Problemas Tema 2 (2013)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Señales y Sistemas
Año del apunte 2013
Páginas 19
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 6
Subido por

Vista previa del texto

Senyals i sistemes Tema 2 Solució a exercicis tema 2 1. Calculi les següents transformades de Fourier: cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡) , 𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡), 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 𝑢(𝑡𝑡) Sol.
𝑥𝑥1 (𝑡𝑡) = cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡 2 𝑇𝐹 Sabent que 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝛿(𝑡𝑡 + 𝑡𝑡𝑜 ) ↔ 𝑌𝑌(𝑓𝑓) = 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡𝑜 𝑓𝑓 𝑇𝐹 aplicant la propietat de dualitat, 𝑌𝑌(𝑡𝑡) ↔ 𝑦𝑦(−𝑓𝑓) 𝑇𝐹 𝑌𝑌(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡 ↔ 𝑦𝑦(−𝑓𝑓) = 𝛿(−𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑜 ) = 𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 ) 1 1 𝑋𝑋1 (𝑓𝑓) = 𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 ) + 𝛿(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑜 ) 2 2 𝑥𝑥2 (𝑡𝑡) = sin(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡) = 𝑥𝑥3 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 𝑢(𝑡𝑡) ∞ 1 1 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡 𝑇𝐹 ↔ 𝑋𝑋2 (𝑓𝑓) = 𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 ) − 𝛿(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓𝑜 ) 2𝑗 2𝑗 2𝑗 ∞ 𝑋𝑋3 (𝑓𝑓) = � 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 = � 𝑒𝑒 −(1+𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓)𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 = 0 0 −1 1 ∞ 𝑒𝑒 −(1+𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓)𝑡𝑡 �0 = 1 + 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 1 + 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 ___________________________________________________________________________ 2. Calculi les següents transformades inverses de Fourier: 𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 ), Λ(𝑓𝑓) Sol.
𝑋𝑋1 (𝑓𝑓) = 𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 ) ∞ 𝑥𝑥1 (𝑡𝑡) = � 𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 )𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑓𝑓 = 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡 −∞ X2 (f) = Λ(𝑓𝑓) 0 1 Opció 1: 𝑥𝑥2 (𝑡𝑡) = ∫−1(1 + 𝑓𝑓)𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑓𝑓 + ∫0 (1 − 𝑓𝑓)𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑓𝑓 𝑢 = 1 + 𝑓𝑓 𝑑𝑣 = 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑓𝑓 0 1 1 � � 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑓𝑓 (1 − 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 ) 𝑑𝑓𝑓 = = + � (1 + 𝑓𝑓)𝑒𝑒 2 (2𝜋𝜋𝑡𝑡) 𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 � � −1 1 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑣= 𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 𝑢 = 1 − 𝑓𝑓 𝑑𝑣 = 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑓𝑓 1 −1 1 � � 𝑑𝑢 = −𝑑𝑓𝑓 (1 − 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 ) � (1 − 𝑓𝑓)𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑓𝑓 = = + 2 (2𝜋𝜋𝑡𝑡) 𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 � � 0 1 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑣= 𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 1 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 𝑥𝑥2 (𝑡𝑡) = 2 − 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 1 − cos(2𝜋𝜋𝑡𝑡) sin2 (𝜋𝜋𝑡𝑡) =2 =4 = 𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (𝑡𝑡) 2 2 (2𝜋𝜋𝑡𝑡) (2𝜋𝜋𝑡𝑡)2 (2𝜋𝜋𝑡𝑡) Opció 2: X2 (f) = Λ(𝑓𝑓) = Π(𝑓𝑓) ∗ Π(𝑓𝑓) 𝑥𝑥2 (𝑡𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡𝑡) · 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑡𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (𝑡𝑡) ___________________________________________________________________________ 3. Calculi la resposta en freqüència del sistema caracteritzat per la resposta impulsional ℎ[𝑛] = 𝑎𝑛 𝑢[𝑛]. Representi el seu mòdul al quadrat per a=-0.5 i per a=0.5.
Trobi la resposta freqüencial de la combinació sèrie i paral·lel dels dos sistemes i indiqui en cada cas de quin tipus de filtre es tracta.
Sol.
∞ 𝑛 −𝑗2𝜋𝜋𝑛𝐹 𝐻𝐻(𝑇𝑇) = � 𝑎 𝑒𝑒 𝑛=0 |𝐻𝐻1 (𝑇𝑇)|2 = ∞ = �(𝑎𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝐹 )𝑛 = |𝐻𝐻(𝑇𝑇)|2 = 𝐻𝐻(𝑇𝑇)𝐻𝐻 ∗ (𝑇𝑇) = 4 5+4cos(2𝜋𝜋𝐹) 𝑛=0 1 ; 𝑠𝑒𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑒 |𝑎| < 1 1 − 𝑎𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝐹 1 1 1 · = 1 − 𝑎𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝐹 1 − 𝑎𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝐹 1 + |𝑎|2 − 2a · cos(2𝜋𝜋𝑇𝑇) ; el filtre és passaaltes F=0:0.0001:0.5; H1m2=4./(5+4*cos(2*pi*F)); plot(F,H1m2) axis([0,0.5,0,4.1]), grid, xlabel('F'), ylabel('|H_1(F)|^2') 4 3.5 3 1 |H (F)|2 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.05 0 0.1 0.15 0.2 0.25 F 0.3 0.35 Figura 1: Resposta filtre passaaltes |𝐻𝐻2 (𝑇𝑇)|2 = 4 5−4cos(2𝜋𝜋𝐹) ; el filtre és passabaixes H2m2=4./(5-4*cos(2*pi*F)); plot(F,H2m2) axis([0,0.5,0,4.1]), grid, xlabel('F'), ylabel('|H_2(F)|^2') 2 de 19 0.4 0.45 0.5 Senyals i sistemes Tema 2 4 3.5 3 2 |H (F)|2 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 F 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Figura 2: Resposta filtre passabaixes Si els dos sistemes es posen en sèrie, la resposta freqüencial és la mateixa que si es posen en paral·lel, amb un factor d’escala de 2. El filtre resultant és elimina banda.
___________________________________________________________________________ 4. Programi una funció de càlcul de la transformada de Fourier d’una seqüència x[n] a la freqüència Fo. La forma de la funció ha de ser: X=inicials_trF(x,n,Fo) Sol.
La transformada ha de respondre a l’equació: 𝑋𝑋(𝑇𝑇) = 𝑖𝑖=𝑛(𝑒𝑛𝑑) � 𝑖𝑖=𝑛(1) 𝑥𝑥[𝑖]𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝐹𝑖𝑖 on es considera que F és un vector amb diferents valors freqüencials.
