ep 10 − p Ara ja podem passar a descobrir la demanda per cada preu: Ef (2) −2 = = −0'25 → Elàstica Ep 10 − 2 Ef (5) −5 p=5→ = = −1 → Unitaria Ep 10 − 5 Ef (8) −8 p=8→ = = −4 → Inelàstica Ep 10 − 8 p=2→ Matemàtiques I – G. Lladó Fortit 0-11 ...