Exámen 2ndo parcial 2011 (2011)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2011
Páginas 4
Fecha de subida 13/08/2014
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Exámen.

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F´ısica (250104) Eng. Civil.
2P-F (11-01-2011) Apellidos, Nombre: Dept. F´ısica Aplicada ETSECCPB C´ odigo prueba: 250104 01 2 00 DNI: • Entregar u ´ nicamente esta hoja. Prohibido el uso de tel´efonos m´oviles.
• Rellenar completamente los cuadros de las respuestas con bol´ıgrafo o l´apiz.
• Obligatorio rellenar los cuadros correspondientes al DNI y permutaci´on.
(a) 117.70 1. Queremos duplicar la resistencia t´ermica de una corteza esf´erica de pl´astico de radio interno a = 2 cm y externo b = 5 cm. Si el radio interno no puede variarse, cu´al de las siguientes afirmaciones es cierta: (a) b debe reducirse a la mitad (c) b debe cuadruplicarse (b) b debe duplicarse (d) No puede duplicarse la resistencia 2. Estamos parados en un and´en y pasa un tren cuya sirena al alejarse suena con una frecuencia 5/6 menor que al acercarse. La velocidad del tren (en km h−1 ) es: (a) 111.3 (b) 80.7 (c) 207.8 (d) 303.4 3. (P-G) Sabemos que ℓ = 0.75 m, a = 3.5 m y la intensidad I en x = 0.2 m es conocida. Por conservaci´ on de la energ´ıa, para qu´e valor de x (en m) la intensidad se reduce a la mitad?: −1 (a) 0.09 (b) 0.12 (c) 0.21 (d) 0.30 4. (P-C) Si c es la velocidad del sonido, y r(x) el radio del tubo en x, la ecuaci´ on de ondas para las variaciones de presi´ on p(x, t) es: (a) ∂t2 (r p) = c2 ∂x2 (r p) (c) ∂t2 p = c2 ∂x2 p (b) ∂t2 p = c2 r2 ∂x2 p (d) ∂t2 (r2 p) = c2 ∂x2 (r2 p) 5. Un term´ ometro marca 95 o C al sacarlo de un horno y al cabo de 30 s marca 80 o C.
Si la temperatura ambiente es 20 o C, cuantos segundos m´ as habr´ a que esperar hasta que marque 45 o C?: (c) 186.35 (d) 198.71 6. La velocidad del sonido en un tubo de gas a temperatura T0 = 127.12 oC es conocida.
Para reducir dicha velocidad a la mitad, la temperatura (en o C) debe ser: (a) -82.49 (b) -122.75 (c) -172.97 (d) -214.10 7. (P-F) Si ℓ = 0.75 m, a = 2.5 m−1 y p(x, t) = e−2ax sin(πx/ℓ) sin(ωt), hay un vientre (antinodo) en el punto de coordenada x (en cm): (a) 14.09 Un meg´afono consiste en un tubo cuya secci´ on transversal es circular con radio r(x) que crece exponencialmente (ver figur(x) = r0 eax ra) con la coordenada longitudinal x. El tubo se encuentra x=0 x=ℓ abierto por sus extremos x = 0 y x = ℓ. Analizar los desplazamientos longitudinales de volumen s(x, t), y determinar las relaciones de conservaci´ on de la masa y segunda ley de Newton. Las cuestiones del test referentes a este problema vienen indicadas por el s´ımbolo (P-ABCDEFG). La letra indica el orden l´ogico de la pregunta.
(b) 152.25 (b) 16.65 (c) 19.78 (d) 26.13 o 8. Un term´ ometro marca 95 C al sacarlo de un horno y al cabo de 30 s marca 70 o C.