Fent la suma de productes per cada freqüència amb un producte matricial function X=p6_trF(x,n,F) x=x(:).’; % assegurem que x sigui un vector fila de dimensions (1 x Nx) n=n(:); % assegurem que n sigui vector columna de (Nx x 1) F=F(:).’; % assegurem que F sigui un vector fila de dimensions (1 x Nf) V=exp(-j2*pi*n*F); % matriu d’exponencials complexes de dimensió (Nx x Nf) X=x*V; senyal transformat. És un vector fila de dimensió (1 x Nf) ___________________________________________________________________________ 𝑇𝐹 5. Demostri la propietat de modulació 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡 ↔ 𝑋𝑋(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 ) Sol.
∞ ∞ Opció 1: ∫−∞ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 = ∫−∞ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋(𝑓𝑓−𝑓𝑓𝑜 )𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 = 𝑋𝑋(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 ) 𝑇𝐹 Opció 2: Tenint en compte que 𝑥𝑥(𝑡𝑡) · 𝑦𝑦(𝑡𝑡) ↔ 𝑋𝑋(𝑓𝑓) ∗ 𝑌𝑌(𝑓𝑓), i prenent 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑜 𝑡𝑡 , la transformada queda com: 𝑋𝑋(𝑓𝑓) ∗ 𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 ) = 𝑋𝑋(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓𝑜 ) 3 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 ___________________________________________________________________________ 2 𝑇𝐹 6. Transformada de Fourier d’una gaussiana. Demostri que 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑡𝑡 ↔ 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑓𝑓 2 Sol.
2 Es defineix 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑡𝑡 . Aquesta funció és solució d’una equació diferencial. En efecte, si es deriva: 𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡) 2 = 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑡𝑡 ∙ (−𝜋𝜋2𝑡𝑡) 𝑑𝑡𝑡 i per tant x(t) verifica l’equació 𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡) = (−2𝜋𝜋𝑡𝑡) ∙ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑑𝑡𝑡 Si ara es fa la transformada de Fourier de l’anterior igualtat 𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡) ℱ� � = ℱ{(−2𝜋𝜋𝑡𝑡) ∙ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)} ⇒ 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑓𝑓) = ℱ{(−2𝜋𝜋𝑡𝑡) ∙ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)} 𝑑𝑡𝑡 però recordant que ℱ{−𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 ∙ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)} = per tant, s’arriba a la igualtat: 𝑑𝑋(𝑓𝑓) 𝑑𝑓𝑓 ⇒ ℱ{(−2𝜋𝜋𝑡𝑡) ∙ 𝑥𝑥(𝑡𝑡)} = 1 𝑑𝑋(𝑓𝑓) 𝑗 𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑋𝑋(𝑓𝑓) = −2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑋𝑋(𝑓𝑓) 𝑑𝑓𝑓 que coincideix exactament amb l’equació diferencial escrita en el domini temporal, ara però en el freqüencial. Per tant, la solució d’aquest equació, tret d’una constant, és la mateixa gaussiana però de variable f: Només queda calcular la constant 𝑘: 2 𝑇𝐹 Per tant, 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑡𝑡 ↔ 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑓𝑓 2 𝑋𝑋(𝑓𝑓) = 𝑘 ∙ 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑓𝑓 ∞ 2 ∞ 2 𝑘 = 𝑋𝑋(0) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∙ 𝑑𝑡𝑡 = � 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑡𝑡 ∙ 𝑑𝑡𝑡 = 1 −∞ 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑡𝑡 −∞ 2 𝑋𝑋(𝑓𝑓) = 𝑒𝑒 −𝜋𝜋𝑓𝑓 2 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑡𝑡 𝑓𝑓 Figura 3: Transformada de la funció gaussiana 4 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 ___________________________________________________________________________ 7. Calculi i dibuixi el mòdul (o mòdul al quadrat) de la transformada de Fourier de 𝑡 Sol.
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −10 𝑢(𝑡𝑡) ∞ 𝑡𝑡 𝑋𝑋(𝑓𝑓) = � 𝑒𝑒 −10 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 = − 0 |𝑋𝑋(𝑓𝑓)|2 = 1 1 + 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 10 ∞ 1 𝑒𝑒 −𝑡𝑡�10+𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓� � = 𝑜 1 1 + 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 10 1 1 1 100 · = = 2 1 1 1 (20𝜋𝜋𝑓𝑓) 1 + + 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 − 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 + (2𝜋𝜋𝑓𝑓)2 10 10 100 f=-0.6:0.0001:0.6; Xm2=100./(1+(20*pi*f).^2); plot(f,Xm2) axis([-0.6,0.6,0,102]), grid, xlabel('f(Hz)'), ylabel('|X(f)|^2') 100 90 80 70 |X(f)|2 60 50 40 30 20 10 0 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 f(Hz) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Figura 4: Mòdul de la transformada d’una exponencial ___________________________________________________________________________ 𝑇𝐹 8. Demostri la propietat de convolució 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) ↔ 𝑋𝑋(𝑓𝑓) · 𝑌𝑌(𝑓𝑓) Sol.
∞ ∞ 𝑧𝑧(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = � 𝑥𝑥(𝜏)𝑦𝑦(𝑡𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 ∞ −∞ ∞ 𝑍(𝑓𝑓) = � 𝑧𝑧(𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑑𝑡𝑡 = � � 𝑥𝑥(𝜏)𝑦𝑦(𝑡𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑑𝑡𝑡 = −∞ ∞ −∞ −∞ ∞ = � � 𝑥𝑥(𝜏)𝑦𝑦(𝑡𝑡 − 𝜏) 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡𝑓𝑓 𝑑𝑡𝑡𝑑𝜏 = |𝜆 = 𝑡𝑡 − 𝜏| = −∞ −∞ ∞ ∞ = � � 𝑥𝑥(𝜏)𝑦𝑦(𝜆) 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋(𝜆+𝜏)𝑓𝑓 𝑑𝜆𝑑𝜏 = −∞ −∞ 5 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 ∞ ∞ = � 𝑥𝑥(𝜏)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝜏𝑓𝑓 𝑑𝜏 � 𝑦𝑦(𝜆) 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝜆𝑓𝑓 𝑑𝜆 = 𝑋𝑋(𝑓𝑓) · 𝑌𝑌(𝑓𝑓) −∞ −∞ ___________________________________________________________________________ 𝑇𝐹 9. Comprovi, fent la transformada de Fourier a partir de la definició, que Λ(𝑡𝑡) ↔ 𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (𝑓𝑓) Sol. (veure exercici 2) 0 1 𝑋𝑋(𝑓𝑓) = � (1 + 𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 + � (1 − 𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 −1 0 𝑢 = 1 + 𝑡𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 � = −1 + 1 (1 − 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 ) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡𝑡 � (1 + 𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 = �� −1 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 � 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 (2𝜋𝜋𝑓𝑓)2 −1 𝑣= 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 0 𝑢 = 1 − 𝑡𝑡 𝑑𝑣 = 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 1 � � = 1 + 1 (1 − 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 ) −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡 = � 𝑑𝑢 = −𝑑𝑡𝑡 � (1 − 𝑡𝑡)𝑒𝑒 −1 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 � 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 (2𝜋𝜋𝑓𝑓)2 0 𝑣= 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 𝑋𝑋(𝑓𝑓) = 1 − cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓) sin2 (𝜋𝜋𝑓𝑓) 2 − 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 − 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 = 2 = 4 = 𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (𝑓𝑓) (2𝜋𝜋𝑓𝑓)2 (2𝜋𝜋𝑓𝑓)2 (2𝜋𝜋𝑓𝑓)2 ___________________________________________________________________________ 10. Donada la següent relació entrada-sortida d’un sistema discret: 𝑦𝑦[𝑛] = 𝑦𝑦[𝑛 − 1] + (𝑥𝑥[𝑛] − 𝑥𝑥[𝑛 − 5])/5. Es demana: o o o o Analitzar les propietats del sistema.
