Tema 3 Variables aleatòries (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 2º curso
Asignatura Probabilitat i estadística
Año del apunte 2013
Páginas 60
Fecha de subida 17/05/2014
Descargas 4
Subido por

Vista previa del texto

88 ` ries Variables aleato Tema 3.A Variables aleat` ories y x 3.1 Introducci´o i definicions b`asiques 3.2 Variables aleat`ories discretes 3.3 Variables aleat`ories cont´ınues 3.4 Mesures de centralitzaci´ o i de dispersi´o 3.5 Funci´o generatriu de moments Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 89 ` ries Variables aleato 3.1 Introducci´ o En el c`alcul de probabilitats s’utilitzen variables num`eriques que s’anomenen variables aleat` ories perqu`e els seus valors venen determinats per l’atzar.
En tot proc`es d’observaci´ o o experiment, podem definir una variable aleat`oria asignant a cada valor de l’experiment un nombre: • Si el resultat es num`eric (comptem o mesurem), aleshores els possibles valors de la variable coincideisen amb els resultats de l’experiment.
• Si el resultat ´es qualitatiu, aleshores podem codificar el resultat. Per exemple si una pe¸ca ´es dolenta 0 i si es bona 1.
Direm que s’ha definit un a variable aleat` oria o que se ha constru¨ıt un model de distribuci´ o de probabilitat, quan s’especifiquin els possibles valors de la variable amb les seves respectives probabilitats.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 90 ` ries Variables aleato Exemple introductori Experiment aleatori: Llancem dos daus equilibrats i ens interessem per la suma X dels punts dels dos daus (per exemple si esteu jugant al monopoly).
Espai mostral dels dos daus: Considerem el conjunt de resultats dels dos daus Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)} juntament a l’aplicaci´o X:Ω −→ {2, 3, . . . , 12} ⊂ R (i, j) −→ i + j Probabilitat en Ω: Com tots els 36 resultats diferents de Ω tenen la mateixa probabilitat, posem 1 P ({(i, j)}) = 36 per tot 1 ≤ i, j ≤ 6.
Espai mostral de la suma ´es ΩX = {2, 3, . . . , 12}, per`o posar-hi aqu´ı la probabilitat PX adequada no ´es f` acil, ja que no tots els resultats s´on equiprobables.
Probabilitat en ΩX : Calculem la probabilitat de que la suma X dels resultats dels dos daus sigui 7: ( ) 6 PX ({7}) = P {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} = .
36 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 91 ` ries Variables aleato Probabilitat en ΩX : Constru¨ım la probabilitat en ΩX PX : ΩX = {2, . . . , 12} → [0, 1] a partir de la probabilitat en Ω: P : Ω = {(i, j), 1 ≤ i, j ≤ 6} → [0, 1] de la manera seg¨ uent, amb PX ({k}) = P (X(i, j) = k): PX ({2}) PX ({3}) PX ({4}) 1 , 36 = P ({(1, 1)}) = = 2 , P ({(1, 2), (2, 1)}) = 36 = 3 P ({(1, 3), (2, 2), (3, 1)}) = , 36 ..
.
PX ({7}) = PX ({8}) = 6 P ({(6, 1), (5, 2), . . . , (1, 6)}) = , 36 5 P ({(6, 2), (5, 3), . . . , (2, 6)}) = , 36 ..
.
PX ({12}) = P ({(6, 6)}) = 1 .
36 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 92 ` ries Variables aleato Definicions b` asiques Def. 1. Variable aleat` oria Sigui (Ω, F, P ) ´es un model probabil´ıstic.
S’anomena variable aleat` oria tota aplicaci´ o X de l’espai mostral Ω sobre els reals X : Ω −→ R de forma que s’assigna un nombre real a cada esdeveniment elemental.
Si el recorregut X(Ω) ´es finit o numerable, es diu que la variable aleat`oria X ´es discreta.
Si X(Ω) ´es un conjunt infinit no numerable (per exemple, un interval), es diu que la variable aleat`oria X ´es cont´ınua.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 93 ` ries Variables aleato 3.2 Variables aleat` ories discretes Aquest tipus de variable es correspon a experiments en els que es compta el nombre de vegades que succeeix un esdeveniment.
Def. 2. Funci´ o de probabilitat La funci´ o de probabilitat o funci´ o de massa de probabilitat associada a una variable discreta X definida sobre Ω, ´es l’aplicaci´ o f que fa correspondre a cada element xi de X(Ω) la probabilitat que la variable X prengui aquest valor, ´es a dir, f : X(Ω) −→ [0, 1] xi −→ f (xi ) = P (X = xi ) Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 94 ` ries Variables aleato Observaci´ o 1. La suma de tots els valors que pren la funci´ o de probabilitat ´es la suma de les probabilitats que es donin tots i cada un dels valors de la variable aleat` oria.