Si la temperatura ambiente es 20 o C, qu´e valor (en s) tiene el producto RC de la resistencia t´ermica R y capacidad calor´ıfica C del term´ ometro: (a) 33.73 (b) 62.46 (c) 73.99 (d) 97.34 9. Una onda se propaga por una cuerda de densidad ρ1 hacia el punto de conexi´on con otra cuerda de densidad ρ2 = 1.25 ρ1 , por la cual posteriormente se propaga una onda de amplitud 10.0 cm. La amplitud absoluta (en cm) de la onda reflejada en la primera cuerda es: (a) 0.16 (b) 0.34 (c) 0.50 (d) 0.59 10. (P-A) C´omo queda formulada ahora la conservaci´ on de la masa?: (a) ̺ = −̺0 r−1 ∂x (r2 s) (c) ̺ = −̺0 r−2 ∂x (r2 s) (b) ̺ = −̺0 r−2 ∂x (r s) (d) ̺ = −̺0 r−1 ∂x (r s) 11. (P-D) Si ω = ck, cu´al de las siguientes funciones puede ser una onda estacionaria soluci´on de la ecuaci´ on de ondas de presi´ on?: (a) p(x, t) = Ae2ax sin(kx) sin(ωt) (c) p(x, t) = Ae−ax sin(kx) sin(ωt) (b) p(x, t) = Ae−2ax sin(kx) sin(ωt) (d) p(x, t) = Aeax sin(kx) sin(ωt) 12. (P-E) Los nodos de presi´ on xm = x0 , x1 , x2 , . . . , xn de la onda estacionaria n-´esima se encuentran en: (a) xm = ℓ m/n, (0 ≤ m ≤ n) (b) xm = ℓ (2m + 1)/2n, (0 ≤ m ≤ n) (c) xm = (2ℓ + 1) m/2n, (0 ≤ m ≤ n) (d) xm = ℓ (2m + 1)/n, (0 ≤ m ≤ n) 13. (P-B) C´omo queda formulada ahora la segunda ley de Newton?: (a) ̺0 ∂t2 s = −r−2 ∂x (r p) (c) ̺0 ∂t2 s = −r−2 ∂x (r2 p) (b) ̺0 ∂t2 s = −r−1 ∂x (r p) (d) ̺0 ∂t2 s = −r−1 ∂x (r2 p) 14. Una onda se propaga por una cuerda de densidad ρ1 hacia el punto de conexi´on con otra cuerda de densidad ρ2 = 1.25 ρ1 , por la cual posteriormente se propaga una onda de amplitud 10.0 cm. La amplitud de la onda incidente era (en cm): (a) 5.22 (b) 8.92 (c) 10.59 (d) 14.09 15. Queremos duplicar la resistencia t´ermica de una corteza esf´erica de pl´astico de radio interno a = 3 cm y externo b = 4.65 cm. Si el radio interior no puede variarse, su radio externo (en cm) debe ser: (a) 1.75 (b) 5.67 (c) 8.53 (d) 10.33 ETSECCPB (Eng. Civil, F´ısica - 205104) Resoluci´ on examen 2P-F Dept. F´ısica Aplicada (UPC) 11 de Enero de 2011 P-A (conservaci´ on de la masa): como se vi´ o en clase, ∆mi = ∆md , pero el ´area A(x) = πr2 (x) es diferente en x y en x + s(x) dado que el radio r(x) var´ıa con la abscisa: x + s(x) + ∆x′ ∆md A(x + s) A(x + s + ∆x′ ) ̺0 A(x + s) ∆x = ∆x′ .
̺0 + ̺ A(x) ∆mi A(x + ∆x) Dividiendo por (̺0 + ̺)A(x) nos queda: x + ∆x x A(x) ̺0 ∆x A(x) = (̺0 + ̺) ∆x′ A (x + s(x)) .
x + s(x) ∆x ∆x′ Utilizando las aproximaciones vistas en clase de teor´ıa: ∆x′ ≈ ∆x(1 + ∂x s) y la u ´ltima ecuaci´ on queda: 1− ̺ ̺0 ∆x = ∆x(1 + ∂x s) ̺0 ̺ ≈1− , ̺0 + ̺ ̺0 A(x + s) .
A(x) Dado que s(x) es un deplazamiento longitudinal peque˜ no: A(x + s) = A(x) + s(x) ∂x A + O(s2 ) ≈ A(x) + s(x) ∂x A −→ A(x + s) s(x) ≈1+ ∂x A, A(x) A(x) de modo que 1− s s ̺ 1 ̺ = (1 + ∂x s) 1 + ∂x A ≈ 1 + ∂x s + ∂x A −→ − = ∂x (sA) −→ ̺ = −̺0 r−2 ∂x (r2 s) .
