Sem 1 (2013)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2013
Páginas 14
Fecha de subida 16/01/2015
Descargas 14
Subido por

Descripción

Soluciones

Vista previa del texto

Matemàtiques III Curs 2012-2013 Seminari 1. Diagonalització.
Problema 1: Per a la matriu  2 6  6   A = 10 2 1  8 1 2    Trobeu la matriu P i la matriu diagonal D tal que AP = PD.
Solució Problema 1: Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
2 6 6 10 2 1  3  62    30  0 .
8 1 2 Per calcular les seves arrels apliquem el mètode de Ruffini per veure si hi ha alguna arrel sencera. Fent proves obtenim que si agafem el valor   2 , obtenim que -1 6 1 -30 -1 2 8 -16 -15 30 0 -2 i llavors ja tenim una arrel. Les altres dues s’obtenen resolent l’equació de segon grau que ens queda després d’aplicar el mètode de Ruffini. Aquesta equació és   2  8  15  0 que té per arrels   3 i   5 . Llavors els valors propis de la matriu A són   2 ,   3 i   5 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi   2 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 6  6  x   0  2        2 1  y    0  posant   2 , és a dir  10  8 1 2    z   0    4 6  6  x   0       10 4 1  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  8 1 4  z   0       1 4 x  6 y  6 z  0  10 x  4 y  z  0 .
8 x  y  4 z  0  De la primera equació aïllem z  2 x  y . Substituïm a les altres dues equacions i ens 3  32  3 x  5 y  0  32 queda  . D’aquí obtenim que y  x . Aleshores substituint aquesta 15  32 x  5 y  0  3 2  22 expressió de y en termes de x a l’expressió z  x  y , ens queda que z  x . Ara 3 15 agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x  1 , obtenim el vector  1    propi v1    32 / 15  de valor propi   2 .
  22 / 15    Valor propi   3 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2     10  8  6 2 1  6  x   0      1  y    0  posant   3 , és a dir 2    z   0    1 6  6  x   0        10  1 1  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions 8 1  1  z   0    x  6 y  6 z  0  10 x  y  z  0 .
8 x  y  z  0  1 De la primera equació aïllem z   x  y . Substituïm a les altres dues equacions i ens 6 x  10 x  6  0 queda  . D’aquí obtenim que x  0 , i llavors z  y . Ara agafant un valor 8 x  x  0 6   0   qualsevol de y diferent de zero, per exemple y  1 , obtenim el vector propi v 2   1  de 1   valor propi   3 .
Valor propi   5 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2     10  8  6 2 1  6  x   0      1  y    0  posant   5 , és a dir 2    z   0  2   3 6  6  x   0        10  3 1  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  8 1  3  z   0   De la primera equació aïllem z    3x  6 y  6 z  0  10 x  3 y  z  0 .
8 x  y  3z  0  x  y . Substituïm a les altres dues equacions i ens 2 19 x  2y  0 17 19  2 queda  . D’aquí obtenim que y  x . Ara agafant un x , i llavors z  19 4 4  x  2y  0  2 valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x  1 , obtenim el vector propi  1    v3  19 / 4  de valor propi   5 .
17 / 4    0 1   1   Per tant, tenim la matriu P=   32 / 15 1 19 / 4  on les columnes són els tres vectors   22 / 15 1 17 / 4      2 0 0   propis que hem trobat i la matriu diagonal és D=  0 3 0  . Observeu que si  0 0 5   haguéssim considerat un altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
2 k  Problema 2: Per a la matriu A =   , on k és un valor real qualsevol, trobeu k 2 segons el valor de k, els valors propis, els vectors propis i la matriu P tal que AP = PD, on D és la matriu diagonal formada pels valors propis d’A.
Solució Problema 2: Distingim dos casos:  2 0  i llavors Cas k  0 . Aleshores la matriu A és una matriu diagonal, és a dir, A =   0 2 directament tenim que els valors propis són   2 repetit dues vegades. Ara mirem si podem trobar dos vectors propis linealment independents associats al valor propi   2 .