En general, f (x) ´es una funci´o de probabilitat si verifica • 0 ≤ f (xi ) ≤ 1, xi ∈ X(Ω) ∑ • f (xi ) = 1 xi ∈X(Ω) Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 95 ` ries Variables aleato Def. 3. Funci´ o de distribuci´ o La funci´ o de distribuci´ o o funci´ o de probabilitat acumulada associada a una variable aleat` oria discreta X definida sobre un espai mostral Ω ´es l’aplicaci´ o F que fa correspondre a cada element xi de X(Ω) la probabilitat que la variable X prengui un valor m´es petit o igual a xi : F : X(Ω) −→ R xi −→ F (xi ) = P (X ≤ xi ) = ∑ P (X = x) x≤xi y F(xn)= 1 F(x2) P(x2) F(x1) x x1 x2 xn Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 96 ` ries Variables aleato Propietat. Funci´ o de distribuci´ o (a) 0 ≤ F (x) ≤ 1, per a tot x ∈ R (b) F ´es mon` otona creixent (c) F ´es cont´ınua per la dreta   lim F (x) = 1 x→∞ (d)  lim F (x) = 0 x→−∞ (e) P (X > a) = 1 − F (a) (f ) P [a < X ≤ b] = F (b) − F (a) Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 97 ` ries Variables aleato Exemple. (Exercici 2) Llancem dos daus que es caracteritzen per: • El primer t´e representat en cada cara un n´ umero senar, de 1 a 11.
• El segon t´e inscrits un n´ umero parell, de 2 fins a 12 Sigui X una variable aleat` oria que indica la suma de les puntuacions obtingudes en llan¸car els dos daus simult` aneament. Calcula: (a) la funci´ o de probabilitat i la seva representaci´ o gr` afica (b) la funci´ o de distribuci´ o i la seva representaci´ o gr` afica (c) P (X ≤ 13), P (X > 7), P (4 < X ≤ 13), P (X ≥ 12).
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 98 ` ries Variables aleato Soluci´ o L’espai mostral ´es Ω = {(i, j) tal que i = 1, 3, 5, 7, 9, 11; j = 2, 4, 6, 8, 10, 12} Per tant, es correspon a la taula 1 3 5 7 9 11 2 3 5 7 9 11 13 4 5 7 9 11 13 15 6 7 9 11 13 15 17 8 9 11 13 15 17 19 10 11 13 15 17 19 21 12 13 15 17 19 21 23 Per tant, ♯(Ω) = 36 i X(Ω) = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23}.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 99 ` ries Variables aleato La funci´o de probabilitat dependr`a del valor de la suma: • Si x = 3, 23: f (x) = P (X = x) = • Si x = 5, 21: f (x) = 2 36 • Si x = 7, 19: f (x) = 3 36 • Si x = 9, 17: f (x) = 4 36 • Si x = 11, 15: f (x) = • Si x = 13: f (x) = 1 36 5 36 6 36 Per exemple, P (X > 7) = 1 − F (7) = 1 − (f (3) + f (5) + f (7)) =1− = 6 36 5 6 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 100 ` ries Variables aleato 3.3 Variables aleat` ories cont´ınues Una variable aleat`oria cont´ınua pren valors qualsevols en un interval o a tot R.
No ´ es possible con` eixer el valor exacte d’una variable cont´ınua, ja que medir el seu valor consisteix en col·locar-lo en un interval.
Suposem que medim una magnitut i en fem el seu histograma. A mesura que fem m´es mesures, l’histograma tindr`a a una corba suau que descriur`a el comportament a llarg terme de la variable estudiada.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 101 ` ries Variables aleato Anomenem funci´ o de densitat de probabilitat f (x) a aquesta funci´o. Com la suma de les freq¨ u`encies relatives ´es 1, l’`area de l’histograma ha de ser 1.