Realització del sistema (esquema).
Obtenció de ℎ[𝑛], 𝐻𝐻(𝑧𝑧) i 𝐻𝐻(𝑇𝑇).
Trobar la sortida a 𝑥𝑥[𝑛] = cos(2𝜋𝜋𝑇𝑇0 𝑛), amb 𝑇𝑇0 = 1⁄4 Sol.
x[n] y[n]=T{x[n]} T{.} Linealitat: 𝑎𝑥𝑥1 [𝑛] + 𝑏𝑥𝑥2 [𝑛] − 𝑎𝑥𝑥1 [𝑛 − 5] − 𝑏𝑥𝑥2 [𝑛 − 5] = 5 𝑥𝑥1 [𝑛] − 𝑥𝑥1 [𝑛 − 5] 𝑥𝑥2 [𝑛] − 𝑥𝑥2 [𝑛 − 5] = 𝑎𝑦𝑦1 [𝑛 − 1] + 𝑏𝑦𝑦2 [𝑛 − 1] + 𝑎 +𝑏 = 5 5 = 𝑎𝑦𝑦1 [𝑛] + 𝑏𝑦𝑦2 [𝑛] 𝑇𝑇{𝑎𝑥𝑥1 [𝑛] + 𝑏𝑥𝑥2 [𝑛]} = 𝑇𝑇{𝑎𝑥𝑥1 [𝑛 − 1] + 𝑏𝑥𝑥2 [𝑛 − 1]} + i per tant el sistema és lineal Invariància: 6 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 𝑥𝑥[𝑛 − 𝑛𝑜 ] − 𝑥𝑥[𝑛 − 5 − 𝑛𝑜 ] 5 𝑥𝑥[𝑛 − 𝑛𝑜 ] − 𝑥𝑥[𝑛 − 𝑛𝑜 − 5] = 𝑦𝑦[𝑛 − 𝑛𝑜 − 1] + = 𝑦𝑦[𝑛 − 𝑛𝑜 ] 5 𝑇𝑇{𝑥𝑥[𝑛 − 𝑛𝑜 ]} = 𝑇𝑇{𝑥𝑥[𝑛 − 1 − 𝑛𝑜 ]} + i per tant el sistema és invariant En ser el sistema lineal i invariant es pot analitzar la causalitat i estabilitat a partir de la resposta impulsional, que val: 1 , 𝑝𝑒𝑒𝑟 0 ≤ 𝑛 ≤ 4 1 [𝑛] = 𝑝5 ℎ[𝑛] = 𝑇𝑇{𝛿[𝑛]} = �5 5 0, 𝑝𝑒𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑡𝑡𝑟𝑒𝑒𝑠 𝑛 Causalitat: ℎ[𝑛] = 0, 𝑝𝑒𝑒𝑟 𝑛 < 0, per tant el sistema és causal 1 4 Estabilitat: ∑∞ 𝑛=−∞|ℎ[𝑛]| = ∑𝑛=0 = 1, per tant el sistema és estable 5 La realització del sistema que es dedueix directament de l’expressió entrada-sortida és: y[n] x[n] 1/5 - -5 w v(5) z z1 Figura 5: Sistema realimentat Les instruccions Matlab que implementen aquest diagrama de blocs son: Nx=length(x); L=5; v=zeros(1;L); w=0; for n=1:Nx y(n)=w+(x(n)-v(L))/L; w=y(n); v=[x(n);v(1:L-1)]; end La funció de transferència és: 𝐻𝐻(𝑧𝑧) = La resposta freqüencial val: 1 1 − 𝑧𝑧 −5 1 = (1 + 𝑧𝑧 −1 + 𝑧𝑧 −2 + 𝑧𝑧 −3 + 𝑧𝑧 −4 ) 5 1 − 𝑧𝑧 −1 5 𝐻𝐻(𝑇𝑇) = 1 sin(𝜋𝜋5𝑇𝑇) −𝑗𝜋𝜋4𝐹 𝑒𝑒 5 sin(𝜋𝜋𝑇𝑇) La resposta a la sinusoide 𝑥𝑥[𝑛] = cos(2𝜋𝜋𝑇𝑇𝑜 𝑛)es pot trobar com: 𝑦𝑦[𝑛] = |H(Fo )|cos�2𝜋𝜋𝑇𝑇𝑜 𝑛 + 𝛼𝐻(𝐹𝑜 ) �, amb 𝑇𝑇𝑜 = 1 4 7 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 1 1 i per tant, 𝑦𝑦[𝑛] = cos �2𝜋𝜋 𝑛� 5 4 𝜋𝜋5 1 sin � 4 � −𝑗𝜋𝜋 1 𝐻𝐻(𝑇𝑇𝑜 ) = 𝑒𝑒 = 5 sin �𝜋𝜋 � 5 4 ___________________________________________________________________________ 11. Calculi teòricament i representi amb Matlab la transformada de Fourier (mòdul i fase) de: o o o o Sol.