̺0 A A ̺0 A P-B (2a Ley de Newton): aplicando la misma expresi´ on que en clase (pero con A(x)), ̺0 A(x)∆x∂t2 s = Fx = p(x) A(x) − p(x + ∆x) A(x + ∆x) ≈ −∆x∂x (pA).
luego: ̺0 A(x)∆x∂t2 s = −∆x∂x (pA) −→ ̺0 ∂t2 s = − ∂x (pA) −→ ̺0 ∂t2 s = −r−2 ∂x (r2 p) .
A P-C (ecuaci´ on de ondas para la presi´ on): la relaci´ on entre p y ̺ se vi´ o en clase: p = c2 ̺ = tanto, derivando dos veces con respecto al tiempo a ambos lados nos queda: ∂t2 p = γ p0 ̺, por lo ̺0 γ p0 2 γ p0 2 ∂t ̺ = {utilizando ̺ de P-A} = ∂ (−̺0 A−1 ∂x (sA)) = −γp0 A−1 ∂x ∂t2 (sA).
̺0 ̺0 t Si en esta u ´ltima ecuaci´ on sustituimos ∂t2 (sA) por la obtenida en P-B nos queda: ∂t2 p = −γp0 A−1 ∂x − 1 ∂x (pA) ̺0 = γ p0 ∂x2 (pA) −→ {A = πr2 } −→ ∂t2 p = c2 r−2 ∂x2 (r2 p) .
̺0 A P-D (soluciones estacionarias): Las variaciones de presi´ on cumplen la ecuaci´ on vista en P-C. Si definimos Ψ(x, t) = p(x, t)r2 (x), y multiplicamos dicha ecuaci´ on por r2 a ambos lados tenemos: ∂t2 (r2 p) = c2 ∂x2 (r2 p) −→ ∂t2 Ψ = c2 ∂x2 Ψ, que es la ecuaci´ on de ondas en su forma habitual y cuya soluci´on estacionaria general es de la forma: Ψ(x, t) = A sin(kx) sin(ωt), con ω = ck y A constante arbitraria.
Ahora expresamos p(x, t) utilizando la definici´on de Ψ(x, t): p(x, t) = A Ψ(x, t) = 2 sin(kx) sin(ωt).
2 r (x) r Sustituyendo el radio que nos da el enunciado r(x) = r0 eax : p(x, t) = A −2ax e sin(kx) sin(ωt) = Ae−2ax sin(kx) sin(ωt) , r02 donde hemos redefinido la constante arbitraria A ← Aro−2 .
P-E (nodos de presi´ on): el tubo est´ a abierto por los extremos y por lo tanto p(0, t) = p(ℓ, t) = 0, luego: e−2aℓ sin(kℓ) = 0 −→ kn ℓ = nπ, (n = 1, 2, . . .) −→ pn (x, t) = Ae−2ax sin nπx sin(ωn t).
ℓ Los nodos satisfacen pn (xm , t) = 0, es decir: sin nπxm ℓ = 0 −→ mℓ nπxm = mπ, (m = 0, 1, . . . , n) −→ xm = , (m = 0, 1, . . . , n) ℓ n P-F (vientre o antinodo de presi´ on de modo fundamental): el vientre se encuentra en un m´ aximo de p(x, t), es decir, tenemos que maximizar con respecto a x el perfil del modo fundamental (n = 1): d −2ax πx πx πx π } = 0 −→ e−2ax −2a sin + cos {e sin dx ℓ ℓ ℓ ℓ = 0 −→ tan πx π = .
ℓ 2aℓ ℓ π .
arctan π 2aℓ Ejemplo (permutaci´ on 2): ℓ = 0.75 m y a = 2.5 m−1 −→ x = 0.23873 arctan(0.83776) m ≈ 0.1665 m.
Por lo tanto la soluci´on es: x = P-G (intensidad): nos dan la energ´ıa E(x1 ) de la onda en x1 . En otro punto del tubo de coordenada x2 la energ´ıa E(x2 ) debe ser la misma (principio de conservaci´ on): E(x2 ) = E(x1 ) −→ A(x1 )I(x1 ) = A(x2 )I(x2 ) −→ πr2 (x1 )I(x1 ) = πr2 (x2 )I(x2 ) −→ I(x2 ) = r(x1 ) r(x2 ) Sustituyendo r(x) = r0 eax −→ I(x2 ) = e2a(x1 −x2 ) I(x1 ). Nos piden el punto x2 en el que la intensidad se reduce a la mitad, es decir: I(x2 ) = I(x1 )/2: ln 2 1 .