Def. 4. Funci´ o de densitat Anomenem funci´ o de densitat de probabilitat de la variable aleat` oria X la funci´ o f : R −→ [0, 1] verificant les seg¨ uents condicions: (a) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ∫∞ (b) −∞ f (x) dx = 1 (c) P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < ∫b b) = P (a < X <) = a f (x) dx ja que la probabilitat que un model de variable cont´ınua assigna a l’observaci´ o d’un valor exacte ´es zero.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 102 ` ries Variables aleato Def. 5. Funci´ o de distribuci´ o La funci´ o de distribuci´ o F (x) d’una variable aleat` oria cont´ınua X de funci´ o de densitat f (x) es defineix com F (x) = P (X ≤ x) ´ a dir, Es ∫ x F (x) = f (t) dt −∞ Propietat. Funci´ o de distribuci´ o (a) F (x) ´es no decreixent (b) F (x) ´es no negativa (c) F (x) ´es cont´ınua (d) F (x) ´es derivable. La seva derivada, de fet, ´es la funci´ o de densitat f (x) = (e) P (a < X < b) = ∫b a dF (x) dx f (t) dt = F (b) − F (a) Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 103 ` ries Variables aleato Determinaci´ o de F (x) a partir de f (x) Sigui X una variable aleat`oria cont´ınua definida en un interval (a, b), amb funci´o de densitat f (x).
Aleshores   0 si x≤a      ∫ x F (x) = f (t) dt si a < x < b a       1 si x≥b Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 104 ` ries Variables aleato Exemple. En cert hospital, es va veure que el pes en kg dels nounats ´es una variable aleat` oria de funci´ o de densitat   1x 2 ≤ x ≤ 4 6 f (x) =  0 en altres casos Tindrem que la funci´ o de distribuci´ o verifica • Si x < 2, F (x) = 0.
• Si 2 ≤ x ≤ 4, ∫x F (x) = ∫x f (t) dt = −∞ x2 − 4 1 t dt = .
6 12 2 • Si x > 4, ∫x F (x) = ∫4 f (t) dt = −∞ 1 t dt + 0 = 1 .
6 2 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 105 ` ries Variables aleato 3.4 Mesures de centralitzaci´ oi de dispersi´ o Anem a fer una generalitzaci´o dels estad´ıstics estudiats en el tema 2 per a variables aleat`ories.
Esperan¸ ca matem` atica: E(X), µX Es correspon amb la mitjana (valor esperat si escollim un valor a l’atzar) d’una mostra.
Variable discreta ∑ µX = E(X) = x P (X = x) x∈X(Ω) Variable cont´ınua ∫ µX = E(X) = ∞ x f (x) dx −∞ Propietat. Esperan¸ca Siguin a i b dues constants qualsevols. Aleshores, E(aX + b) = a E(X) + b .
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 106 ` ries Variables aleato Moda Variable discreta Ser` a el valor xi pel qual la variable aleat`oria presenta major probabilitat: max {P (X = xi )} xi ∈X(Ω) Variable cont´ınua Es defineix com el valor de la variable que fa m`axima la funci´o de densitat.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 107 ` ries Variables aleato Mediana Ser` a el valor xme pel qual P (X ≤ xme ) = P (X ≥ xme ) = 1 .
2 Variable discreta El trobarem de manera an`aloga a com hem fet a Estad´ıstica Descriptiva per`o ara fent servir la columna de les probabilitats acumulades.
Variable cont´ınua La mediana xme es correspon a la ordenada que separa la corba de densitat en dues parts d’`area ´ a dir, iguals 1/2. Es ∫ me 1 P (X ≤ xme ) = f (t) dt = .
2 −∞ Observaci´o: Tamb´e ara podem calcular els quantils d’una variable aleat`oria qualsevol.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 108 ` ries Variables aleato Vari` ancia i desviaci´ o t´ıpica 2 Recordem que la vari`ancia (σX ) i la desviaci´o t´ıpica (σX ) s´on la mesura de dispersi´o o variaci´ o dels valors de la variable aleat`oria respecte l’esperan¸ca µX : [ ] 2 2 Var(X) = σX = E (X − µX ) Variable discreta ∑ 2 σX = (x − µX )2 P (X = x) x∈X(Ω) Variable cont´ınua ∫ ∞ 2 σX = (x − µX )2 f (x) dx −∞ Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 109 ` ries Variables aleato Propietat. Vari` ancia ] [ [ 2] 2 2 2 (a) σX = E (X − E(X)) = E X − (E [X]) 2 = 0 si i nom´es si la variable aleat` oria X ´es (b) σX constant.
(c) Si a i b s´ on constants, Var(a X + b) = a2 Var(X) .
