Oscil·lacions lliures (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2013
Páginas 22
Fecha de subida 10/08/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Sessió 4 (30/9-4/10/2013) II. Oscil·lacions: oscil·lacions lliures Física I 1er GEEIA, GEE, GET i GEI Física I Índex 2.1 Nocions bàsiques. Moviments periòdics.
2.2 Oscil·lador harmònic simple. Equació model.
Freqüència i periode de l'oscil.lador.
Equació i constants del moviment: amplitud i fase inicial. Exemples. Energia del moviment harmònic simple 2.3 Oscil·lacions esmorteïdes. Equació model de l'oscil·lador esmorteït. Factor de qualitat.
Exemples.
2.4 Oscil·lacions forçades 2.2 Física I 2.1 Nocions bàsiques  Els moviments periòdics són una classe de moviments molt importants que es poden trobar en tots els àmbits de la realitat.
 Exemples: el moviment de la terra i dels astres imposa tota una sèrie de cicles en la natura, tant físics com biològics, des de les marees als ritmes circadians. A escala reduïda: les osci.lacions d'un pèndol, d'un circuit elèctric, de ... (poseu exemples) ... són fenòmens periòdics  A la pràctica, la fricció atura el moviment periòdic, que idealment podria durar per sempre. Les oscil.lacions reals són per tant esmorteïdes. Exemple: una pilota que bota sobre el terra.
 Per tant, si volem que el moviment persisteixi, a l'oscil.lador se li ha de subministrar energia: les oscil.lacions no són lliures, sino forçades. Exemples: un gronxador, les vibracions d'un motor...
2.3 Física I Moviments periòdics 2.4 Física I 2.7 Forces elàstiques F x 2F 2x a F gid mo lla mé s rí F tova s é am moll F=kx x x 2.5 Física I Oscil·lacions lliures -k x m F En equilibri, la força F amb que estirem, compensa la força elàstica de la molla, kx.
Les forces elàstiques són forces restauradores, perquè s'oposen al desplaçament produït per la força F Posició d'equilibri Si deixem d'estirar, el resultat del moviment Força restauradora, -kx originat per la força Posició elàstica lineal és el moviment oscil·latori harmònic simple 2.6 Física I Anàlisi del moviment harmònic simple quin tipus de funció del temps podria ser aquesta? 2.7 Física I Equació model F=−kx m x=−kx ¨ m x¨ +kx=0 Equació diferencial del moviment harmònic simple, m.h.s.
Efectivament, la solució de l'equació diferencial és alguna funció sinusoïdal: x ( t ) =A cos ( ωt+ϕ 0 ) 2.8 Física I Periode i freqüència del m.h.s.
x ( t ) =A cos ( ωt+ϕ 0 )  Podem veure que ω= √ k m és la freqüència angular del moviment harmònic simple del sistema massa-molla. k i m són les constants de l'oscil.lador.
 Les constants A i φ0 són l'amplitud i la fase inicial: són constants del moviment i depenen de les condicions inicials.
2.9 Física I ω² = k/m  x=A cos ( ωt+ ϕ 0 ) x˙ =v=− Aω sin ( ωt+ ϕ 0 ) x¨ =a=− Aω 2 cos ( ωt+ ϕ 0 ) m x¨ +kx=0 −mAω2 cos ( ωt+ ϕ 0 ) +kA cos ( ωt+ ϕ 0 ) =0 2 −mω +k= 0 k ω= m 2 (independentment dels valors de A i φ0) 2.10 Física I Oscil·ladors de freqüències diferents L'oscil.lador vermell té una freqüència 3 vegades superior a la del blau 2.11 Física I Amplitud A i fase inicial φ0 x=A cos ( ωt+ ϕ 0 ) v=−Aω sin ( ωt+ ϕ 0 ) Representació equivalent: v x moviment circular uniforme de freqüència angular ω (i periode T=2π / ω ) moviment harmònic simple A 2.12 Física I x t=0 φ0 v  L'amplitud A i la fase inicial φ0 són constants del moviment, depenen de les condicions inicials d'aquest: queden fixades si sabem la posició i la velocitat de l'oscil.lador quan t=0.
