Filtros terminales optimos (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Ingeniería Electrónica de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Fonaments de Comunicacions
Año del apunte 2015
Páginas 8
Fecha de subida 16/03/2015
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Teoria Filtros terminales optimos

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ÀLEX%ROMAGOSA% UAB.% Fonaments%de% Comunicacións! ! Filtros%terminales%optimos% ! El!modulo!del!canal!es!plano!y!la!fase!es!lineal!,”perfecto”,!si!no!es!asi:! ! Hermitico??!! ! ! como!una!señal!es!la!inversa!de!la!otra!el!producto!da!una!constante.! !! ! · !!" ! = !! !!!!"!! ! FTO:! ! ?No!distorsión! ! ?SNR!óptima! Primero!calculamos!la!potencia!de!ruido!! !! !! = !! = !! = ! !! ! · !! ! ! !! ! · !! ! ! !! ! ! !! ! !! !! ! !"! !"! 1! ÀLEX%ROMAGOSA% UAB.% Fonaments%de% Comunicacións! ! ! ! !! !! ! = = !"#$!%&#!! ! ! ! ! !! ! !! ! ! ! !! = !! !! !! ! !" !! !! ! ! !! ! ! !! !! !! = ! !! !! ! !" !! !! ! ! !! ! ! !! !! !"!! = ! !! !! !! ! ! ! ! !! ! !" !! !" !! ! !! ! ! !! ! ! !"!! !!!"#$!"!!"!!"#$%&'(!!"#!!"!!"#$%&'(!'!!!"!!"#!ℎ!!!"ℎ!"#$! → !! ! ! =! ! ! ! TEMA%3:%SEÑALES%PASO%BANDA% ! Vamos!a!hacer!sistemas!que!tx!nuestra!señal!alrededor!de!una!freq!muy!superior!a! nuestro!ancho!de!banda.! Modulador!y!demodulador:!me!permite!desplazar!la!señal.! ! ?Facilidad!en!la!tx! ! ?Multiplexación!en!freq! Señal!analítica:!! ! = 2! ! · ! ! !nos!quedamos!con!la!parte!positiva!f>0,!en!el! dominio!temporal!la!señal!analítica!en!tiempo!es!! !! → !! ! = 2! ! ∗ ! !! {! ! }! ! 2! ! ÀLEX%ROMAGOSA% UAB.% Fonaments%de% Comunicacións! 1 1 ! ! → ! ! + ! 2 !2!" 1 1 ! ! + → ! −! ! 2 !2!" 1 ! ! !" → ! ! ! ! 1 ! ! ! + → ! ! !! 2 2!" !"#$%&'(!!"#$:! 1 = ! ! + !!ℎ! (!)! !" La!señal!analítica!a!la!entrada!es!!! ! = 2! ! · ! ! !a!la!salida! !!! ! = 2! ! · ! ! !si!hacemos!el!filtrado!con!la!señal!analítica!tendremos!! ! que!!! ! 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎! → ! !! ! · !! ! ! ! [Remember:”Modulo!par,!fase!impar=señal!real”]! En!el!dominio!frequencial!!la!transformada!de!hilbert!es! !! ! = !! ! · −!"#$% ! ! Propiedades!de!la!T.Hilbert:! ! 1?Lineal! ! 2?!!! ! ! = −ℎ! ! !!!!"!!"#!!"!!"!!"#!$!!!! ℎ! ! = −ℎ! ! ! = ! ! ! ! Si!tenemos!la!transformada!!! ! · −!"#$% ! !la!antitransformada! ! ! · −!"!"# ! · !"#$% ! = ! ! = ! ! · ! ! · !!! ! ! ! !! → !! ! = 2! ! ∗ ! !! ! ! = ! ! + !" ! ∗ ! 3?! ! → !"#!!"!!"#$%& !" → ℎ! ! !!"!!"#$%$&&'(!%)$*!!"#$:! ! ! ?!! ! → !! ! ! = !! ! ∗ − !"! ! 1 !!! ! ! = !! ! ∗ ! !" !"!!"#$%$&&'(!%)$*!!!!"!!"#$%"!!":! 1 1 !!! !! ! = !! ! ∗ − ∗ = !! ! ∗ ! ! = !! ! ! !" !" !!! !! ! = !! ! → !!! = !! ! ! Representacion!fasorial!de!la!señal!analítica:! !! ! = ! ! ! + ℎ!! ! ! ℎ! ! !! ! = atan ! ! ! 