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 110 ` ries Variables aleato Variables aleat` ories tipificades o normalitzades Donada una variable aleat`oria X, es tracta de calcular una variable Z associada a X, per`o que tingui esperan¸ca 0 i vari` ancia 1: X − µX Z= σX Teorema 3. (de Txebychev) La probabilitat que la variable aleat` oria X prengui un valor entre µX − m σX i µX + m σX ´es superior a 1 − m12 : P [µX − m σX 1 < X < µX + m σX ] ≥ 1 − 2 m Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 111 ` ries Variables aleato Observacions al teorema de Txebychev • El teorema de Txebychev d´ona una aproximaci´ o, conservadora i per defecte, de la probabilitat de trobar un valor de la variable aleat`oria dintre de l’interval d’amplitud m σX centrat en la seva esperan¸ca.
• Aquesta imprecisi´o ´es deguda a que no coneixem la distribuci´o de probabilitat.
• N’hi ha prou en con`eixer l’esperan¸ca i la desviaci´o per establir una fita inferior d’aquesta probabilitat.
• Observem que per a qualsevol variable aleat` oria, independentment de la distribuci´ o de probabilitat, tenim que P [µX − 2σX 3 < X < µX + 2σX ] ≥ 4 P [µX − 3σX < X < µX + 3σX ] ≥ 8 9 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 112 ` ries Variables aleato 3.5 Funci´ o generatriu de moments Moments centrals d’ordre s µs = E [(X − µX )s ] Moments al voltant de l’origen d’ordre s αs = E [X s ] Per tant, µX = α1 .
Relaci´ o entre els moments centrals i origen   k ∑ k   (−µX )i αk−i .
µk = i i=0 Def. 6. Funci´ o generatriu de moments Donada una variable aleat` oria X, es defineix com la funci´ o de t donada per ( tx ) ΨX (t) = E e Fent-ne el desenvolupament de Taylor al voltant de t = 0, trobem la relaci´o entre la funci´o ΨX (t) i els moments al voltant de l’origen d’ordre s: [ k ] d αk = ΨX (t) |t=0 dtk Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena Models habituals de distribucions 113 Tema 3.B Models habituals de distribucions discretes 3.6 Introducci´o 3.7 Distribuci´o Uniforme Discreta 3.8 Distribuci´o de Bernoulli 3.9 Distribuci´o Binomial 3.10 Distribuci´o Multinomial 3.11 Distribuci´o de Poisson 3.12 Distribuci´o Geom`etrica 3.13 Distribuci´o Binomial Negativa Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 114 Models habituals de distribucions 3.6 Introducci´ o El nostre objectiu ´es: Determinar distribucions que puguin servir de model a diferents fen`omens aleatoris.
Moltes variables aleat`ories associades a experiments estad´ıstics tenen propietats similars i es poden descriure essencialment amb una mateixa distribuci´ o de probabilitat. Aix`o ens porta a estudiar una s`erie de distribucions tipus.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 115 Models habituals de distribucions 3.7 Distribuci´ o Uniforme Discreta U (n) Si una variable aleat`oria X t´e n valors x1 , x2 , . . . , xn amb la mateixa probabilitat, direm que segueix una distribuci´ o uniforme discreta de par`ametre n.
La seva funci´ o de probabilitat ´es f (x) = P (X = x) = 1 n i les seves caracter´ıstiques principals s´on n+1 E(X) = 2 n2 − 1 Var(X) = 12 Exemple. Tirar un dau perfecte de 6 cares.
Par` ametre de la distribuci´ o? Esperan¸ca? Vari` ancia? Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 116 Models habituals de distribucions 3.8 Distribuci´ o de Bernoulli Ber(p) Considerem un experiment aleatori qualsevol i en cada realitzaci´o de la prova estudiem si es produeix un esdeveniment A o no. Per exemple, en tirar un dau considerem l’esdeveniment A=’treure un 3’. Es redueix a suposar que nom´es hi ha dos ` possibles resultats: Exit i Frac` as.
Suposem que coneixem la probabilitat p que t´e l’esdeveniment A (probabilitat d’`exit), mentre que la probabilitat de frac`as ´es q. Obviament,p > 0 i q > 0, verificant que p+q =1 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 117 Models habituals de distribucions Definim la variable X amb distribuci´ o de Bernoulli Ber(p) de la seg¨ uent manera X(`exit) = 1, X(frac`as) = 0 Aleshores, la funci´ o de probabilitat i les seves caracter´ıstiques principals s´ on P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p E(X) = p Var(X) = p q Exemple. Llan¸car una moneda a l’aire.
Funci´ o de probabilitat? Esperan¸ca? Vari` ancia? Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 118 Models habituals de distribucions 3.9 Distribuci´ o Binomial b(x; n, p) o B(n, p) Es realitzen n experiments independents de Bernoulli Ber(p), on la probabilitat d’`exit ´es sempre p.
La variable aleat`oria X, que compta el nombre d’`exits en fer l’experiment n vegades, t´e una distribuci´ o de Binomial de par`ametres n i p i es denota per b(x; n, p).
Notaci´ o: b(1, p) = Ber(p).
Exemple. Considerem l’esdeveniment ’obtenir 5 cares en 15 llan¸caments d’una moneda’.
` Exit? Par` ametres n i p? Quants cops s’obt´e `exit? Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 119 Models habituals de distribucions La seva funci´ o de probabilitat P (X = k) ´es la probabilitat d’obtenir k `exits de probabilitat p en n proves   n  pk (1 − p)n−k  P (X = k) = k amb esperan¸ ca i vari` ancia donades per E(X) = n p Var(X) = n p q C` alcul de l’esperan¸ca i la vari` ancia d’una binomial: En efecte, recordem que si X ∼ Bin(n, p) aleshores X representa la quantitat de vegades que s’ha produ¨ıt un esdeveniment de probabilitat p en n repeticions.
Podem pensar que X ´es la suma de n variables aleat` ories independents que prenen el valors 1 i 0 amb probabilitats p i 1 − p respectivament.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 120 Models habituals de distribucions Per tant, X ∼ Bin(n, p) es pot expressar com la suma de n Bin(1, p) = Ber(p) independents: X = Y1 + · · · + Yn amb Yj ∼ Ber(p) Calculem E[Yj ] = 1 · p + 0 · (1 − p) = p. A m´es, V ar[Yj ] = = E[Yj2 ] − E[Yj ]2 12 · p + 02 · (1 − p) − p2 = p − p2 = p(1 − p) = p q.
Ara b´e, E[X] = E[Y1 ] + · · · + E[Yn ] = np.
D’altra banda, degut a la independ`encia de les Yj , V ar[X] = V ar[Y1 ] + · · · + V ar[Yn ] = np(1 − p) = npq.
Exercici: Discutiu la simetria de la distribuci´o binomial.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 121 Models habituals de distribucions Exemple.
Un club nacional d’automovilistes comen¸ca una campanya telef`onica amb el prop`osit d’augmentar el nombre de membres del seu club. Basant-se en experi`encies pr`evies, se sap que una de cada 20 persones que reben la trucada s’uneix al club. Si en un dia 25 persones reben la trucada telef`onica, ¿Quina ´es la probabilitat de que almenys dues d’elles s’inscriguin al club? ¿Quin ´es el nombre esperat? Soluci´ o • p= 1 20 = 0.05 • Les 25 persones constitueixen un conjunt independent d’assajos amb probabilitat constant p = 0.05 d’inscriure’s al club, i si la variable aleat`oria X ´es el nombre, de entre n = 25, que acaba subscrivint-se al club, la probabilitat desitjada ´es: P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 0.3576 Valor esperat: E(X) = 25 ∗ 0.05 = 1.25 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 122 Models habituals de distribucions 3.10 Distribuci´ o Multinomial ´ una extensi´ Es o de la binomial quan hi ha m´es de dos resultats possibles.
Es realitzen n experiments independents amb possibles resultats A1 , A2 , . . . , Am amb probabilitats respectives p1 , p2 , . . . , pm , amb p1 + p2 + . . . + pm = 1. Si X1 ´es el nombre de vegades que ´es produeix A1 , X2 ´es el nombre de vegades que ´es produeix A2 ,... i Xm ´es el nombre de vegades que ´es produeix Am , aleshores, P (X1 = k1 , X2 = k2 , . . . Xn = km ) = n! = pk1 1 pk2 2 . . . pkmm k1 !k2 ! . . . km ! Exemple. En el proc´es d’inspecci´ o les peces es classifiquen en conformes, reciclables i descartables. El 90% de les peces s´ on conformes, el 4% reciclables i el 6% descartables. Disposem d’un lot de 20 peces. Quina ´es la probabilitat que de les 20 peces n’hi hagi exactament 17 de conformes, 1 de reciclable i 2 de descartables? Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 123 Models habituals de distribucions 3.11 Distribuci´ o de Poisson P(λ) Aquest tipus de distribuci´o s’utilitza per a modelar diverses classes de situacions, com el nombre de cotxes que passen per un peatge durant una hora, el nombre de clients que rep una perruqueria durant un dia, el nombre de trucades que passen per una centraleta durant una hora o el nombre de terratr`emols que hi ha durant un any, etc.