𝑝11 [𝑛] 𝑝11 [𝑛 + 5] 𝛿[𝑛 − 3] 𝑛 𝑒𝑒 −10 𝑢[𝑛] 15 1 |S (F)| 10 0 -0.5 sin(𝜋𝜋11𝑇𝑇) −𝑗𝜋𝜋10𝐹 𝑒𝑒 sin(𝜋𝜋𝑇𝑇) -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 F 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 F 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 F 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 F 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 4 2 1 arg(S (F)) 𝑇𝐹 𝑝11 [𝑛] ↔ 𝑆1 (𝑇𝑇) = 5 0 -2 -4 -0.5 15 2 |S (F)| 10 5 0 -0.5 sin(𝜋𝜋11𝑇𝑇) 𝑝11 [𝑛 + 5] ↔ 𝑆2 (𝑇𝑇) = sin(𝜋𝜋𝑇𝑇) 𝑇𝐹 4 2 arg(S (F)) 3 2 1 0 -0.5 1 3 |S (F)| 1 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 F 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 F 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 10 0 3 𝛿[𝑛 − 3] ↔ 𝑆3 (𝑇𝑇) = 𝑒𝑒 1 -0.5 −𝑗2𝜋𝜋3𝐹 arg(S (F)) 𝑇𝐹 1 -10 -20 -0.5 8 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 10 4 |S (F)| 15 1− 1 0 -0.5 1 𝑒𝑒 −�10+𝑗2𝜋𝜋𝐹� -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 F 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 F 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 2 1 4 𝑇𝐹 arg(S (F)) 𝑛 𝑒𝑒 −10 𝑢[𝑛] ↔ 𝑆4 (𝑇𝑇) = 5 0 -1 -2 -0.5 El codi Matlab que genera els quatre gràfics és: % Problema 11 F=-0.5:0.001:0.5; S1=sin(11*pi*F)./sin(pi*F).*exp(-j*10*pi*F); figure(1) subplot(211), plot(F,abs(S1)), grid, xlabel('F'), ylabel('|S_1(F)|') subplot(212), plot(F,unwrap(angle((S1)))), grid, xlabel('F'), ylabel('arg(S_1(F))') S2=sin(11*pi*F)./sin(pi*F); figure(2) subplot(211), plot(F,abs(S2)), grid, xlabel('F'), ylabel('|S_2(F)|') subplot(212), plot(F,unwrap(angle((S2)))), grid, xlabel('F'), ylabel('arg(S_2(F))') S3=exp(-j*6*pi*F); figure(3) subplot(211), plot(F,abs(S3)), grid, xlabel('F'), ylabel('|S_3(F)|') subplot(212), plot(F,unwrap(angle((S3)))), grid, xlabel('F'), ylabel('arg(S_3(F))') S4=1./(1-exp(-(1/10+j*2*pi*F))); figure(4) subplot(211), plot(F,abs(S4)), grid, xlabel('F'), ylabel('|S_4(F)|') subplot(212), plot(F,unwrap(angle((S4)))), grid, xlabel('F'), ylabel('arg(S_4(F))') ___________________________________________________________________________ 12. Sigui la seqüència 𝑦𝑦[𝑛] = (−1)𝑛 𝑥𝑥[𝑛].
a) Comprovi que 𝑦𝑦[𝑛] es pot escriure com 𝑦𝑦[𝑛] = cos(𝜋𝜋𝑛) 𝑥𝑥[𝑛] = 𝑒𝑒 𝑗𝜋𝜋𝑛 𝑥𝑥[𝑛].
b) Obtingui 𝑌𝑌(𝑇𝑇) en funció de 𝑋𝑋(𝑇𝑇). Interpreti-ho.
Sol.
c) Si 𝑥𝑥[𝑛] = cos(2𝜋𝜋0.25𝑛) obtingui 𝑌𝑌(𝑇𝑇) i 𝑦𝑦[𝑛].
a) cos(𝜋𝜋𝑛) = (−1)𝑛 n -2 -1 0 1 2 e𝑗𝜋𝜋𝑛 = (−1)𝑛 (-1) 1 -1 1 -1 1 n cos(πn) 1 -1 1 -1 1 9 de 19 jπn e 1 -1 1 -1 1 Senyals i sistemes Tema 2 b) 𝑌𝑌(𝑇𝑇) = 𝑋𝑋(𝑇𝑇 − 0.5) c) 𝑋𝑋(𝑇𝑇) = 1 4 1 4 𝛿�𝐹− �+ 𝛿�𝐹+ � 𝑌𝑌(𝑇𝑇) = 2 𝛿 �𝑇𝑇 − 1 1 , 𝑝𝑒𝑒𝑟 − < 𝑇𝑇 ≤ , 𝑖 𝑋𝑋(𝑇𝑇)𝑝𝑒𝑒𝑟𝑖ò𝑑𝑖𝑐 𝑎𝑚𝑏 𝑝𝑒𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒𝑒 1 2 2 1 1 1 1 + � + 𝛿 �𝑇𝑇 + + � 4 2 4 2 , 𝑝𝑒𝑒𝑟 − 1 < 𝑇𝑇 ≤ 1 , 𝑖 𝑌𝑌(𝑇𝑇)𝑝𝑒𝑒𝑟𝑖ò𝑑𝑖𝑐 𝑎𝑚𝑏 𝑝𝑒𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒𝑒 1 2 2 2 i per tant, 𝑌𝑌(𝑇𝑇) = 𝑋𝑋(𝑇𝑇), amb lo que 𝑦𝑦[𝑛] = 𝑥𝑥[𝑛]. Es pot comprovar que x[n]=0 a les mostres imparells, quedant les mostres parells multiplicades per 1, i per tant sense cap mena d’alteració.
___________________________________________________________________________ 13. Obtingui la transformada de Fourier de la seqüències 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑛) i 𝑢[𝑛].
Sol.
𝑇𝐹 𝑥𝑥[𝑛] = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑛) ↔ 𝑋𝑋(𝑇𝑇) En ser 𝑥𝑥[𝑛] un senyal de mitjana nul·la, podem formar, sense ambigüitats, el senyal 𝑇𝐹 𝑦𝑦[𝑛] = 𝑥𝑥[𝑛] − 𝑥𝑥[𝑛 − 1] = 𝛿[𝑛] + 𝛿[𝑛 − 1] ↔ 𝑌𝑌(𝑇𝑇) = 𝑋𝑋(𝑇𝑇)(1 − 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝐹 ) = (1 + 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝐹 ) 1 + 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝐹 cos(𝜋𝜋𝑇𝑇) 1 𝑌𝑌(𝑇𝑇) = = = −𝑗 · −𝑗2𝜋𝜋𝐹 −𝑗2𝜋𝜋𝐹 1 − 𝑒𝑒 𝑗 · sin(𝜋𝜋𝑇𝑇) 𝑡𝑡𝑔(𝜋𝜋𝑇𝑇) 1 − 𝑒𝑒 𝑋𝑋(𝑇𝑇) = ∞ ∞ 1=−∞ 1=−∞ amb 𝛼 > 0 Π � � ↔ 𝑇𝑇𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑇𝑇𝑓𝑓) 𝑇𝐹 1 + 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝐹 1 + 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑛) 1 1 1 1 1 𝑢[𝑛] = + 𝛿[𝑛] ↔ + + � 𝛿(𝑇𝑇 − 𝑖) = + � 𝛿(𝑇𝑇 − 𝑖) −𝑗2𝜋𝜋𝐹 −𝑗2𝜋𝜋𝐹 2(1 − 𝑒𝑒 ) 2 2 2 2 1 − 𝑒𝑒 2 ___________________________________________________________________________ 14. A partir dels parells transformats següents: ℱ ℱ 𝑒𝑒 −𝛼𝑡𝑡 𝑢(𝑡𝑡) ↔ 1 ↔ 𝛿(𝑓𝑓) 1 𝛼+𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑇 ℱ obtingui la transformada de Fourier dels següents senyals utilitzant exclusivament les propietats de la TF.
a) cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑡𝑡), b) 𝑒𝑒 −𝛼𝑡𝑡 𝑢(𝑡𝑡) cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑡𝑡), 𝛼 > 0, c) 𝑒𝑒 −|𝑡𝑡| , 𝛼 > 0, d) sinc(2𝐵𝑡𝑡) Sol.
