Examen resuelto (2014)

Examen Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Estado Sólido
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 30/06/2014
Descargas 3
Subido por

Descripción

Aproximación electrones fuertemente ligados

Vista previa del texto

Física de l’Estat Sòlid 2013 – Tardor Dilluns, 9 de desembre de 2013 Tercer control acreditatiu RESOLUCIÓ DEL PROBLEMA Considera un cristall amb xarxa cúbica centrada en el cos (b.c.c.), de paràmetre de xarxa a, amb base monoatòmica, els portadors de càrrega del qual són electrons. En l’aproximació d’electrons fortament lligats, suposant solapament de les funcions d’ona només a primers veïns: 1. Demostra que la banda s ve donada per l’expressió ε( k x , k y , k z ) = ε 0 − α − 8γ cos k a kxa ka cos y cos z , 2 2 2 r on k = k x xˆ + k y yˆ + k z zˆ és un vector d’ona qualsevol i ε0, α i γ són els paràmetres que caracteritzen aquesta banda. (1,5 punts) En aquesta aproximació, la banda s ve donada per l’expressió ε = ε0 − α − ∑γ m r r exp(i k ⋅ ρ m ) , 1rs veïns r on ρ m són les posicions dels primers veïns d’un nus qualsevol de la xarxa de Bravais.
En una xarxa cúbica centrada en el cos (b.c.c.), cada nus té 8 primers veïns situats a r r r r a a a a ρ1 = ( xˆ + yˆ + zˆ ) , ρ 2 = ( −xˆ + yˆ + zˆ ) , ρ 3 = ( xˆ − yˆ + zˆ ) , ρ 4 = ( −xˆ − yˆ + zˆ ) , 2 2 2 2 r r r r a a a a ρ 5 = ( xˆ + yˆ − zˆ ) , ρ 6 = ( −xˆ + yˆ − zˆ ) , ρ 7 = ( xˆ − yˆ − zˆ ) , ρ 8 = ( −xˆ − yˆ − zˆ ) , 2 2 2 2 i tots ells interaccionen de la mateixa manera amb el nus de referència, de manera que podem considerar γm ≡ γ, ∀ m.
D’aquesta manera, l’expressió de la banda s esdevé a a a ⎧ ε = ε 0 − α − γ ⎨exp[i ( k x + k y + k z )] + exp[i ( − k x + k y + k z )] + exp[i ( k x − k y + k z )] + 2 2 2 ⎩ + exp[i a a a ( − k x − k y + k z )] + exp[i ( k x + k y − k z )] + exp[i ( − k x + k y − k z )] + 2 2 2 + exp[i a a ⎫ ( k x − k y − k z )] + exp[i ( −k x − k y − k z )]⎬ ; 2 2 ⎭ ⎧⎡ ⎛ k a ⎞ ⎛ k a ⎞⎤ ⎡ a ⎤ ε = ε 0 − α − γ ⎨ ⎢exp⎜ i x ⎟ + exp⎜ − i x ⎟⎥ exp ⎢i ( k y + k z )⎥ + 2 ⎠⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎝ ⎩⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎡ ⎛ k a⎞ ⎛ k a ⎞⎤ ⎤ ⎡ a + ⎢exp⎜ i x ⎟ + exp⎜ − i x ⎟⎥ exp ⎢i ( − k y + k z )⎥ + 2 ⎠⎦ ⎦ ⎣ 2 ⎝ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎡ ⎛ k a⎞ ⎛ k a ⎞⎤ ⎡ a ⎤ + ⎢exp⎜ i x ⎟ + exp⎜ − i x ⎟⎥ exp ⎢i ( k y − k z )⎥ + 2 ⎠⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎝ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎡ ⎛ k a⎞ ⎛ k a ⎞⎤ ⎡ a ⎤⎫ + ⎢exp⎜ i x ⎟ + exp⎜ − i x ⎟⎥ exp ⎢i ( − k y − k z )⎥ ⎬ = 2 ⎠⎦ ⎣ 2 ⎦⎭ ⎝ ⎣ ⎝ 2 ⎠ = ε 0 − α − 2 γ cos kxa ⎧ a a ⎨exp[i ( k y + k z )] + exp[i ( − k y + k z )] + 2 ⎩ 2 2 a a ⎫ + exp[i ( k y − k z )] + exp[i ( − k y − k z )]⎬ = 2 2 ⎭ = ε 0 − α − 2 γ cos ε = ε 0 − α − 8γ cos ⎛ k a ⎞⎤ ⎡ ⎛ k a ⎞ kxa ⎡ ⎛ k ya ⎞ ⎛ k a ⎞⎤ ⎟⎟ + exp⎜⎜ − i y ⎟⎟⎥ ⎢exp⎜ i z ⎟ + exp⎜ − i z ⎟⎥; ⎢exp⎜⎜ i 2 ⎣ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎝ k ya kxa ka cos cos z 2 2 2 [Nota: a tot arreu s’ha fet servir cos θ = e iθ + e − iθ .] 