Sem 4 Sol (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Matemáticas II
Año del apunte 2015
Páginas 3
Fecha de subida 16/01/2015
Descargas 1
Subido por

Descripción

Toda la teoría y práctica de la asignatura

Vista previa del texto

Matem` atiques II. Problemes del Seminari 4 Heu de raonar breument totes les respostes i justificar els passos que feu.
Mat`eria: Sessions 8 i 9 de teoria.
1. Donada la funci´o f (x, y) = x3 + y 3 + y 2 − 3xy, i per a la corba de nivell de cota 8 de la funci´o es demana: (a) Calcular dy dx usant la f´ormula de la derivada impl´ıcita.
(b) Calcular la recta tangent a tots els punts de la corba on x = 2.
(c) Calcular el vector gradient de f (x, y) a tots els punts de la corba on x = 2.
(d) Amb ajuda d’algun programa inform`atic, representa la corba de nivell i posteriorment a m`a representa en el mateix gr`afic les rectes tangents i els gradients trobats.
´ SOLUCIO: fx 3x2 − 3y dy =− =− 2 .
(a) dx fy 3y + 2y − 3x (b) Si x = 2 aleshores y = 0, −3, 2. Si y = 0 tenim que la recta tangent a (2, 0) ´es y = 2(x − 2); si ´es y = −3 tenim que la recta tangent a (2, −3) ´es y + 3 = − 57 (x − 2) si ´es y = 2 tenim que la recta tangent a (2, 2) ´es y − 2 = − 53 (x − 2).
(c) El gradient ´es (3x2 − 3y, 3y 2 + 2y − 3x).
A (2, 0) ´es (12, −6); a (2, −3) ´es (21, 15) i a (2, 2) ´es (18, 10).
2. La funci´o f (x, y) = x+y , ´es homog`enia. Trobeu-ne el grau i comproveu que satisf`a el Teorema de Euler. (Indicaci´ o. Per a b a+b = + .) derivar, recordeu que c c c ´ SOLUCIO: f (tx, ty) = t−1 f (x, y). Homog`enia de grau −1. Per aplicar Euler, fem servir la indicaci´o: f (x, y) = 1/x + 1/y. Tenim que 1 1 ) + y(− )= x2 y2 1 1 = − − = x y = −f (x, y) xfx + yfy = x(− 3. Donada la funci´o f (x, y) = xy x2 + y 2 5 , calculeu 2(xfx + yfy ). (Indicaci´o : Penseu a veure si us podeu estalviar les derivades.) ´ SOLUCIO: La funci´o ´es homog`enia de grau 8/5. Podem aplicar el Teorema de Euler. Tenim que 2 xfx + yfy = 2·(8/5)f (x, y) = 4. Donada la funci´o f (x, y) = x7 + x2 y b xa y 5 16xy 5 5 x2 + y 2 .
, trobeu valors de a i b que facin que f (x, y) sigui homog`enia de grau -1.
´ SOLUCIO: 7 x7 +t2+b x2 y b f (tx, ty) = t √ per la qual cosa b = 5 per poder treure factor com´ u t7 al numerador a+5 a 5 t x y i, per tant, f (tx, ty) = t7 (x7 +x2 y 5 ) a+5 t 2 √ xa y 5 a+5 7 2 5 = t(7− 2 ) · x√+xa y5 i per tant 7 − x y a+5 2 = −1 amb el que a = 11.
5. Donada la funci´o f (x, y) = x1/3 y 2/3 , (a) Calculeu l’aproximaci´o lineal a f (x, y) en un punt (a, a) on a ∈ R.
(b) Utilitzeu aquesta aproximaci´o per tal de trobar, sense calculadora, el valor aproximat de f (1.02, 1.05). Trobeu amb l’ajut d’una calculadora el valor real de 1.021/3 ·1.052/3 i compareu-lo amb l’aproximaci´o.
(c) Aprofiteu all`o que acabeu de fer per trobar el diferencial de f quan passem de (1, 1) a (1.02, 1.05).
´ SOLUCIO: 1 2 a) f (a, a) = a1/3 a2/3 = a. fx = x−2/3 y 2/3 ; fy = x1/3 y −1/3 . Tenim que fx (a, a) = 1/3 i 3 3 fy (a, a) = 2/3. L’aproximaci´o lineal, per (x, y) proper a un punt de la forma (a, a) ´es 1 2 x 2y f (x, y) ≈ f (a, a) + fx (a, a)(x − a) + fy (a, a)(y − a) = a + (x − a) + (y − a) = + .
3 3 3 3 b) El punt (1.02, 1.05) ´es for¸ca proper a un punt de la forma (a, a), concretament, al punt (1, 1). Per tant podem fer servir l’aproximaci´o lineal: f (1.02, 1.05) ≈ 1.02 2·1.05 + = 1.04.
3 3 El valor real (amb calculadora) ´es 1.021/3 ·1.052/3 = 1.039903 . . ..
c) L’aproximaci´o lineal ens deia que f (1.02, 1.05) = f (1, 1) + df (1, 1). Per tant, ´es evident que df (1, 1) = 0.04. Tamb´e es pot calcular de bell nou: df (a, b) = fx (a, b)·dx + fy (a, b)·dy.
En aquest cas, fx (1, 1) = 1/3, fy (1, 1) = 2/3, dx = 0.02 i dy = 0.05. Per tant df (1, 1) = 0.02 2·0.05 + = 0.04.
3 3 ...