Examen Final Primavera 2012 (2014)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Señales y Sistemas
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Senyals i Sistemes Duració: 3h ETSETB Examen final. 15 de juny de 2012 No es permet l'ús de cap tipus de material auxiliar No es pot sortir de l’aula durant la primera hora de la prova Entregui cada exercici per separat.
Les notes provisionals es publicaran com a molt tard el 26-VI, i s’obrirà un període d’al·legacions de tres dies, des de la data de publicació.
Antoni Gasull, Albino Nogueiras, Josep Salavedra, Sisco Vallverdú ______________________________________________________________________________________________ Exercici 1 Es vol generar un senyal 𝑧(𝑡), com es mostra a la figura 1, format per dues components sinusoïdals, a partir del tren de polsos ∞ 𝑡 − 2𝑛𝑇𝑜 � 𝑥(𝑡) = � (−1)𝑛 Π � 𝑇𝑜 𝑛=−∞ Malauradament es presenta també el següent senyal interferent 𝑖(𝑡) = cos(2𝜋𝑓𝑜 𝑡), amb 𝑓𝑜 = 1 𝑇𝑜 Per tal d’eliminar el senyal interferent es filtra el senyal 𝑥(𝑡) + 𝑖(𝑡) amb un sistema lineal i invariant de resposta impulsional ℎ(𝑡) = 1 𝑇𝑜 𝑡 Π� � 𝑇𝑜 x(t) y(t) h(t) H1(f) z(t) i(t) Figura 1 a) Demostri que el sistema ℎ(𝑡) elimina la interferència 𝑖(𝑡) b) Calculi i dibuixi el senyal 𝑦(𝑡) (sortida del filtre ℎ(𝑡)) c) Obtingui el desenvolupament en sèrie de Fourier de y(𝑡) A partir de 𝑦(𝑡) ja s’està en condicions de generar 𝑧(𝑡) mitjançant un filtre passa-banda 𝐻1 (𝑓) d) Trobi l’expressió (com a funció real) del senyal 𝑧(𝑡), fent servir el filtre 𝐻1 (𝑓) = Π � 4𝑓−4𝑓𝑜 3𝑓𝑜 � + Π� 4𝑓+4𝑓𝑜 3𝑓𝑜 � Exercici 2 El senyal 𝑥(𝑡), amb una amplada de banda de 400Hz, es mostreja a 𝑓𝑚 = 8𝑘𝐻𝑧 i es modula digitalment a la freqüència 𝐹1 , obtenint-se el senyal 𝑦[𝑛]. A la figura 2.1 es mostra el diagrama de blocs del sistema desmodulador complet.
𝑦[𝑛] 𝑞(𝑡) Conversor A/D fm = 8kHz 𝑧[𝑛] 𝑞[𝑛] Filtre digital Figura 2.1 h1[n] 𝑤[𝑛] 𝑠[𝑛] La sinusoide digital 𝑠[𝑛] que permet fer la desmodulació s’obté filtrant la versió mostrejada, també a 8𝑘𝐻𝑧, del senyal periòdic 𝑞(𝑡). La figura 2.2 mostra el mòdul de la transformada de Fourier del senyal 𝑞(𝑡), |𝑄(𝑓)|.
|Q(f)| 2 1 0 1600 2000 2400 Figura 2.2 El filtre digital està caracteritzat per la següent relació entrada-sortida: 4 Es demana: a) 𝑠[𝑛] = �{𝑞[𝑛 − 𝑖] − 𝑞[𝑛 + 𝑖]} 𝑖=1 Utilitzaria un filtre antialiàsing per obtenir 𝑞[𝑛]? Justifiqui la resposta.
3200 4000 f (Hz) |H(F)| 7 b) Analitzi les propietats del filtre digital c) Calculi la resposta freqüencial, 𝐻(𝐹), del filtre digital.
d) A la figura 2.3 es mostra el mòdul de la resposta freqüencial |𝐻(𝐹)| que s’ha aplicat per obtenir el senyal 𝑠[𝑛] desitjat.