1 1 a) cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓0𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 𝑗2𝜋𝜋(−𝑓𝑓0)𝑡𝑡 . Aplicant les propietats de linealitat i desplaçament en 2 freqüència (modulació): 2 1 2 1 1 1 𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓0 ) + 𝛿(𝑓𝑓 − (−𝑓𝑓0 )) = 𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓0 ) + 𝛿(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓0 ) 2 b) Mateixes propietats de l’apartat anterior per obtenir: 2 1 1 2 𝛼+𝑗2𝜋𝜋(𝑓𝑓−𝑓𝑓0 ) 2 + 1 1 2 𝛼+𝑗2𝜋𝜋(𝑓𝑓+𝑓𝑓0 ) c) 𝑒𝑒 −|𝑡𝑡| = 𝑒𝑒 −𝛼𝑡𝑡 𝑢(𝑡𝑡) + 𝑒𝑒 𝛼𝑡𝑡 𝑢(−𝑡𝑡) . Aplicant les propietats de linealitat i escalat (inversió o reflexió): ℱ 𝑒𝑒 −|𝑡𝑡| ↔ 1 𝛼+𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 + 1 𝛼−𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓 = 2𝛼 𝛼 2 +(2𝜋𝜋𝑓𝑓)2 ℱ d) Per dualitat: 𝑠𝑖𝑛𝑐(2𝐵𝑡𝑡) ↔ 1 2𝐵 𝑓𝑓 Π� � 2𝐵 ___________________________________________________________________________ 10 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 15. Un sistema lineal i invariant es diu filtre adaptat a un senyal x(t) real quan la seva resposta impulsional és h(t)=x(t0-t). Es demana: a) Com es tradueix la definició de filtre adaptat en el domini freqüencial? Figura 6 x(t) b) Obtingui les transformades de Fourier del senyal x(t) de la Figura 6 i del senyal de sortida, y(t), del filtre adaptat a aquest x(t).
t c) A partir del resultat de l’apartat anterior, obtingui el -3 -1 1 2 3 4 senyal y(t).
-1 d) En un cas general, obtingui la transformada de Fourier del senyal de sortida d’un filtre adaptat en funció de X(f). Recordi que x(t) és real.
e) A partir del resultat de l’apartat anterior: e1) pot deduir alguna simetria de y(t)? e2) pot justificar que l’energia de x(t) la podrem mesurar a partir de y(t0)? 1 Sol.
a) 𝐻𝐻(𝑓𝑓) = 𝑋𝑋 ∗ (𝑓𝑓)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡0𝑓𝑓 b) 𝑋𝑋(𝑓𝑓) = −4𝑗𝑠𝑖𝑛𝑐(2𝑓𝑓)𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝜋𝑓𝑓) 𝑌𝑌(𝑓𝑓) = 𝑋𝑋(𝑓𝑓) ∙ 𝐻𝐻(𝑓𝑓) = 16𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (2𝑓𝑓)𝑠𝑖𝑛2 (2𝜋𝜋𝑓𝑓)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡0𝑓𝑓 c) 𝑌𝑌(𝑓𝑓) = 16𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (2𝑓𝑓)𝑠𝑖𝑛2 (2𝜋𝜋𝑓𝑓)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡0𝑓𝑓 = 8𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (2𝑓𝑓)(1 − cos(4𝜋𝜋𝑓𝑓))𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡0𝑓𝑓 = 𝑒𝑒 𝑗4𝜋𝜋𝑓𝑓 + 𝑒𝑒 −𝑗4𝜋𝜋𝑓𝑓 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 𝑓𝑓 0 = 4 ∙ 2𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (2𝑓𝑓) �1 − � 𝑒𝑒 2 𝑒𝑒 𝑗4𝜋𝜋𝑓𝑓 + 𝑒𝑒 −𝑗4𝜋𝜋𝑓𝑓 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡 𝑓𝑓 ℱ −1 0 4 ∙ 2𝑠𝑖𝑛𝑐 2 (2𝑓𝑓) �1 − � 𝑒𝑒 �� 𝑦𝑦(𝑡𝑡) 2 𝑡𝑡 − (𝑡𝑡0 − 2) 𝑡𝑡 − (𝑡𝑡0 + 2) 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡0 � − 2Λ � � − 2Λ � � 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 4Λ � 2 2 2 d) 𝑌𝑌(𝑓𝑓) = 𝑋𝑋(𝑓𝑓) ∙ 𝐻𝐻(𝑓𝑓) = |𝑋𝑋(𝑓𝑓)|2 𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑡𝑡0𝑓𝑓 e) e1) Si es defineix 𝑍(𝑓𝑓) = |𝑋𝑋(𝑓𝑓)|2 ⇒ 𝑧𝑧(𝑡𝑡) parell ⇒ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) simetria parell en torn a 𝑡𝑡0 ∞ e2) 𝑦𝑦(𝑡𝑡0 ) = ℱ −1 {𝑌𝑌(𝑓𝑓)}|𝑡𝑡=𝑡𝑡0 = ∫−∞|𝑋𝑋(𝑓𝑓)|2 𝑑𝑓𝑓 = 𝐸𝑥 ___________________________________________________________________________ 16. Es disposa d’un senyal sinusoïdal només en un breu interval de temps T. Fent directament la transformada de Fourier de la informació disponible s’obté la part més significativa del mòdul de la transformada que es mostra en la Figura 7. Obtingui la duració de l’interval temporal T, així com l’amplitud i la freqüència de la sinusoide.
Figura 7 Sol.
El senyal temporal és 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑡𝑡).
11 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 Però es disposa de només T seg. i per tant en calcular la transformada de Fourier es farà la integral: 𝑇 ∫0 𝑥𝑥(𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑗2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑡𝑡 𝑑𝑡𝑡.