1 !!! ! !! ! = = !"#$!!"#$%"$%"&%!!"!!"!!"#$%&'('!!!!"!!"#!!"#$! 2! !" Exemple:!! ! = !"#2!!! !! La!señal!analítica!es!!! ! = 2! ! ! ! , !! ! = ! ! + !ℎ! (!)! La!T.F!es!!! ! = ! ! − !! → !! ! = ! !!!!! ! !"#$%&'(!!"#!$ →= !"#2!!! ! + !"#$2!!! !!! ! Equivalente!paso!bajo:! Empezamos!en!el!dominio!de!la!frequencia! ! 3! ! ÀLEX%ROMAGOSA% UAB.% Fonaments%de% Comunicacións! !! ! = !! ! + !! ! !!!!!! ! !! ! = !! ! · ! → !! ! = !! ! ! !!!!! ! !! !! ! = !! ! + !!! ! ! !! → !"#$! !! → !"#$%#&"%#! ! ! = ! !! ! , !! ! = !" !! ! ! !" (!! ! + !!! ! · (cos 2!!! ! + !"#$2!!! !!)}! !! ! = !! ! ! !!!!! ! ! ! Filtrado!EPB!,!equivalente!paso!bajo:! ! Ejercicios!de!control:! 1 !! ! = !! ! !! ! ! 2 1 !! ! = !! ! + !!! ! = !! ! + !!! ! 2 1 ! ! + !! ! − !! ! + !! ! + ! … ! 2 ! ∗ !! ! + !!! ! =! Moduladores/Demoduladores:% Modulador:% ! Tenemos!un!oscilador!que!genera!el!!"# 2!!!! ! ! !con!un!desfase!! ! !.! Como!aplicamos!un!retardo!al!coseno!,! !"# 2!!! ! − !! = cos 2!!! ! − 2!!! !! , !"#"$%&!!"#!!"#$%!!"!!! !"#!!"#!!"! ! !"!!"#$%#"!!" !!!!"!"#$%!!"#!!"#!!!"#$%"!!"#$%#%!&!!"#!!"#!!"#!$%&'&%(!! 2 !"#$%&%'(!"#)*+!!"#!!"#" = − sin 2!!! !! .! Con!las!componentes!real!y!quadratura!del!paso!bajo!generamos!una!señal!x(t)!con! componentes!ix(t)!i!–qx(t)!con!el!coseno.! Demodulador:% Vamos!a!ver!como!se!recupera!la!componente!en!fase:! !! ! = ! ! · 2 cos 2!!! ! = !! ! !"#2!!! ! − !! ! !"#2!!! ! 2!"#2!!! ! =! 1 1 !! ! → !"#$!"#% = cos ! + ! + cos ! − ! →! 2 2 → !! ! + !! ! · cos 2!!! ! − !! ! sin!(2!!! !)! Si!hacemos!x(t)!por!el!coseno!!nos!da!solo!la!componente!paso!banda!en!fase!ix,!al! hacer!el!del!sin!nos!quedara!solo!qx,!ya!que!al!desplazar!las!2!señales!ix!y!qx!a!fo!el! filtro!elimina!estas!dos!señales!i!se!queda!solo!con!la!que!no!se!desplaza!por!lo! tanto!ix!en!el!caso!del!coseno!y!qx!en!el!caso!del!seno.! ! Si!nos!apareciera!un!desfase!es!peligroso!porque!al!filtrar!nos!podemos!cargar! nuestra!señal.! ! ! 4! ÀLEX%ROMAGOSA% UAB.% Fonaments%de% Comunicacións! ! 5.Autocorrelación%y%densidad%espectral%de%señales%paso%banda% ! La!señal!paso!banda!se!expresa!como!! ! = !! !(!)!!"#!2!!!!! !! − !! !(!)!!"#!2!!!!! !!! Lo!modelamos!como!un!proceso!aleatorio!estacionario,!podremos!escribir!una! auto!correlación!que!depende!solo!!!!!!! !(!)!, !!! !(!).! 1)!! (! + !, !)!?>!cicloestacionario.! ! ! ! ! + ! ! ∗ ! =!! {!! ! + ! cos !2!!!! ! ! + ! − !! ! + ! sin 2!!!!! ! ! + ! · !! ! cos !2!!!! !! − !! (!) sin 2!!!!! !! }! 1 = {!! ! + ! · !! ! · cos !2!!!! ! ! + ! cos !2!!!! !! = !!" ! cos!(2!!! (2! + !)! 2 1 + cos 2!!! ! !! 