= e2a(x1 −x2 ) −→ 2ax1 − 2ax2 = − ln 2 −→ x2 = x1 + 2 2a Ejemplo (permutaci´ on 2): x1 = 0.2 m y a = 3.5 m−1 −→ x2 = 0.2 + 0.09902 = 0.29902 ≈ 0.3 m.
2 2 I(x1 ).
P-1 (resistencia t´ ermica corteza esf´ erica): recordemos que la expresi´ on para la resistencia de una corteza esf´erica de radios interno y externo a y b, respectivamente, viene dada por: b R= a dr = k A(r) b a dr 1 = 2 k 4πr 4πk − 1 r b = a 1 b−a 4πk ab Sea R′ la resistencia para un radio externo b′ . Veamos qu´e radio b′ es necesario para duplicar R: R′ = 2R −→ ab 1 b−a 1 b′ − a =2 −→ −→ b(b′ − a) = 2(b − a)b′ −→ b′ = ′ 4πk ab 4πk ab 2a − b Obviamente, esa soluci´on tiene significado f´ısico solo si b < 2a , es decir, si el radio externo original es menor que el doble del interno. En caso contrario no podemos duplicar la resistencia (si a no puede variarse).
Ejemplo (P1 - permutaci´ on 2): a = 2 cm y b = 5 cm (no puede duplicarse).
Ejemplo (P15 - permutaci´ on 2): a = 3 cm y b = 4.65 cm (b′ = 10.33 cm).
P-2 (transmisi´ on de calor): se vi´ o en clase que el flujo de calor Q˙ que el term´ometro cede al ambiente es proporcional a la diferencia de temperaturas del term´ometro T (t) y ambiental Te : dQ T (t) − Te T (t) − Te Q˙ = = −→ dQ = dt, dt R R siendo R la resistencia t´ermica del term´ometro. Ese calor dQ que se pierde en ese lapso dt es proporcional al descenso diferencial dT de su temperatura: dQ = C dT , siendo C la capacidad calor´ıfica del term´ometro. Igualando dQ de ambas ecuaciones e integrando obtenemos: C dT = dT 1 T (t) − Te dt −→ = dt −→ R T (t) − Te RC T (t) T0 dT = T (t) − Te t 0 1 dt, RC por lo tanto, si T0 es la temperatura inicial del term´ometro: ln T (t) − Te T0 − T e =− t −→ T (t) = Te − (Te − T0 )e−t/RC RC Ejemplo (P8 - permutaci´ on 2): T0 = 368 K, T (t = 30 s) = 343 K, Te = 293 K (50 = 75 e−30/RC → RC = 73.99 s ) Ejemplo (P5 - permutaci´ on 2): T0 = 368 K, T (t = 30 s) = 353 K, Te = 293 K (60 = 75 e−30/RC → RC = 134.44 s) ′ T (t′ ) = 318 K → 25 = 75e−t /134.44 → t′ = 147.697 s = 30 s + ∆t → ∆t = 117.7 s P-3 (reducci´ on velocidad sonido en gas): c ∼ √ T . Para reducir la velocidad a la mitad debemos dividir la temperatura absoluta por 4.
Ejemplo (P6 - permutaci´ on 2): T0 = 127.12 o C = 400.12 K → T1 = T0 /4 = 100 K = −179.97o C P-4 (Doppler, P2 - permutaci´ on 2): nos dicen que las frecuencias de acercamiento f + y alejamiento f − cumplen f − = 5f + /6, luego: 5f0 6f0 c 340 m s−1 = → 6c − 6ve = 5c + 5ve → ve = = ≈ 30.9 m s−1 = 111.3 km h−1 .
1 − ve /c 1 + ve /c 11 11 √ √ P-5 (amplitudes reflejada-incidente): TA = 2Z1 /(Z1 + Z2 ) = 2 ρ1 /( ρ1 + Ejemplo (P14 - permutaci´ on 2): √ AT = 10.0 cm y TA = 2/(1 + √ ρ2 ) = 2/(1 + ρ2 /ρ1 ) 1.25) ≈ 0.9443 → AI = AT /TA = 10/0.9443 = 10.59 cm Ejemplo (P9 - permutaci´ on 2): AT = 10.0 cm y TA ≈ 0.9443 → AR = RA AI = (TA − 1)AI = (−0.0557)10.59 = −0.5898 (0.59) cm 3 ...