Això és equivalent a fer la transformada de (enfinestrament rectangular): 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∙ Π � que donarà: 𝑋𝑋𝑤 (𝑓𝑓) = 𝑡𝑡 − 𝑇𝑇�2 𝑡𝑡 − 𝑇𝑇�2 � = 𝑥𝑥𝑤 (𝑡𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑡𝑡) ∙ Π � � 𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝐴 [𝛿(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓0 ) + 𝛿(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓0 )] ∗ [𝑇𝑇𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑇𝑇𝑓𝑓) ∙ 𝑒𝑒 −𝑗𝜋𝜋𝑓𝑓𝑇 ] = 2 𝐴 = 𝑇𝑇�𝑠𝑖𝑛𝑐[𝑇𝑇(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓0 )] ∙ 𝑒𝑒 −𝑗𝜋𝜋(𝑓𝑓−𝑓𝑓0 )𝑇 + 𝑠𝑖𝑛𝑐[𝑇𝑇(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓0 )] ∙ 𝑒𝑒 −𝑗𝜋𝜋(𝑓𝑓+𝑓𝑓0 )𝑇 � 2 En la figura 15.1 se’ns mostra |𝑋𝑋𝑤 (𝑓𝑓)| per 0 ≤ 𝑓𝑓 ≤ 2000. Identificant-ho amb l’expressió anterior es 𝐴 pot dir que aproximadament es veu: 𝑇𝑇|𝑠𝑖𝑛𝑐[𝑇𝑇(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓0 )]|. D’aquí: 2 𝑓𝑓0 = 800 Hz 𝑠𝑖𝑛𝑐[𝑇𝑇(900 − 800)] = 0 ⇒ 𝑇𝑇(900 − 800) = 1 ⇒ 𝑇𝑇 = 0.01 1 𝐴 𝑇𝑇 = 5 ∙ 10−3 ⇒ 𝐴 = 2 ∙ 5 ∙ 10−3 = 1 𝑇𝑇 2 ___________________________________________________________________________ 17. Es disposa d’un breu interval de temps d’un senyal temporal x(t). Fent directament la transformada de Fourier de la informació disponible s’obté el mòdul que es mostra en la Figura 8, mentre que si es fa el càlcul de la transformada de Fourier sobre el senyal enfinestrat amb una finestra triangular s’obté el mòdul que es mostra en la Figura 9 -3 x 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 100 200 300 400 500 Figura 8 12 de 19 600 700 800 900 1000 Senyals i sistemes Tema 2 -3 x 10 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 100 300 200 400 500 600 700 800 900 1000 Figura 9 Dedueixi l’expressió analítica de x(t). Justifiqui la resposta, especificant clarament la informació que ha utilitzat per cadascun dels paràmetres que ha escrit en aquesta expressió analítica.
Sol.
De 17.1 ⇒ dues sinusoides , 𝑇𝑇 ≈ De 17.2 ⇒ 𝐴2 ≈ 1 1 50 , 𝑓𝑓1 ≈ 50 , 𝑓𝑓2 ≈ 500 , 𝐴1 ≈ 0.7 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ≈ 0.7 cos(2𝜋𝜋50𝑡𝑡) + cos(2𝜋𝜋500𝑡𝑡) ___________________________________________________________________________ 18. S’adquireixen L mostres d’un senyal sinusoïdal mitjançant un conversor A/D, treballant a una freqüència de mostratge de 8000 mostres/seg. Es calcula la transformada de Fourier de la seqüència obtinguda i s’obté el mòdul que es representa en la Figura 10 en l’interval freqüencial de [0,0.5]. Obtingui el nombre de mostres de la seqüència, la freqüència normalitzada de la seqüència sinusoïdal, la duració temporal del senyal sinusoïdal original, així com els paràmetres, amplitud i freqüència d’aquest senyal temporal original.
F Figura 10 Sol.
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑡𝑡) Al discretitzar-lo a 𝑓𝑓𝑚 = 8000 mostres/seg, s’obtenen L mostres de la seqüència 𝑥𝑥[𝑛] = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑛𝑇𝑇𝑚 ) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 �2𝜋𝜋 13 de 19 𝑓𝑓0 𝑛� = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝑇𝑇0 𝑛) 𝑓𝑓𝑚 Senyals i sistemes Tema 2 i per tant el senyal discret de que es disposa és 𝑥𝑥𝑤 [𝑛] = 𝑥𝑥[𝑛] ∙ 𝑝𝐿 [𝑛] = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝑇𝑇0 𝑛) ∙ 𝑝𝐿 [𝑛] i si es calcula la seva transformada de Fourier es té 𝑖𝑖=∞ 𝑖𝑖=∞ 𝐴 𝐴 sin(𝜋𝜋𝐿𝑇𝑇) −𝑗𝜋𝜋(𝐿−1)𝐹 𝑋𝑋𝑤 (𝑇𝑇) = � � 𝛿(𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 − 𝑖) + � 𝛿(𝑇𝑇 + 𝑇𝑇0 − 𝑖)� ⊛ � 𝑒𝑒 � 2 2 sin(𝜋𝜋𝑇𝑇) 𝑖𝑖=−∞ 𝑖𝑖=−∞ 𝐴 sin�𝜋𝜋𝐿(𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 )� −𝑗𝜋𝜋(𝐿−1)(𝐹−𝐹 ) 𝐴 sin�𝜋𝜋𝐿(𝑇𝑇 + 𝑇𝑇0 )� −𝑗𝜋𝜋(𝐿−1)(𝐹+𝐹 ) 0 + 0 = 𝑒𝑒 𝑒𝑒 2 sin�𝜋𝜋(𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 )� 2 sin�𝜋𝜋(𝑇𝑇 + 𝑇𝑇0 )� En l’interval [0,0.5] es pot dir que aproximadament es té |𝑋𝑋𝑤 (𝑇𝑇)| ≈ 𝐴 sin�𝜋𝜋𝐿(𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 )� � � 2 sin�𝜋𝜋(𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 )� Si s’identifica amb la gràfica de la figura 17.1, es dedueix: 𝑇𝑇0 = 0.2 ⇒ 𝑓𝑓0 = 𝑇𝑇0 ∙ 𝑓𝑓𝑚 = 0.2 ∙ 8000 = 1600 Hz.
𝑋𝑋𝑤 (0.22) = 0 ⇒ sin�𝜋𝜋𝐿(0.22 − 𝑇𝑇0 )� = 0 ⇒ 𝐿(0.22 − 𝑇𝑇0 ) = 1 = 𝐿 ∙ 0.02 ⇒ 𝐿 = 50 mostres Interval temporal: suposant que la primera mostra es correspon a t=0, la mostra 50 es correspondrà a 𝑇𝑇 = (50 − 1) ∙ 𝑇𝑇𝑚 = 49�𝑓𝑓 = 49�8000 = 0.006125 𝑠 = 6.125 𝑚𝑠 𝑚 |𝑋𝑋𝑤 (𝑇𝑇0 )| ≈ 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 ∙ 𝐿 ⇒ |𝑋𝑋𝑤 (0.2)| = 50 ≈ ∙ 𝐿 = ∙ 50 ⇒ = 1 ⇒ 𝐴 = 2 2 2 2 2 Per tant, 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑡𝑡) = 2 𝑐𝑜𝑠(2 𝜋𝜋 1600 𝑡𝑡) fm=8000; %freqüència de mostratge N=50; %nombre de punts A=2; f0=1600; %paràmetres de la sinusoide F0=f0/fm; %freqüència normalitzada n=0:N-1; x=A*cos (2*pi*F0*n); Nf=2000; F=linspace (0, 0.5, Nf); X=p6_trF_seq(x, n, F); figure; plot( F, abs(X) ) grid, xlabel('F'), ylabel('|X(F)|') ___________________________________________________________________________ 19. El sistema de marcació telefònica per tons (DTMF) es basa en la generació, durant el temps T en que es polsa una tecla, d’un senyal sinusoïdal format per la suma de dues sinusoides. La freqüència de cada sinusoide està estandarditzada, tal i com es mostra a la Taula 1, i depèn de la tecla polsada.