Resolem el sistema en forma matricial 2     0 0  x   0       posant   2 , és a dir 2    y   0  3  0 0  x   0        d’on observem que podem agafar x i y qualssevol. Concretament, 0 0   y   0   x  0 podem prendre els vectors   i   amb x  1 i y  1 . Llavors tenim els dos vectors 0  y  1  0 propis v1    i v2    de valor propi   2 , que a més a més són linealment  0  1 independents.
1 0  on les columnes són els dos vectors propis que Per tant, tenim la matriu P =  0 1  2 0  . Observeu que si haguéssim considerat un hem trobat i la matriu diagonal és D =   0 2 altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
Cas k diferent de zero. Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
2 k  2  4  (4  k 2 )  0 .
k 2 Resolent l’equació de segon grau obtenim els valors propis de la matriu A que són:   2  k i   2  k . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi   2  k : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2     k  k   k k  x   0       posant   2  k , és a dir 2    y   0  k  x   0       que ens dóna el sistema d’equacions  k  y   0   kx  ky  0 .
 kx  ky  0 Observeu que la segona equació és la mateixa que la primera amb un canvi de signe.
Llavors, d’una de les dues equacions aïllem y  x . Ara agafant un valor qualsevol de x 1 diferent de zero, per exemple x  1 , obtenim el vector propi v1    de valor propi 1  2k.
Valor propi   2  k : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2     k k  x   0       posant   2  k , és a dir 2    y   0  4 kx  ky  0  k k  x   0  , que de fet es       que ens dóna el sistema d’equacions  k k y 0 kx  ky  0       redueix a l’equació kx  ky  0 . D’aquí obtenim que y   x . Ara agafant un valor 1 qualsevol de x diferent de zero, per exemple x  1 , obtenim el vector propi v2    de   1 valor propi   2  k .
1 1  Per tant, tenim la matriu P=   on les columnes són els dos vectors propis que 1  1 0  2  k hem trobat i la matriu diagonal és D=   . Observeu que si haguéssim 2  k   0 considerat un altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
Problema 3: Trobeu els valors propis, els vectors propis i la matriu U en la representació espectral per a les matrius següents:  2  1  1   3.1. A=   1 0 1  1 1 0   0  4 3   3.2. A=  3  4 0   0 0  2   Solució Problema 3: 3.1 Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
2   1 1  1   1  3  22  3  0 .
1 1  Observeu que podem escriure l’anterior equació com  (2  2  3)  0 . Llavors   0 és una arrel de la nostra equació. La resta d’arrels les trobem resolent l’equació de segon grau  2  2  3  0 , que són   1 i   3 . Llavors els valors propis de la matriu A són   1,   0 i   3 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi   1: el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial  2    1  1  x   0         1   1  y    0  posant   1, és a dir  1 1    z   0    3  1  1 x   0         1 1 1  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions   1 1 1  z   0       5 3x  y  z  0   x  y  z  0 .
 x  y  z  0  Observem que la segona equació i la tercera són la mateixa. Per tant el sistema es 3x  y  z  0 redueix a  . De la primera equació aïllem z  3x  y . Substituïm a l’altre  x  y  z  0 equació i ens queda 2 x  0 . D’aquí obtenim x  0 . Aleshores substituint x  0 a l’expressió z  3x  y , ens queda que z   y . Ara agafant un valor qualsevol de y 0   diferent de zero, per exemple y  1 , obtenim el vector propi v1   1  de valor propi   1     1.
Valor propi   0 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2     1  1  1  1  1  x   0      1  y    0  posant   0 , és a dir    z   0   2  1  1 x   0         1 0 1  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions 1 1 0  z   0   2 x  y  z  0   x  z  0 .
 x  y  0  De la primera equació aïllem z  2 x  y . Substituïm a la segona equació i ens queda x  y  0 . Observem que aquestes dues equacions són equivalents. D’aquí obtenim   x  y  0 que y  x . Aleshores substituint aquesta expressió de y en termes de x a l’expressió z  2 x  y , ens queda que z  x . Ara agafant un valor qualsevol de x diferent de zero,  1   per exemple x  1 , obtenim el vector propi v 2  1 de valor propi   0 .