Quina és l’expressió analítica de 𝑠[𝑛]? (indiqui els paràmetres que conegui).
e) Quines característiques imposaria a |𝐻1 (𝐹)| per tal d’obtenir 𝑤[𝑛] ≈ 𝑥[𝑛]? 6 5 4 3 2 1 0 0 0.05 0.1 0.2 0.25 F 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Figura 2.3 Exercici 3 a) 0.15 𝑡 𝑡 Calculi la sortida al sistema caracteritzat per ℎ(𝑡) = 𝑒 − 2 𝑢(𝑡) si el senyal d’entrada és 𝑥(𝑡) = 𝑒 − 10 𝑢(𝑡) b) La convolució entre els senyals 𝑥(𝑡) 𝑖 ℎ(𝑡) de l’apartat a) es vol simular amb un sistema digital. Per això es mostregen els senyals 𝑥(𝑡) 𝑖 ℎ(𝑡) a una freqüència de mostratge 𝑓𝑚 (𝐻𝑧), durant un interval temporal de 𝑇 segons, i es calcula 𝑧[𝑛] = 𝑥[𝑛] ∗ ℎ[𝑛]. Expliqui els criteris que faria servir per escollir els valor de 𝑓𝑚 𝑖 𝑇.
Expliqui també com aproximaria 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) a partir de 𝑧[𝑛] c) 2 𝑇𝐹 2 Sabent que 𝑥(𝑡) = 𝑒−𝜋𝑡 � � 𝑋(𝑓) = 𝑒−𝜋𝑓 , calculi l’àrea de 𝑦(𝑡) = 2𝑒 −𝑡 2 d) Un senyal sinusoïdal 𝑥(𝑡) es mostreja a 𝑓𝑚 = 500𝐻𝑧 i s’obté una seqüència 𝑥[𝑛] de 25 mostres. A la figura 3.c es representa el mòdul de la seva transformada discreta de Fourier |𝑋[𝑘]|, calculat amb N=50. Faci una estimació de l’amplitud i freqüència (en Hz) del senyal sinusoïdal.
|X[k]| 50 40 30 20 10 0 0 5 10 15 25 k 20 35 30 40 45 50 Figura 3.c e) El senyal 𝑥(𝑡), d’ample de banda 𝐵𝑥 , es mostreja idealment a la freqüència de Nyquist, obtenint-se el senyal ∞ 𝑥𝑚 (𝑡) = � 𝑥(𝑛𝑇𝑚 )𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇𝑚 ) 𝑛=−∞ Per intentar recuperar 𝑥(𝑡) es fa servir el filtre interpolador ℎ(𝑡) = Π � 𝑇 𝑡− 2𝑚 𝑇𝑚 � 1.- Dibuixi el segment de senyal de sortida prenent com a exemple la següent seqüència de mostres de senyal d’entrada: {...,1,0,-1,2,1,...} 2.- Compari la transformada de Fourier del senyal recuperat amb el resultat ideal 𝑋(𝑓) 𝑡 3.- Opcional. Repeteixi e.1 i e.2 amb ℎ(𝑡) = Λ � �. Amb quin dels dos filtres s’obtenen millors resultats? (justifiqui la resposta).
𝑇𝑚 Senyals i Sistemes Duració: 3h ETSETB Examen final. 15 de juny de 2012 No es permet l'ús de cap tipus de material auxiliar No es pot sortir de l’aula durant la primera hora de la prova Entregui cada exercici per separat.
Les notes provisionals es publicaran com a molt tard el 26-VI, i s’obrirà un període d’al·legacions de tres dies, des de la data de publicació.
