Mecánica Cuántica - Problema 36 (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 03/06/2014
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36 Considereu el moviment d’una part´ıcula en dues dimensions, amb una energia potencial V (X, Y ) = 12 kx X 2 + 12 ky Y 2 . Sota quines condicions el valor esperat del moment angular L = XPy ≠ Y Px ´es una constant del moviment? Soluci´ o: ˙ = (≠i/~)È[L, H]Í), veiem que ÈLÍ ´es una constant En base al teorema d’Ehrenfest (ÈLÍ del moviment ≈∆ [L, H] = 0. En el nostre cas, l’hamiltoni`a ´es: H= Py2 Px2 1 1 + + kx X 2 + ky Y 2 , 2m 2m 2 2 (0.12) i la component del moment angular que proposa l’enunciat ´es Lz = XPy ≠Y Px . Mirem quines condicions s’han de donar per tal que [Lz , H] = 0. Desenvolupant, resulta que C D C D 5 6 5 6 Py2 Px2 1 1 [Lz , H] = Lz , + Lz , + Lz , kx X 2 + Lz , ky Y 2 .
2m 2m 2 2 (0.13) Calculem cada commutador per separat tot tenint en compte els seg¨ uents resultats previs: [Xi , Xj ] = 0, [Pi , Pj ] = 0, [Xi , Pj ] = i~”ij i [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C. Se segueix, C D C D C P2 P2 P2 Lz , x = XPy , x ≠ Y Px , x 2m 2m 2m C D C D D C D C D P2 P2 P2 P2 = X Py , x + X, x Py ≠ Y Px , x ≠ Y, x Px 2m 2m 2m 2m C D C D P2 Py ~ = X, x Py = (Px [X, Px ] + [X, Px ] Px ) = i Py Px , 2m 2m m C D C Py2 Py2 Py2 Lz , = XPy , ≠ Y Px , 2m 2m 2m C D C D D C D C (0.14) D Py2 Py2 Py2 Py2 = X Py , + X, Py ≠ Y Px , ≠ Y, Px 2m 2m 2m 2m C D Py2 Px ~ = ≠ Y, Px = ≠ (Py [Y, Py ] + [Y, Py ] Py ) = ≠i Px Py .
2m 2m m Aix´ı doncs, per un costat tenim: C D C D Py2 P2 ~ ~ = i (Py Px ≠ Px Py ) = i [Py , Px ] = 0.
Lz , x + Lz , 2m 2m m m (0.15) Els dos primers commutadors no aporten res de nou ja que es cancel·len entre si.
4 .
La resta, 5 6 5 6 5 6 1 1 1 Lz , kx X 2 = XPy , kx X 2 ≠ Y Px , kx X 2 2 2 2 5 6 5 6 5 6 5 6 1 1 1 1 2 2 2 2 = X Py , kx X + X, kx X Py ≠ Y Px , kx X ≠ Y, kx X Px 2 2 2 2 5 6 1 1 ~ = ≠Y Px , kx X 2 = ≠ kx Y (X[Px , X] + [Px , X]X) = i kx Y X, 2 2 2 5 6 5 6 5 6 1 1 1 Lz , ky Y 2 = XPy , ky Y 2 ≠ Y Px , ky Y 2 2 2 2 5 6 5 6 5 6 5 6 1 1 1 1 2 2 2 2 = X Py , ky Y + X, ky Y Py ≠ Y Px , ky Y ≠ Y, ky Y Px 2 2 2 2 5 6 1 1 ~ = X Py , ky Y 2 = ky X (Y [Py , Y ] + [Py , Y ]Y ) = ≠i ky XY.
2 2 2 (0.16) Donat que [X, Y ] = 0, arribam a la seg¨ uent conclusi´o: ~ [Lz , H] = i XY (kx ≠ ky ) = 0 2 5 ≈∆ kx = ky .
(0.17) ...