La distribuci´ o de Poisson s’obt´e com a l´ımit d’una binomial quan el nombre n de cops que es realitza l’experiment tendeix a infinit, la probabilitat d’` exit p tendeix a zero i el nombre mitj` a d’`exits s’estabilitza al voltant d’un valor λ = np constant.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 124 Models habituals de distribucions La funci´ o de probabilitat d’una distribuci´o de Poisson ve definida per k λ P (X = k) = e−λ , k = 0, 1, 2, 3, . . .
k! amb esperan¸ ca i vari` ancia E(X) = λ Var(X) = λ Exemple. Una persona fa 3 errors per p` agina, de mitjana, en mecanografiar un text. Quina ´es la probabilitat que en la propera p` agina hi hagi: a) 3 o ´es errors? b) cap error? Exercici: Discutiu la simetria de la distribuci´o binomial.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 125 Models habituals de distribucions Aproximaci´ o de la Binomial per Poisson En la distribuci´o binomial, si n ´es gran i la probabilitat p que t´e l’esdeveniment d’oc´orrer ´es petita, de manera que q = 1 − p ´es pr`oxima a 1, es diu que l’esdeveniment ´es estrany o rar.
En la pr`actica, un esdeveniment es pot considerar estrany si el nombre de repeticions ´es n ≥ 50, i el producte np ´ es inferior o igual a 5.
´ en aquests casos que la distribuci´ Es o binomial s’aproxima per la distribuci´ o de Poisson, amb λ = np.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 126 Models habituals de distribucions Exemple. Se sap que el 5% dels llibres enquadernats en un cert taller s´ on defectuosos.
Calcula la probabilitat que dos de cada cent llibres siguin defectuosos.
(a) Aplicant la distribuci´ o binomial: x = 2, n = 100, p = 0.05: P (X = 2) = b(2; 100, 0.05) =   100  0.052 (1 − 0.05)98 = 0.081  = 2 (b) Aplicant l’aproximaci´ o a una distribuci´ o de Poisson, resulta que λ = 100 · 0.05 = 5: P (X = 2) = e− 5 52 /2! = 0.084 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 127 Models habituals de distribucions 3.12 Distribuci´ o Geom` etrica Exemple. Llancem varies vegades un dau de sis cares. Quina ´es la probabilitat d’obtenir {4} al cinqu`e llan¸cament, i no abans? Es realitzen successius experiments independents de Bernouilli amb la mateixa probabilitat d’`exit p.
La variable X, nombre de fracassos abans del primer `exit, segueix una distribuci´ o geom` etrica de par` ametre p, amb funci´o de probabilitat: P (X = k) = (1 − p)k p , k = 0, 1, . . .
Les seves caracter´ıstiques s´on: E(X) = 1−p p V ar(X) = 1−p p2 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 128 Models habituals de distribucions La distribuci´ o geom` etrica no t´ e mem` oria Aquesta distribuci´o satisf`a una important propietat anomenada falta de mem` oria o oblit: si X ´es una variable aleat`oria geom`etrica, aleshores P (X ≥ m+n|X ≥ m) = P (X ≥ n) , n, m = 0, 1, . . .
Aquesta propietat caracteritza la distribuci´o geom`etrica entre les distribucions discretes que prenen valors enters no negatius.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 129 Models habituals de distribucions 3.12 Distribuci´ o Binomial Negativa Exemple. Considerem una momeda per a la qual la proabilitat de treure cara ´es 0.57. Si la moneda es tira repetidament, quina ´es la proabilitat que les 3 primeres cares no surtin abans de la cinquena tirada? Considerem ara la variable aleat` oria X =nombre de proves de Bernoulli independents amb probabilitatn d’`exit p, necess` aries per a obtenir exactament r exits.
La distribuci´ o de X ve donada per: ( ) k−1 P (X = k) = (1 − p)k−r pr , r−1 k = r, r + 1 . . .
i es diu que X segueix una distribuci´ o Binomial Negativa. L’esperan¸ ca i vari` ancia de X s´ on: E(X) = r , p V ar(X) = r(1 − p) p2 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 130 Models habituals de distribucions Tema 3.C Models habituals de distribucions continues 3.12 Distribuci´o Uniforme Cont´ınua 3.13 Distribuci´o Exponencial 3.14 Distribuci´o Normal 3.15 Aproximaci´o de la binomial per la normal Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 131 Models habituals de distribucions 3.12 Distribuci´ o uniforme cont´ınua U(a, b) Una variable aleat`oria X segueix una distribuci´ o uniforme cont´ınua de par`ametres a i b (a, b ∈ R, a < b) si la seva funci´ o de densitat ´es  1  , a<x<b  b−a f (x) =   0, altrament Aleshores, E(X) = b+a 2 Var(X) = (b−a)2 12 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 132 Models habituals de distribucions Propietats d’inter` es • Si X segueix una distribuci´o U(a, b), la variable Y = cX + d amb c ̸= 0, segueix tamb´e una distribuci´ o uniforme en l’interval: Si c > 0 (ca + d , cb + d) Si c < 0 (cb + d , ca + d) • Si X ´es una variable aleat`oria cont´ınua, amb funci´o de distribuci´o FX estrictament creixent en el camp de variaci´ o de X, aleshores Y = FX (X) t´e una distribuci´ o U(0, 1).