2 2. Demostra que l’expressió aproximada d’aquesta energia al voltant del punt N situat en una r frontera de la primera zona de Brillouin [ k N = ( π / a )( xˆ + yˆ ) ] es pot escriure com ε ≈ ε 0 − α − 2 γa 2 δ x δ y , r r r r r considerant k = k N + δ, δ << k N . (2 punts) Escrivim el vector d’ona per components: r ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π k = k x xˆ + k y yˆ + k z zˆ = ⎜ + δ x ⎟xˆ + ⎜ + δ y ⎟ yˆ + δ z zˆ ⎠ ⎝a ⎠ ⎝a Aproximem les funcions trigonomètriques que apareixen a l’expressió de l’energia: cos cos δ a kxa ⎛δ a⎞ ⎛π δ a⎞ = cos⎜ + x ⎟ = − sin⎜ x ⎟ ≈ − x 2 2 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝2 δ a ⎛π δ a⎞ ⎛δ a⎞ = cos⎜⎜ + y ⎟⎟ = − sin⎜⎜ y ⎟⎟ ≈ − y 2 2 ⎠ 2 ⎝2 ⎝ 2 ⎠ k ya ka 1⎛δ a⎞ ⎛δ a⎞ cos z = cos⎜ z ⎟ ≈ 1 − ⎜ z ⎟ 2 2⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 Així, l’expressió per a l’energia es pot aproximar a segon ordre com 2 k ya δxa δ ya ⎡ 1 ⎛ δza ⎞ ⎤ kxa kza 2 ε = ε 0 − α − 8γ cos ≈ ε 0 − α − 8γ cos cos ⎟ ⎥ ≈ ε 0 − α − 2 γa δ x δ y ⎢1 − ⎜ 2 2 2 2 2 ⎢⎣ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ 3. Dóna l’expressió del vector velocitat al voltant del punt N. (1,5 punts) r El vector velocitat és proporcional al gradient en l’espai k de la banda d’energia: r r 1r v = ∇ kr ε( k ) h r r r r r Com que k = k N + δ , el gradient en k es transforma en un gradient en δ : r 1r r 1r r 1 ⎛ ∂ε ∂ε ∂ε v = ∇ kr ε( k ) = ∇ δr ε(δ) = ⎜ xˆ + yˆ + ∂δ z ∂δ y h h h ⎜⎝ ∂δ x ⎞ 2 γa 2 (δ y xˆ + δ x yˆ ) zˆ ⎟ = − ⎟ h ⎠ 4. Dedueix l’expressió del tensor de massa efectiva inversa al voltant del punt N. (1,5 punts) Els elements del tensor de massa efectiva inversa dels electrons en aquesta banda es calculen a partir de l’expressió de l’energia mitjançant l’expressió 1 ∂ 2ε 1 ∂ 2ε ⎛ 1 ⎞ = = ⎜ ∗⎟ 2 2 ⎝ m ⎠ ij h ∂k i ∂k j h ∂δi ∂δ j Com que en l’aproximació de l’apartat anterior l’energia només conserva les components δx i δy, els únics elements no nuls seran els que corresponguin a derivades segones respecte a aquestes dues components, és a dir 1 ∂ 2ε 2 γa 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = = − = ⎜ ∗⎟ ⎜ ∗⎟ 2 h2 ⎝ m ⎠ xy ⎝ m ⎠ yx h ∂k x ∂k y La matriu tindrà aleshores la forma següent: 2 γa 2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ∗⎟=− 2 h ⎝m ⎠ ⎛ 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ 5. Dóna l’expressió del vector acceleració al voltant del punt N quan s’aplica un camp elèctric uniforme i estàtic en una direcció qualsevol de l’espai. (1,5 punts) Escrivim la força que aquest camp elèctric exerceix sobre un electró: r r F = −eE = − e( E x xˆ + E y yˆ + E z zˆ ) r ⎛ 1 ⎞r Imposem ara la segona llei de Newton, a = ⎜ * ⎟F : ⎝m ⎠ ⎛E ⎞ ⎛ 0 1 0 ⎞⎛ E x ⎞ ⎛ ax ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 2 γa 2 e ⎜ y ⎟ r ⎜ ⎟ 2 γa 2 e ⎜ a = ⎜ay ⎟ = ⎜ Ex ⎟ ⎜ 1 0 0 ⎟⎜ E y ⎟ = h2 ⎜ h2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 ⎠⎝ E z ⎠ ⎝ z⎠ 6. Determina per a quines direccions d’aquest camp elèctric, el vector acceleració tindrà la mateixa direcció que la força associada al camp. (2 punts) r r Perquè els dos vectors tinguin la mateixa direcció, han de ser proporcionals, a = λF : ⎛ Ey ⎞ ⎛ Ex ⎞ ⎜ ⎟ 2 γa 2 e ⎜ ⎟ ⎜ E x ⎟ = λ⎜ E y ⎟ 2 h ⎜ ⎟ ⎜E ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ z⎠ D’aquí surt el següent sistema d’equacions: 2 γa 2 e E y = λE x h2 2 γa 2 e E x = λE y h2 Ez = 0 La solució d’aquest sistema és ⎧E x = ± E y ⎫ ⎬, ⎨ ⎩ Ez = 0 ⎭ és a dir, el camp elèctric ha d’estar aplicar en el pla xy formant 45º o 135º amb l’eix x.
Aquest apartat també es pot resoldre diagonalitzant la matriu del tensor de massa efectiva inversa: ⎛ 0 1 0 ⎞⎛ Fx ⎞ ⎛ Fx ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 γa 2 ⎜ − 2 ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜ Fy ⎟ = λ ⎜ Fy ⎟ h ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜F ⎟ ⎝ 0 0 0 ⎠⎝ Fz ⎠ ⎝ z⎠ ⎛ ⎜ −λ ⎜ 2 ⎜ 2 γa − ⎜ h2 ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ −λ 0 −λ − ⎞ 0 ⎟ ⎟⎛ Fx ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ Fy ⎟ = 0 ⎜ ⎟ − λ ⎟⎝ Fz ⎠ ⎟⎟ ⎠ 2 γa 2 h2 − − 2 γa 2 h2 0 2 γa 2 h2 0 −λ 0 =0 −λ 0 ⎡ 2 ⎛ 2 γa 2 ⎞ 2 ⎤ λ ⎢λ − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ = 0 ⎢⎣ ⎝ h ⎠ ⎥⎦ Les solucions són λ=0 ; λ= 2 γa 2 h2 ; λ=− 2 γa 2 h2 Per tant, la matriu diagonalitzada és 2 ⎛ 1 ⎞ 2 γa = ⎜ ∗⎟ h2 ⎝m ⎠ ⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 0⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ I els vectors propis determinen les direccions d’aplicació del camp elèctric al llarg de les quals aquest tensor és diagonal, és a dir, els eixos principals del cristall: 2 γa 2 λ= 2 h ⎛ 2 γa 2 ⎜− 2 ⎜ h 2 ⎜ 2 γa ⇒ ⎜− 2 h ⎜ ⎜⎜ 0 ⎝ 2 γa 2 h2 2 γa 2 − 2 h − 0 ⎞ ⎟ ⎟⎛ Fx ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ Fy ⎟ = 0 ⇒ Fx = − Fy ⎜ ⎟ 2 γa 2 ⎟⎝ Fz ⎠ − 2 ⎟⎟ h ⎠ 0 ; Fz = 0 2 γa 2 λ=− 2 h ⎛ 2 γa 2 ⎜ 2 ⎜ h 2 ⎜ 2 γa ⇒ ⎜− 2 h ⎜ ⎜⎜ 0 ⎝ 2 γa 2 h2 2 γa 2 h2 − 0 ⎞ 0 ⎟ ⎟⎛ Fx ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ Fy ⎟ = 0 ⇒ Fx = Fy ⎜ ⎟ 2 γa 2 ⎟⎝ Fz ⎠ ⎟ h 2 ⎟⎠ ; Fz = 0 Aquestes són les mateixes solucions que hem assolit anteriorment, expressades en termes de la força en comptes del camp elèctric.
D’altra banda, ⎛ ⎜ 0 ⎜ 2 ⎜ 2 γa λ = 0 ⇒ ⎜− 2 h ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ − 2 γa 2 h2 0 0 ⎞ 0⎟ ⎟⎛ Fx ⎞ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟⎜ Fy ⎟ = 0 ⇒ Fx = Fy = 0 ; Fz arbitrari ⎜ ⎟ 0 ⎟⎝ Fz ⎠ ⎟⎟ ⎠ En aquest cas, però, l’acceleració és nul·la.
...