2.13 Física I  Exemple: Una massa de 10 kg penja d'una molla de constant k = 160 N/m. Quan t=0, la massa es troba en la posició d'equilibri, moment en què se l'impulsa amb una velocitat de 0.5 m/s. Troba la freqüència, amplitud i fase inicial del moviment de l'oscil·lador, escriu la seva equació, i troba quant valen la seva posició i velocitat quan t = 10 s.
R: ω= √ k =4rad/s m x=A cos ( 4t+ϕ 0 ) π v=−4A sin 4t + 2 ( x ( t= 0 ) =A cos ( ϕ 0 )= 0 ) v ( t= 0 )=−4A sin π =0. 5 2 ( ) 3π ϕ0 = π , 2 2 A= 0 .125m Com que no indiquen si l'impuls inicial és cap a +x (v>0) o -x (v<0), pot ser qualsevol dels dos angles ϕ0 = π/2, 3π/2 2.14 Física I Equació del moviment: x=0 . 125cos ( 4t +π / 2 ) (m) en t= 10 s: x ( t= 10 )=0 .125cos ( 40+π /2 )=−0 . 0931 (m ) v ( t= 10 )=−0 . 5sin ( 40 +π / 2 ) =0 .333 ( m/s) 2.15 Física I  L'amplitud A i la fase inicial φ0 canvien si canvien les condicions inicials del moviment, x(t=0) i v(t=0), però ω no es modifica, ja que ω depèn només de les constants materials del sistema oscil·lant  Amplituds diferents (relació 4:1)  Fases diferents: 2.16 Física I Exemples de moviment harmònic simple 1. Pèndol simple ¨θ +g θ=0 L L θ Pots escriure l'equació del moviment, en funció d'una amplitud i fase inicial arbitràries? 2. Oscil·lacions d'una columna líquida x L 2g x¨ + x=0 L 2.17 Física I 3. Oscil·lacions en un circuit LC Vab + Vba = 0 di q L − =0 dt C d2q q + =0 2 dt LC Per a una descripció detallada del procés de càrrega i descàrrega del condensador, vegeu http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/oscilaciones/oscilaciones.htm 2.18 Física I Energia del moviment harmònic simple El treball que es fa contra la força elàstica és l'energia potencial elàstica emmagatzemada quan la molla s'estira una longitud x: Quina és la 1 2 Eel =−∫ F el dx=∫ kx dx= kx 2 representació de Eel en funció de la posició? L'energia mecànica del moviment harmònic simple és la suma de l'energia potencial elàstica més l'energia cinètica: 1 2 2 E = kA cos ωt+ ϕ 0 ) x=A cos ( ωt+ ϕ 0 ) ( el 2 v=−Aω sin ( ωt+ ϕ 0 ) Ec = 1 mA 2 ω 2 sin 2 ( ωt+ ϕ 0 ) 2 1 1 2 2 2 E=Eel +E c = k A = m ω A =ctnt (k =m ω2) 2 2 2.19 Física I Composició d'oscil·lacions harmòniques ➢ En la mateixa direcció Freqüències iguals: x1 = A1 cos(ωt+φ1) x2 = A2 cos(ωt+φ2) x = x1 + x2 = A cos(ωt+φ) φ1 φ φ2 A=√ A 21 +A22 +2 A 1 A 2 cos(ϕ 1 −ϕ 2) A 1 sin ϕ 1+A 2 sin ϕ 2 tan ϕ = A 1 cos ϕ 1+A 2 cos ϕ 2 Freqüències diferents (portadora i moduladora) ➢ En direccions perpendiculars -figures de 2.20 Lissajous Física I Resum      En aquesta 1ª part del tema II, hem introduït l'equació de l'oscil·lador harmònic simple com a model fornamental d'oscil·lacions lliures d'un sistema massa-molla, la relació de les constants materials amb la freqüència del moviment, i la representació del m.h.s en funció del moviment circular uniforme equivalent.
Hem definit les constants del moviment (amplitud i fase inicial), i hem après a ajustar-les en funció de les condicions inicials del problema.
Hem vist alguns exemples típics d'oscil·lacions lliures Hem calculat l'energia del moviment harmònic simple Hem vist com es composen oscil·lacions harmòniques, en la mateixa direcció i en direccions perpendiculars 2.21 Continuarà ...