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 133 Models habituals de distribucions 3.13 Distribuci´ o Exponencial X ∼ Exp(λ) si   λe−λx si x ≥ 0 f (x) =  0 si x < 0 Molt utilitzada com a model de superviv`encia.
Modelitza el temps de vida de components el`ectrics, electr` onics i d’alguns organismes vius.
T´e per caracter´ıstiques: E(X) = 1 λ V ar(X) = 1 λ2 La distribuci´ o exponencial no t´ e mem` oria: P (X ≥ m+n|X ≥ m) = P (X ≥ n) , n, m = 0, 1, . . .
Aquesta propietat caracteritza la distribuci´o exponencial entre les distribucions cont´ınues que prenen valors positius.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 134 Models habituals de distribucions 3.14 Distribuci´ o Normal N (µ, σ 2 ) ´ l’exemple m´es important de distribuci´o de Es probabilitat associada a una variable aleat`oria cont´ınua. La import`ancia rau en el fet que molts fen` omens segueixen aquesta distribuci´o.
Def. 1. Distribuci´ o Normal Es diu que una variable aleat` oria t´e una distribuci´ o normal si la seva funci´ o de densitat ´es (x−µ)2 1 − 2σ2 f (x) = √ e , −∞ < x < ∞ σ 2π La funci´o dep`en de dos par`ametres µ i σ. Com a funci´ o de densitat, verifica: • f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R • ∫∞ f (x) dx = 1 −∞ Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 135 Models habituals de distribucions Propietats de N (µ, σ 2 ) (a) f (x) ´es sim`etrica respecte la recta x = µ (b) L’eix OX ´es una as´ımptota de f (x) (c) La funci´o de densitat f (x) t´e un m`axim en per a x = µ √1 σ 2π (d) T´e dos punts d’inflexi´o en x = µ − σ i x = µ + σ (e) La moda i la mediana valen µ Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 136 Models habituals de distribucions Caracter´ıstiques de N (µ, σ 2 ) Proposici´ o 1. Sigui X ∼ N (µ, σ 2 ). Aleshores la seva esperan¸ca ´es E(X) = µ i la seva vari` ancia ´es V ar(X) = σ 2 Si fixem σ i fem variar µ, el comportament de la funci´ o de densitat normal ´es: Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 137 Models habituals de distribucions Si ara fixem µ i fem variar σ, el comportament de la funci´ o de densitat normal ´es: Per a valors grans de σ (desviaci´ o t´ıpica), la corba tendeix a ser m´es plana, ja que la dispersi´o respecte la mitjana ´es major.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 138 Models habituals de distribucions Def. 2. Funci´ o de distribuci´ o La funci´ o de distribuci´ o de la llei normal ´es 1 F (x) = P (X ≤ x) = √ σ 2π ∫x e − (t−µ)2 2σ 2 dt −∞ 1,2 1 0,8 y 0,6 0,4 0,2 0 -2 0 2 4 6 x Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 139 Models habituals de distribucions Llei normal tipificada N (0, 1) Si l’esperan¸ca µ val 0 i σ val 1, la llei normal corresponent es denomina llei normal tipificada.
La funci´o de densitat ´es 1 − x2 f (x) = √ e 2 , −∞ < x < ∞ .
2π Propietat. N (0, 1) • No dep`en de cap par` ametre • La corba de densitat ´es sim`etrica respecte l’eix OY , t´e un m` axim en aquest eix i dos punts d’inflexi´ o en x = −1 i x = 1 • Els valors de X ∼ N (0, 1) estan tabulats.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 140 Models habituals de distribucions Tipificaci´ o de N (µ, σ 2 ) Sigui la llei normal X ∼ N (µ, σ 2 ). Aleshores, per un canvi de variable, tenim que la variable aleat`oria Z = X−µ segueix una normal d’esperan¸ca 0 i σ desviaci´ o 1: Z= X −µ ∼ N (0, 1) .