 1   Valor propi   3 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial  2    1  1  x   0         1   1  y    0  posant   3 , és a dir  1 1    z   0     1  1  1  x   0         1  3 1  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions   1 1  3  z   0       6  x  y  z  0   x  3 y  z  0 .
 x  y  3 z  0  De la primera equació aïllem z   x  y . Substituïm a les altres dues equacions i ens  2 x  4 y  0 x queda  . D’aquí obtenim que y  . Aleshores substituint aquesta 2 2 x  4 y  0 x expressió de y en termes de x a l’expressió z   x  y , ens queda que z  . Ara 2 agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x  1 , obtenim el vector  1    propi v3    1 / 2  de valor propi   3 .
  1/ 2   0  1     Resumint, els valors propis són  1, 0 i 3 amb vectors propis v1   1  , v2  1 i   1  1      1    v3    1 / 2  respectivament. Per a obtenir la matriu de la representació espectral   1/ 2    haurem de normalitzar els vectors v1 , v2 i v3 .
La norma de cadascun d’aquests vectors és: v1  2 , v2  3 i v2  6 / 2 . Llavors  0 1/ 3 2 / 6    U=  1 / 2 1 / 3  1 / 6  .
   1 / 2 1 / 3  1 / 6   3.2 Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
4 3 0 3 4 0  3  22  25  50  0 .
0 0 2 Per calcular les seves arrels apliquem el mètode de Ruffini per veure si hi ha alguna arrel sencera. Fent proves obtenim que si agafem el valor   2 , obtenim que -1 -2 25 50 -1 2 0 0 25 -50 0 -2 i llavors ja tenim una arrel. Les altres dues arrels s’obtenen resolent l’equació de segon grau que ens queda després d’aplicar el mètode de Ruffini. Aquesta equació és   2  25  0 que té per arrels   5 i   5 . Llavors els valors propis de la matriu A són   5 ,   2 i   5 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi   5 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 7 4     3  0  3 4 0 0  x   0      0  y    0  posant   5 , és a dir  2  z   0   9 3 0  x   0        3 1 0  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  0 0 3  z   0       9 x  3 y  0  3 x  y  0 .
3 z  0  De la tercera equació deduïm que z  0 . A més a més, observem que la variable z no apareix a les altres dues equacions. També podem observar que la primera equació és 3 vegades la segona. Aleshores obtenim de la segona equació que y  3x (ho podíem haver obtingut també de la primera). Ara agafant un valor qualsevol de x diferent de  1    zero, per exemple x  1 , obtenim el vector propi v1    3  de valor propi   5 .
 0    Valor propi   2 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 4     3  0  3 4 0 0  x   0      0  y    0  posant   2 , és a dir  2  z   0   6 3 0  x   0       6 x  3 y  0 , on z pot ser  3  2 0  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  3 x  2 y  0   0 0 0  z   0       qualsevol valor.
De la primera equació aïllem y  2 x . Substituïm a l’altre equació i ens queda 7 x  0 .
D’aquí obtenim que x  0 . Aleshores y  2 x  0 . Llavors hem trobat el vector propi 0   v 2   0  de valor propi   2 .
1   Valor propi   5 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 4     3  0  3 4 0 0  x   0      0  y    0  posant   5 , és a dir  2  z   0  8 0  x   0  1 3       3  9 0  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions 0 0  7  z   0    x  3 y  0  3x  9 y  0 .
 7 z  0  De la tercera equació deduïm que z  0 . Observem que la segona equació és -3 vegades la primera equació. Aleshores d’una de les dues primeres equacions obtenim que x y  . Ara agafant un valor de x diferent de zero qualsevol, per exemple x  1 , 3  1    obtenim el vector propi v3  1 / 3  de valor propi   5 .