f1=697 Hz f2=770 Hz f3=852 Hz f4=941 Hz f5=1209 Hz 1 4 7 * f6=1336 Hz 2 5 8 0 f7=1477 Hz 3 6 9 # Taula 1: Assignació de freqüència al teclat telefònic En prémer la tecla “8” durant 100ms es genera el senyal: 14 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 𝑡𝑡 𝑥𝑥8 (𝑡𝑡) = �𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝑓𝑓3 𝑡𝑡) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝑓𝑓6 𝑡𝑡)�Π � � 𝑇𝑇 a) Trobi la seva transformada de Fourier i dibuixi el seu mòdul, per 𝐴 = 2 𝑖 𝐵 = 3 A la Figura 11 es mostra el diagrama de blocs d’un sistema detector d’una sinusoide de freqüència 𝑓𝑓𝑖𝑖 , on ℎ(𝑡𝑡) és un filtre passabaixes. Fent servir 7 detectors i mesurant la potència mitjana durant T segons dels 7 senyals de sortida es pot determinar quina ha estat la tecla polsada.
x(𝑡𝑡) 𝑧𝑧i (𝑡𝑡) h(t) 𝑦𝑦i (𝑡𝑡) Mesurador Pot. mitjana cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑡𝑡) Figura 11: Diagrama de blocs del detector de la sinusoide de freqüència 𝒇𝒊 b) Considerant que l’entrada del sistema és 𝑥𝑥8 (𝑡𝑡) (s’ha polsat el “8”) i per 𝑓𝑓𝑖𝑖 = 𝑓𝑓3 , trobi 𝑍3 (𝑓𝑓) (representi el seu mòdul).
c) A partir de quina freqüència es voldria que el filtre passabaixes ℎ(𝑡𝑡) elimini el senyal no desitjat? Tingui en compte que 𝑥𝑥(𝑡𝑡) es pot correspondre amb qualsevol tecla.
d) Si el filtre és ideal, trobi 𝑦𝑦3 (𝑡𝑡) i mesuri la seva potència en l’interval de T segons.
Suposi ara que el sistema es construeix digitalment, mostrejant amb 𝑓𝑓𝑚 = 4𝑘𝐻𝐻𝑧𝑧 i es fa servir el filtre passabaixes ℎ[𝑛] = (1 − |𝑎|) · 𝑎𝑛 𝑢[𝑛] e) Trobi la transformada de Fourier de ℎ[𝑛] i representi el seu mòdul per un valor de 𝑎 > 0, i per un valor 𝑎 < 0. Per quins valors de 𝑎 el filtres és passabaixes i estable? f) Trobi la freqüència a la que es produeix una atenuació de 3dB, en funció de 𝑎.
g) Si 𝑎 = 0.9, indiqui quina atenuació imposa el filtre a la freqüència no desitjada (a partir de la obtinguda a l’apartat c)? Sol.
𝑇 a) 𝑋𝑋8 (𝑓𝑓) = �𝐴 · �𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓3 )� + 𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓3 )�� + 𝐵 �𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓6 )� + 𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓6 )��� 2 Figura 12: 𝑋𝑋8 (𝑓𝑓) b) 𝑍3 (𝑓𝑓) = 𝐴·𝑇 4 · �𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 − 2𝑓𝑓3 )� + 2𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑇𝑇𝑓𝑓) + 𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 + 2𝑓𝑓3 )�� + 15 de 19 Senyals i sistemes + Tema 2 𝐵 · 𝑇𝑇 � 𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓3 − 𝑓𝑓6 )� + 𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓3 − 𝑓𝑓6 )� + 𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 − 𝑓𝑓3 + 𝑓𝑓6 )� 4 + 𝑠𝑖𝑛𝑐�𝑇𝑇(𝑓𝑓 + 𝑓𝑓3 + 𝑓𝑓6 )�� c) Per aquest detector (𝑓𝑓3 ): 82 Hz (=𝑓𝑓3 − 𝑓𝑓2 ).
Figura 13: 𝑍3 (𝑓𝑓) Per qualsevol dels set detectors, el cas pitjor és: 𝑓𝑓2 − 𝑓𝑓1 =73 Hz.
𝐴 𝑡𝑡 d) 𝑦𝑦3 (𝑡𝑡) ≈ Π � � ⇒ 𝑃𝑦3<𝑇> = e) 𝐻𝐻(𝑇𝑇) = |𝐻𝐻(𝑇𝑇)|2 = 2 𝑇 1−|𝑎𝑎| 1−𝑎𝑎𝑒 −𝑗2𝜋𝐹 𝐴2 4 =1 , amb |𝑎| < 1 (1−|𝑎𝑎|)2 1+𝑎𝑎2 −2𝑎𝑎·𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝐹) ⇒ |𝐻𝐻(𝑇𝑇)| = � (1−|𝑎𝑎|)2 1+𝑎𝑎2 −2𝑎𝑎·𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝐹) |𝐻𝐻(𝐹𝐹)|𝑎𝑎=0.9 |𝐻𝐻(𝐹𝐹)|𝑎𝑎=−0.9 Figura 14: |𝐻𝐻(𝑇𝑇)| per a=0.9 i per a=-0.9 Passabaixes ⇔ 𝑎 > 0. Passaaltes ⇔ 𝑎 < 0. Ambdós casos |𝑎| < 1.
16 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 f) Guany G(F)=HdB(F)=10 log10 � i d’aquí es dedueix: 𝑇𝑇3𝑑𝐵 = 1 2𝜋𝜋 (1−|𝑎𝑎|)2 1+𝑎𝑎2 −2𝑎𝑎·𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝜋𝐹) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 � −1−𝑎𝑎2 +4𝑎𝑎 2𝑎𝑎 � � g) S’ha de calcular per Fa=82/4000: 𝛼(𝑇𝑇a ) = −𝐺𝐺(𝑇𝑇a ) = 3.9639 Com també es pot observar en la gràfica de G(F) pel cas 𝑎 = 0.9 𝐺𝐺(𝐹𝐹) Figura 15: G(F) 𝐹𝐹 ___________________________________________________________________________ 20. Es defineix la funció de correlació creuada, o simplement funció de correlació, entre dos senyals reals 𝑥𝑥(𝑡𝑡) i 𝑦𝑦(𝑡𝑡) com: ∞ 𝑟𝑥𝑦 (𝑡𝑡) = � 𝑥𝑥(𝑡𝑡 + 𝜏) 𝑦𝑦(𝜏) 𝑑𝜏 −∞ En el cas particular de que 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) es coneix com a funció d’autocorrelació.
a) Donades les transformades de Fourier, 𝑋𝑋(𝑓𝑓) i 𝑌𝑌(𝑓𝑓), de dos senyals reals qualssevol, obtingui 𝑅𝑥𝑦 (𝑓𝑓), la transformada de Fourier de la correlació. Es pot dir que �𝑅𝑥𝑦 (𝑓𝑓)� = |ℱ{𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ 𝑦𝑦(𝑡𝑡)}|? b) Demostri que la transformada de Fourier, 𝑅𝑥𝑥 (𝑓𝑓), de la funció d’autocorrelació és real i positiva. A partir d’això analitzi si té algun efecte sobre l’autocorrelació la introducció d’un retard en el senyal 𝑥𝑥(𝑡𝑡).