2 2)Como!es!ciclo!estacionario!me!interesa!una!auto!correlación!media!me!he!de! quitar!la!dependencia!de!t!i!lo!hago!haciendo!al!integral!en!un!periodo!de!la! autocorrelacion!que!si!depende!del!tiempo,!promedio!temporal!en!un!periodo!.! !!" ! cos 2!!! 2! + ! + cos 2!!! ! ! 2 1 !"#$%&$'!!"#$ !! ! + !, ! !" =!! !" 1 !!" ! 1 !! ! = cos 2!!! ! + !!" ! cos!(2!!! 2! + ! !" =! !" 2 2 ! 3)Esto!me!permite!calcular!una!densidad!espectral!de!la!señal!paso!banda!en! función!de!las!densidades!espectrales!de!las!componentes!en!fase!y!cuadratura.! ! ! 6.Retardo%de%fase%y%retardo%de%grupo% ! Pas!1:! Calcular!l’equivalent!pas!baix!del!canal,!a!partir!de!la!señal!analítica!del!canal.! ! ! = ! !! · ! ! !! ! !!! !! !! !!! ! → !! ! = 2! ! · ! !! · →! ! ! !! !! !! !!! !!!! ! ! ! !! !! !! !!! ! !! ! = 2! ! + !! · ! !! · ! Pas!2:! Calcular!!By(f),By(t)!un!cop!tenim!els!eq!pas!baix!de!tot!fem!que!l’equivalent!pas! baix!de!l’entrada=!eq!pas!baix!de!la!sortida.! ! 1 !! ! = !! ! !! ! = !! ! · 2 · ! !! · ! !! !! !!! ! ! 2 1 !!!!!! !!! !! !! ! =! = ! → ! !! !!! = ! !!!!!! !!" ! 2!!! ! Pas!3:!! Pasar!aquesta!senyal!al!domini!del!temps:! ! 5! ! ÀLEX%ROMAGOSA% UAB.% Fonaments%de% Comunicacións! ! !! → !! ! = ! !! ! !!!!!! !!! !! (! − !!" )! Ara!busquem!la!senyal!pas!banda!,!busquem!la!part!real!de!la!senyal!analítica!de!y!! !"#!!"#!: ! ! = !"!{!! ! }! !!!!! ! = !"{!! ! ! = !" ! !! ! !!!!! !!!!!! !!! !! ! − !!" =! = ! !! !! ! − !!" · cos 2!!! ! − 2!!! !!! −! ! !! !! ! − !!" · !sin!(2!!! ! − 2!!! !!! )! ! Recordatori:! !"ñ!"!!"!#$%!"#!!! ! = 2!! ! · ! ! ! !! ! = ! ! + !ℎ! ! ! !"!!"ñ!"!!"#$!!"#$!!! ! = !! ! + !! ! !! ! = !! ! + !!! ! = !! ! ! !!!!!! ! ! ! % 7.Ruido%paso%banda% ! Objetivo:!! Nos!da!herramientas!para!resolver!los!temas!4!i!5! ! Que!pasa!con!el!ruido?!En!todas!las!modulaciones!o!casi!todas!ellas,! p.ej:modulaciones!lineales!el!receptor!se!modela!como!componente!en!fase!i! componente!en!quadratura! ! Nos!falta!ver!que!pasa!con!el!ruido!Sw(f),!una!vez!filtrado!el!ruido!el!espectro!del! ruido!será!solo! ! Ya!tenemos!el!ruido!paso!banda!porque!el!resto!lo!he!eliminado.! ! 6! ! ÀLEX%ROMAGOSA% UAB.% Fonaments%de% Comunicacións! ! ?!"# ! < −!! < −!"# ! ! !!" ! = !! ! + !!! ! = ! ! + !!ℎ! ! ! !!!!!! ! ! !! ! = ! ! + !!ℎ! ! ! ! !!!!!! ! = cos 2!!! ! − !"#$!2!!! !! !"#$!!"#$% ∶! !! ! = ! ! !"#2!!! ! + ℎ! ! sin 2!!! !! !! ! = −! ! sin 2!!! ! + ℎ! ! cos 2!!! !! !ℎ!"#!!"#$%!!"#!$#"%!!"!! !!" ! + !, ! = ! ! ! + ! cos 2!!! ! + ! + ℎ! ! + ! sin 2!!! 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ÀLEX%ROMAGOSA% UAB.% Fonaments%de% Comunicacións! ! ! ! !!" ! = !! ! − !! · ! −! + !! + !! ! + !! ! ! + !! ! !! (!)! ! ! si!esta!centrado! ! si!fo!centrado!Sin!qn(f)=0! ! ! ! ! 8! ...