 0     1  0     Resumint, els valors propis són  5 ,  2 i 5 amb vectors propis v1    3  , v2   0  i  0  1      1    v3  1 / 3  respectivament. Per a obtenir la matriu de la representació espectral haurem  0    de normalitzar els vectors v1 , v2 i v3 .
La norma de cadascun d’aquests vectors és: v1  10 , v2  1 i v3  10 / 3 . Llavors  1 / 10 0 3 / 10    U=   3 / 10 0 1 / 10  .
  0 1 0   Problema Extra 1: Per a la següent matriu   11  4 8    A=  0 1 0   12  4 9    trobeu la matriu P i la matriu diagonal D de manera que AP = PD.
Solució Problema Extra 1: IMPORTANT TÉ VAPS REPETITS Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
 11    4 8 0 1  0  3  2  5  3  0 .
 12 4 9 Les arrels són   1 ,   1 i   3 . Llavors els valors propis de la matriu A són   1 ,   1 i   3 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
9 Valor propi   1 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 8  x   0    11    4      1  0  y    0  posant   1 , és a dir  0   12  4 9    z   0     12  4 8  x   0       0 0  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  0   12  4 8  z   0        12 x  4 y  8 z  0  .
0  0  12 x  4 y  8 z  0  La solució té dos graus de llibertat x = x, y = –3x + 2z i z = z. Ara agafant un parell de valors per x i y, per exemple x  1 i z = 0 i x = 0 i z =1 obtenim dos vectors propi  1  0     linealment independents: v1    3  i v 2   2  són vectors propis de valor propi   1 .
 0  1     Valor propi   3 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 8  x   0    11    4      1  0  y    0  posant   3 , és a dir  0   12  4 9    z   0     8  4 8  x   0       4 0  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  0   12  4 12  z   0        8 x  4 y  8 z  0  .
4 y  0  12 x  4 y  12 z  0  La solució té un grau de llibertat x = x, y = 0 i z = x. Llavors agafant un valor qualsevol 1   de x diferent de zero, per exemple x  1 , obtenim el vector propi v 2   0  de valor 1   propi   3 .
0 1  1   Per tant, tenim la matriu P =   3 1 0  on les columnes són els tres vectors propis  0  2 1   1 0 0    que hem trobat i la matriu diagonal és D =  0 1 0  . Observeu que si haguéssim  0 0  3   considerat un altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
10 Problema Extra 2: Per a la següent matriu  7 8  10    A=  0  3 0  0 1  4    trobeu la matriu P invertible i la matriu diagonal D de manera que AP = PD.
Solució Problema Extra 2: Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
7 8  10 0 3 0  (7   )(3   )(4   )  0 .
0 1 4 Observem que directament tenim que els valors propis de la matriu A són   4 ,   3 i   7 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi   4 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 7     0  0  8 3 1  10  x   0      0  y    0  posant   4 , és a dir  4    z   0  11 8  10  x   0  11x  8 y  10 z  0       .
 0 1 0  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  y  0  0 1 0  z   0  y  0       Com que y  0 , de la primera equació tenim que 11x  10 z  0 i aleshores aïllem 11x z . Ara agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x  1, 10  1    obtenim el vector propi v1   0  de valor propi   4 .
11 / 10    Valor propi   3 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 7     0  0  8 3 1  10  x   0      0  y    0  posant   3 , és a dir  4    z   0  11 10 8  10  x   0       10 x  8 y  10 z  0 .
 0 0 0  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  y  z  0  0 1  1  z   0       De la segona equació aïllem z  y . Substituïm a la primera equació i ens queda y 10 x  2 y  0 . D’aquí obtenim que x  . Ara agafant un valor qualsevol de y diferent 5 1 / 5    de zero, per exemple y  1 , obtenim el vector propi v2   1  de valor propi   3 .