Sol.
a) 𝑅𝑥𝑦 (𝑓𝑓) = 𝑋𝑋(𝑓𝑓) ∙ 𝑌𝑌(−𝑓𝑓) �𝑅𝑥𝑦 (𝑓𝑓)� = |𝑋𝑋(𝑓𝑓) ∙ 𝑌𝑌(𝑓𝑓)| b) 𝑅𝑥𝑦 (𝑓𝑓) = |𝑋𝑋(𝑓𝑓)|2 El retard no té cap efecte.
___________________________________________________________________________ 17 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 21. L’esquema de la Figura 12 permet detectar la presència o absència d’un determinat senyal superposat a un altre.
w(𝑡𝑡) Subsistema 1 ( ) 2 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = = w 2 (𝑡𝑡) 𝑦𝑦(𝑡𝑡) Subsistema 2 1 𝑡𝑡 ℎ(𝑡𝑡) = Π � � 𝑇𝑇 𝑇𝑇 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ∗ ℎ(𝑡𝑡) Subsistema 3 z(t) 1 Y y(t) 𝑧𝑧(𝑡𝑡) 1 si 𝑦𝑦(𝑡𝑡) ≥ 𝑌𝑌 𝑧𝑧(𝑡𝑡) = � 0 si 𝑦𝑦(𝑡𝑡) < 𝑌𝑌 Figura 16 Es demana: a) En referència al subsistema 1, tot i que no es pot parlar de resposta freqüencial com a característica pròpia, si que es pot obtenir X(f), la transformada de Fourier de la sortida en funció de la de l’entrada. Obtingui-la.
b) Obtingui i dibuixi X(f) a partir de W(f) pel cas en que l’entrada sigui w(𝑡𝑡) = 𝐴 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑡𝑡).
Observi que apareixen components freqüencials que no hi eren a l’entrada. És possible tenir aquest efecte en el cas d’un sistema lineal i invariant? Justifiqui la resposta.
c) Pel senyal d’entrada w(𝑡𝑡) = 𝐴 cos(2𝜋𝜋𝑓𝑓0 𝑡𝑡) obtingui el valor de T del subsistema 2, per tal de que y(t) sigui una constant. Doni l’expressió exacta de y(t).
Sol.
a) 𝑋𝑋(𝑓𝑓) = 𝑊(𝑓𝑓) ∗ 𝑊(𝑓𝑓) 𝐴2 𝐴2 𝐴2 b) b1) 𝛿(𝑓𝑓 + 2𝑓𝑓0 ) + 𝛿(𝑓𝑓) + 𝛿(𝑓𝑓 − 2𝑓𝑓0 ).
4 2 4 𝑏2) En un s.l.i. no és possible.
c) 𝐻𝐻(𝑓𝑓)|𝑓𝑓=±2𝑓𝑓0 = 0 ⇒ 1 𝑇 = 2𝑓𝑓0 ⇒ 𝑦𝑦(𝑡𝑡) = 𝐴2 2 ___________________________________________________________________________ 22. Analitzant la resposta a l’esglaó es pot tenir una idea aproximada de diferents característiques d’un sistema lineal i invariant (s.l.i.). En aquest exercici s’il·lustrarà aquesta afirmació amb tres exemples. En la Figura 13 es mostra la sortida de tres s.l.i. amb resposta impulsional real quan l’entrada és 𝑢(𝑡𝑡).
18 de 19 Senyals i sistemes Tema 2 Figura 17 a) Pot deduir-ne les propietats de causalitat i estabilitat? En cas afirmatiu, analitzi-les per cada sistema.
b) Demostri que la resposta d’un s.l.i. a 𝑢(𝑡𝑡) per 𝑡𝑡 = ∞ és igual a 𝐻𝐻(0), on 𝐻𝐻(𝑓𝑓) és la resposta freqüencial del sistema.
c) Quin/quins dels tres sistemes creu que és un filtre passabaixes? Quin/quins dels tres creu que és passaaltes? Justifiqui les respostes.
d) Per un filtre passabaixes, com creu que influirà l’ample de banda en la resposta a 𝑢(𝑡𝑡)? L’anàlisi de la resposta a l’esglaó també permet estudiar la linealitat de fase. Per comprovar-ho contesti als següents apartats: e) Demostri en el domini freqüencial que un senyal 𝑥𝑥(𝑡𝑡) imparell a l’entrada d’un s.l.i. de resposta impulsional parell ens donarà un senyal de sortida 𝑦𝑦(𝑡𝑡) amb una certa simetria. Quina? f) Faci la demostració en el domini temporal de la propietat demostrada en l’apartat anterior.
g) Utilitzi la propietat demostrada en els dos apartats anteriors per justificar que el tercer sistema és de fase lineal.
Sol.
a) s.l.i. ⇒ causal sii 𝑎(𝑡𝑡) = 𝑇𝑇[𝑢(𝑡𝑡)] no s’avança a 𝑢(𝑡𝑡). Sistemes 2 i 3 causals.
Tots tres semblen estables.
b) 𝑎(∞) = 𝑢(𝑡𝑡) ∗ ℎ(𝑡𝑡)|𝑡𝑡=∞ = à𝑟𝑒𝑒𝑎 ℎ(𝑡𝑡) = 𝐻𝐻(0) c) A partir de 𝑈(𝑓𝑓) es dedueix que sistemes 1 i 3 són passabaixes i sistema 2 passaaltes.
d) en el temps de pujada de la sortida, de forma inversa.
e) De la propietat de conservació de la paritat de la trans. de Fourier, 𝑌𝑌(𝑓𝑓) imparell i 𝑦𝑦(𝑡𝑡) imparell.
f) Es demostra operant sobre la integral de convolució que 𝑦𝑦(−𝑡𝑡) = −𝑦𝑦(𝑡𝑡).
1 1 g) A partir de la descomposició de 𝑢(𝑡𝑡) = + 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑡𝑡) es demostra que fase lineal en el s.l.i.⇒ 2 2 simetria imparell de 𝑎(𝑡𝑡) − una constant en torn a un 𝑡𝑡0 . És el cas del sistema 3.
___________________________________________________________________________ 19 de 19 ...