σ Per tant, per fer els c`alculs utilitzant les taules, cal fer la seg¨ uent identificaci´ o: ( ) a−µ b−µ P (a ≤ X ≤ b) = P ≤Z≤ σ σ Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 141 Models habituals de distribucions Exemple. Sigui X ∼ N (100, 100) la llei que modela el coeficient d’intel·lig`encia. Volem calcular, usant les taules d’una llei normal tipificada, la probabilitat que una persona tingui un coeficient d’entre 95 i 110.
( 95−100 ) 110−100 P (95 < X < 110) = P ≤Z≤ 10 10 = P (−0.5 < Z < 1) on Z ∼ N (0, 1). Ara cal buscar aquesta probabilitat a la taula.
Ens demanem ara quin ´es el coeficient per sota del qual hi ha una probabilitat de trobar el 20% de la poblaci´ o: P (X < a) = 0.2.
P (X < a) = P (Z < a − 100 ) = 0.2 10 Busquem a la taula el valor corresponent a aquesta probabilitat i l’igualem a a−100 per tal de trobar a.
10 Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 142 Models habituals de distribucions Regla del 68, 95, 99 Es pot comprovar que en tota distribuci´o normal, en l’intreval: • [µ − σ, µ + σ] es troba el 68, 27% de la distribuci´o • [µ − 2σ, µ + 2σ] es troba el 95, 73% de la distribuci´o • [µ − 3σ, µ + 3σ] es troba el 99, 73% de la distribuci´o Per tant, el fet de saber que les dades segueixen una distribuci´o normal ens permet donar uns intervals m´es precisos que els donats per la desigualtat de Txebixev.
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 143 Models habituals de distribucions Teorema 4. Considerem dues variables normals independents X1 ∼ N (µ1 , σ12 ) i X2 ∼ N (µ2 , σ22 ).
Aleshores, la variable X = X1 ± X2 segueix tamb´e una llei normal N (µ, σ 2 ) amb µ = µ1 ± µ2 , σ 2 = σ12 + σ22 Veurem l’aplicaci´o d’aquest teorema en el seg¨ uent cap´ıtol (veure la demostraci´o en [Pe˜ na]).
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 144 Models habituals de distribucions 3.15 Aproximaci´ o de la binomial per la normal Les probabilitats dels esdeveniments que segueixen una llei binomial b(n, p), quan n ´es gran s´on dif´ıcils de calcular. En aquests casos, s’usa el seg¨ uent teorema.
Teorema 5. Sigui X una variable aleatoria discreta amb distribuci´ o binomial b(n, p). Si n ´es gran, aleshores X s’aproxima a una normal d’esperan¸ca np i vari` ancia np(1 − p).
En la pr`actica, aquesta aproximaci´ o ´es bona quan n > 30 i p ≃ 0.5. En resum: X ∼ b(n, p)discreta y n > 30 , p ≃ 0.5 ⇒ X ∼ N (np, np(1 − p))continua Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 145 Models habituals de distribucions Correcci´ o de continu¨ıtat Per tal d’usar correctament aquesta aproximaci´ o, cal tenir present que es passa d’una v.a. discreta a una v.a. continua. Per tant, es necessari fer una correcci´o de continu¨ıtat. Fent una correcci´o de mig punt, P (Xbin = a) ∼ = P (a − 0.5 ≤ N (np, np(1 − p)) ≤ a + 0.5) ∼ =P ( a−0.5−np a+0.5−np √ ≤Z≤ √ np(1−p) np(1−p) ) , on Z ∼ N (0, 1).
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena Models habituals de distribucions 146 Exemple. Es realitza una enquesta per a detectar la prefer`encia dels votants respecte dos candidats A i B.
Es pren una mostra de 1000 ciutadants. ¿Quina ´es la probabilitat que 550 o m´es individus indiquin una prefer`encia pel candidat A, si la poblaci´ o, respecte als candidats, es troba igualment dividida? Es tracta d’un esdeveniment de tipus Bernouilli (dos possibles candidats A o B), que es repeteix n = 1000 cops. Per tant, la variable que compta el n´ umero de vots del candidat A segueix una binomial de par` ametres p = 0.5 (probabilitat de votar A) i n = 1000.
Hem de calcular P (X ≥ 550).
Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena 147 Models habituals de distribucions Com el tamany de la mostra, n, ´es gran i p = 0.5, X ∼ B(1000, 0.5) ⇒ X ∼ N (500, 15.812 ) Per tant, ( P (X ≥ 550) = P 549.5 − 500 Z≥ 15.81 ) Probabilitat i Estad´ıstica - Curs 13-14 / T Jos´ e Gibergans B´ aguena ...