 1    Valor propi   7 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 7     0  0  8 3 1  10  x   0      0  y    0  posant   7 , és a dir  4    z   0   10  x   0  0 8 8 y  10 z  0        0  10 0  y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  10 y  0 , on x 0 1  y  11z  0  11  z   0    pot ser qualsevol.
De la segona equació deduïm que y  0 i llavors substituint en alguna de les altres equacions obtenim z  0 . Ara agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per 1   exemple x  1 , obtenim el vector propi v3   0  de valor propi   7 .
0   1/ 5 1   1   Per tant, tenim la matriu P =  0 1 0  on les columnes són els tres vectors 11 / 10 1 0      4 0 0   propis que hem trobat i la matriu diagonal és D =  0  3 0  . Observeu que si  0 0 7   haguéssim considerat un altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
Problema Extra 3: Per a la següent matriu 0 1 1   A=  1 0  1 0  1 1    trobeu la matriu ortogonal P i la matriu diagonal D de manera que AP = PD.
12 Solució Problema Extra 3: Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
1  1 0 1    1  3  22    2  0 .
0 1 1   Per calcular les seves arrels apliquem el mètode de Ruffini per veure si hi ha alguna arrel sencera. Fent proves obtenim que si agafem el valor   2 , obtenim que -1 2 1 -2 -1 -2 0 0 1 2 0 2 i llavors ja tenim una arrel. Les altres dues arrels s’obtenen resolent l’equació de segon grau que ens queda després d’aplicar el mètode de Ruffini. Aquesta equació és   2  1  0 que té per arrels   1 i   1 . Llavors els valors propis de la matriu A són   1,   1 i   2 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi   1: el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 1     1  0  0  x   0       1  y    0  posant   1, és a dir  1 1    z   0  1  0  x   0  2 1       1 1  1 y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  0  1 2  z   0       2 x  y  0  x  y  z  0 .
 y  2 z  0  De la primera equació aïllem y  2 x . Substituïm a les altres dues equacions i ens  x  z  0 queda  . Observem que la segona equació és -2 vegades la primera.
2 x  2 z  0 Aleshores d’una de les dues equacions obtenim que z   x . Ara agafant un valor  1    qualsevol de x diferent de zero, per exemple x  1 , obtenim el vector propi v1    2  de  1    valor propi   1 .
Valor propi   1 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 1     1  0  0  x   0       1  y    0  posant   1 , és a dir  1 1    z   0  1  13 0  x   0  0 1       1  1  1 y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  0  1 0  z   0       y  0  x  y  z  0 .
 y  0  Observem que y  0 . Aleshores la segona equació queda x  z  0 d’on obtenim que z  x . Llavors agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x  1 , 1   obtenim el vector propi v2   0  de valor propi   1.
1   Valor propi   2 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 1     1  0  0  x   0       1  y    0  posant   2 , és a dir  1 1    z   0  1  0  x   0   1 1       1  2  1 y    0  que ens dóna el sistema d’equacions  0  1  1 z   0        x  y  0  x  2 y  z  0 .
 y  z  0  De la primera equació aïllem y  x . Substituint en les altres dues equacions obtenim  x  z  0 . D’aquí obtenim que z   x . Per tant, agafant un valor qualsevol de x   x  z  0 1   diferent de zero, per exemple x  1 , obtenim el vector propi v3   1  de valor propi   1     2.
1  1      Resumint, els valors propis són  1 , 1 i 2 amb vectors propis v1    2  , v2   0  i   1 1     1   v3   1  respectivament. Per a obtenir la matriu de la representació espectral haurem   1   de normalitzar els vectors v1 , v2 i v3 .
La norma de cadascun d’aquests vectors és: v1  6 , v2  2 i v3  3 . Llavors  1/ 6 1/ 2  0 U=   2 / 6   1/ 6 1/ 2 14 1/ 3   1/ 3  .
  1 / 3  ...