Antoni Gasull, Albino Nogueiras, Josep Salavedra, Sisco Vallverdú ______________________________________________________________________________________________ Solució exercici 1 a) 𝐻(𝑓𝑜 )=0 b) 𝑦(𝑡) = −1 + 2 ∑∞ 𝑛=−∞ Λ � c) 𝑗(2𝜋) 𝑖𝑡 𝑇𝑝 𝑡−4𝑛𝑇𝑜 𝑇𝑜 � 𝑦(𝑡) = ∑∞ 𝑖=−∞ 𝑎𝑖 𝑒 amb període 𝑇𝑝 = 4𝑇𝑜 i els coeficients del desenvolupament en sèrie d) 𝑧(𝑡) = 8 9𝜋2 cos � 3𝜋 2 𝑓𝑜 𝑡� + 8 25𝜋2 cos � 5𝜋 2 𝑎𝑖 = � 𝑓𝑜 𝑡� 0, 𝑝𝑒𝑟 𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙𝑙 4 , 𝑝𝑒𝑟 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝑎𝑟 (𝜋 · 𝑖)2 Solució exercici 2 a) No cal filtre antialiàsing b) Linealitat: Si, ja que la sortida és combinació lineal d’entrades desplaçades Invariant: Si, ja que si l’entrada és 𝑞[𝑛 − 𝑛𝑜 ] la sortida és 𝑠[𝑛 − 𝑛𝑜 ] Caracteritzant el filtre amb la resposta impulsional ℎ[𝑛] = 𝑝5 [𝑛] − 𝑝5 [−𝑛] c) Causalitat: No, ja que ℎ[𝑛] ≠ 0, 𝑝𝑒𝑟 𝑛 < 0 Estabilitat: Si, ja que ∑∞ 𝑛=−∞|ℎ[𝑛]| = 8, 2𝑗(sin(4𝜋𝐹) sin(5𝜋𝐹)) 𝐻(𝐹) = − sin(𝜋𝐹) 𝜋 d) 𝑠[𝑛] ≅ 3 cos �0.6𝜋𝑛 − � 2 e) 𝐹𝑝 = 0.05; 𝐹𝑎 = 0.35; 𝛼𝑝 = 1𝑑𝐵; 𝛼𝑎 = 40𝑑𝐵 Solució exercici 3 a) 5 𝑡 𝑡 𝑧(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) = �𝑒 −10 − 𝑒 −2 � 𝑢(𝑡) 2 1 b) Considerant que la freqüència de tall a 3dB d’una exponencial real és 𝑓 = , i prenent com amplada de 2𝜋𝜏 banda entorn a 100 cops aquest valor, per 𝜏 = 2, es pot considerar 𝐵 ≈ 10𝐻𝑧 i 𝑓𝑚 > 2𝐵 = 20𝐻𝑧 Considerant que una exponencial decreixent a 𝑡 = 5𝜏 val pràcticament zero, l’interval temporal ha de ser 𝑇 > 50𝑠 Per aproximar la convolució analògica a partir de la convolució digital, cal definir un eix temporal 𝑡𝑚 = 𝑛𝑇𝑚 i escalar els valors de 𝑧[𝑛] amb la constant 𝑇𝑚 ∞ c) ∫−∞ 𝑦(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑌(𝑓)|𝑓=0 = 2√𝜋 d) 𝑓𝑥 = e) 14 50 500 = 140𝐻𝑧; 𝐴 = 𝑦1 (𝑡) = ∑∞ 𝑛=−∞ 𝑥(𝑛𝑇𝑚 )Π � 50 2=4 25 𝑇 𝑡− 2𝑚 −𝑛𝑇𝑚 𝑇𝑚 � ∞ |𝑌1 (𝑓)| = |𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑇𝑚 𝑓)| � X(𝑓 − 𝑛𝑓𝑚 ) ∞ 𝑛=−∞ 𝑦2 (𝑡) = � 𝑥(𝑛𝑇𝑚 )Λ � 𝑌2 (𝑓) = 𝑛=−∞ 𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (𝑇𝑚 𝑓) ∞ 𝑡 − 𝑛𝑇𝑚 � 𝑇𝑚 � X(𝑓 − 𝑛𝑓𝑚 ) 𝑛=−∞ ...